初三数学难题精选答案和讲解

1、. . .Xy0-1P11B1A1、如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。此时，M是线段PQ的中点。如图，在平面直角坐标系中，ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）。点列P1，P2，P3，中的相邻两点都关于ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称对称中心分别是A，B，O，A，B，O，且这些对称中心依次循环。已知点P1的坐标是（1，1），则点P2017的坐

2、标为 。解：P2的坐标是（1，-1），P2017的坐标是（1，-1）。理由：作P1关于A点的对称点，即可得到P2（1，-1），P3（-1，3），P4（1，-3），P5（1，3），P6（-1，-1），又回到原来P1的坐标，P7（-1，-1）；由此可知，每6个点为一个周期，作一次循环，2017÷63361，循环了336次后又回到了原来P1的坐标，故P2017的坐标与P1的坐标一样为（1，1）。点评：此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键2、如图，已知ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且DE=EC，将

3、BCE绕点C顺时针旋转60°至ACF，连接EF。试证明：AB=DB+AF。【类比探究】（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB、DB、AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由。（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间数量关系，不必说明理由。 word格式资料 证明：DE=CE=CF，BCE由旋转60°得ACF，ECF=60°，BE=AF，CE=CF，CEF是等边三角形，EF=CE，DE=EF，CAF=BAC=60°，EAF=BAC+CAF=120°，DBE=

4、120°，EAF=DBE，又A，E，C，F四点共圆，AEF=ACF，又ED=DC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，EDBFEA，BD=AF，AB=AE+BF，AB=BD+AF。类比探究（1）DE=CE=CF，BCE由旋转60°得ACF，ECF=60°，BE=AF，CE=CF，CEF是等边三角形，EF=CE，DE=EF，EFC=BAC=60°，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，又FCG=EADD=EAD，D=FEA，由旋转知CBE=CAF=120°，DBE=FAE=60°DEBEFA，BD=AE，&

5、#160;EB=AF，BD=FA+AB。即AB=BD-AF。（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）考点点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题：旋转变化，等边三角形，三角形全，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握 （2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握3、在O中，直径AB=6，BC是弦，ABC=30°，点P在BC上，点Q在O上，且OPPQ。（1）如图1，当PQAB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值。解：（1）连结OQ，如图1，PQAB，OPPQ，OPAB，求OP的方法1：OP232(

6、2×OP)2求得OP=求OP的方法2：在RtOBP中，tanB=，OP=3tan30°=，在RtOPQ中，OP=，OQ=3，PQ=；（2）连结OQ，如图2，在RtOPQ中，PQ=，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OPBC，则OP=OB=，PQ长的最大值为=。【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。也考查了勾股定理和解直角三角形。4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧。（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径。解：

7、（1）如图1，点O为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，C为的中点，OCAB，AD=BD=AB=40，设O的半径为r，则OA=r，OD=OD-CD=r-20，在RtOAD中，OA2=OD2+BD2，r2=（r-20）2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m。考点1：圆圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和

8、全面积的计算圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。掌握弧长，扇形面积计算公式。理解圆柱，圆锥的侧面展开图对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。5、如图所示，某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3

9、米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由。解题方法一：设O的半径为R，AB=7.2，CD=2.4， 在RtAOD中，OD=R-2.4，AD=3.6，R2=（R-2.4）2+3.62R=3.9在RtOHN中，HN=1.5， OH3.6HD=3.6-1.5=2.12.1>2此货船能顺利通过。解题方法二：设O的半径为R，AB=7.2，CD=2.4， 在RtAOD中，OD=R-2.4，AD=3.6，R2=（R-2.4）2+3.62R=3.9在RtONH中,ON2=NH2+OH2=(EF/2)2+(OC-DC+DH)

10、2=1.52+3.52=14.5R2=15.21ON2R2 即ON<R即：船的外角F在拱形内此货船能顺利通过拱桥。解题方法三：判断船宽与拱高出水面2米处弦长，若船宽小于弦长，则能通过，否则不能通过，解法略。考点点评：本题考查的是垂径定理的应用；勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键6、 已知：如图，AOB90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F求证：AEBFCD证明方法一：C、D是弧AB的三等分点，则AOC=COD=DOB=30°。AC=CD=DB(在同圆中相等的弧所对的弦也相等）；AO=OB,AOB=90°则OAB=

11、OBA=45°。OA=OC,AOC=30°则OAC=75°。OAB=45°则BAC=30°。ACO=CAO=75°则AEC=75°，则ACE是等腰三角形。AC=AE,AC=CD则AE=CD。同理可证BF=CD所以AEBFCD。证明方法二：O为的中点，OA=OB，点O为所在圆的圆心，连接AC、BD，则有AC=CD=BD，如上图：AOC=COD，OA=OC=OD，ACODCOACO=OCDOEF=OAE+AOE=45°+30°=75° OCD=75°，OEF=OCD，CDAB，AEC=OC

12、D，ACO=AEC故AC=AE，同理，BF=BD又AC=CD=BD，AE=CD=BF考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识的综合应用能力。7、如右图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F（1）若E=F时，求证：ADC=ABC；（2）若E=F=42°时，求A的度数；（3）若E=，F=，且请你用含有、的代数式表示A的大小解：（1）E=F，DCE=BCF，ADC=E+DCE，ABC=F+BCF，ADC=ABC；（2）由（1）知ADC=ABC，EDC=ABC，EDC=ADC，ADC=90°，A=90

13、°42°=48°；（3）连结EF，如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，ECD=A，ECD=1+2，A=1+2，A+1+2+E+F=180°，2A+=180°，A=90°考点1：圆圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有

14、关的开放题，探索题。突破方法：熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。掌握弧长，扇形面积计算公式。理解圆柱，圆锥的侧面展开图对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。8、 在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P，满足CP+CP=2r，

15、则称点P为点P关于C的反称点，如图为点P及其关于C的反称点P的示意图特别地，当点P与圆心C重合时，规定CP=0（1）当O的半径为1时，分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点P在直线y=-x+2上，若点P关于O的反称点P存在，且点P不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于C的反称点P在C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围解：（1）当O的半径为1时点M（2，1）关于O的反称点不存在；N（，0）关于O的反称点存在反称点N（，0）；T（1，

16、）关于O的反称点存在反称点T（0，0）；OP2r=2，OP24，设P（x，-x+2），OP2=x2+（-x+2）2=2x2-4x+44，2x2-4x0，x（x-2）0，0x2当x=2时，P（2，0），P（0，0）不符合题意；当x=0时，P（0，2），P（0，0）不符合题意；0x2；（2）直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，A（6，0），B（0，2），=，OBA=60°，OAB=30°设C（x，0）当C在OA上时，作CHAB于H，则CHCP2r=2，所以AC2，C点横坐标x2（当x=2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H（2，0）在圆的内部）；当C在A点右侧时，C

17、到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，所以C点横坐标x8综上所述，圆心C的横坐标的取值范围是2x8考点1：三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的边相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高（4）三角形具有稳定性考点2：圆圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅

18、读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理

19、推理与计算。掌握弧长，扇形面积计算公式。理解圆柱，圆锥的侧面展开图对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。考点3：图形的相似形状相同，大小不同的两个图形相似9、如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间解：（1）过点A作ADON于点D，

20、NOM=30°，AO=80m，AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2） 由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，ADBC，BD=CD=BC，OA=800m，在RtAOD中，AOB=30°，AD=OA=×800=400m，在RtABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=30米/分钟，重型运输卡车经过BD时需要60÷30=2（分钟）答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来

21、噪声影响的时间为2分钟点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据拖拉机行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，50米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对小学产生噪音的时间10、已知：ABC内接于O，过点A作直线EF（1）如图1，若AB为O的直径，要使EF成为O的切线，还需添加的一个条件是（要求写出三种情况）；CAE=B、ABEF、BAE=C，并任意证明其中一种情况。（2）如图2，如果AB是不过圆心O的弦，且CAE=B，那么EF是O的切线吗？试证明你的判断。（1）证明：（1）AB为O直径，ACB=90°BAC+ABC=90°若CAE=ABCBAC+CAE=90°，即BA

22、E=90°，OAAEEF为O的切线（2）EF还是O的切线证明：连接AO并延长交O于点D，连接CD，如图，ADC=ABCAD为O的直径，DAC+ADC=90°CAE=ABC=ADC，DAC+CAE=90°DAE=90°，即OAEF所以EF为O的切线11、如图所示，P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，AC为O的直径，PO交O于点E（1） 试判断APB与BAC的数量关系，并说明理由。（2）若O的半径为4，P是O外一动点，是否存在点P，使四边形PAOB为正方形？若存在，请求出PO的长，并判断点P的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由解：（1）连

23、接BA，如图1，PA、PB为O的切线，OAPA，OBPB，OAP=OBP=90°，APB+AOB=180°，而AOB+BOC=180°，BOC=APB，BOC=OAB+OBA，而OA=OB，OAB=OBA，BOC=2BAC，APB=2BAC。（2）由PA、PB为O的切线得OAP=OBP=90°，所以当OAOB时，四边形PAOB为矩形，加上OA=OB，于是可判断四边形PAOB为正方形，根据正方形的性质得OP=OA=4；由此得到这样的点P有无数个，当点P在以O点为圆心，4为半径的圆上时，四边形PAOB为正方形。考点点评：本题考查了切线的性质；勾股定理；圆的切

24、线垂直于经过切点的半径也考查了正方形的判定12、 如图1、2、3、n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCDEFG的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON（1） 求图1中MON的度数；（2） 图2中MON的度数是_，图3中MON的度数是_；（3）试探究MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）。· 解：分别连接OB、OC，（1）AB=AC，ABC=ACB，OC=OB，O是外接圆的圆心，CO平分ACBOBC=OCB=30°，OBM=OCN=30°，BM=CN，OC=OB，OMBONC，BOM=NOC

25、，BAC=60°，BOC=120°；MON=BOC=120°；（2）同（1）可得MON的度数是90°，图3中MON的度数是72°；（3）由（1）可知，MON=120°；在（2）中，MON=90°；在（3）中MON=72°，故当n时，MON=13、如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，ABCD于E，OFAC于F，BE=OF。（1）求证：OFBC；（2）求证：AFOCEB； （3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=Xcm，求X的值及阴影部分的面积。解：（1）AB为O的直径，ACBC，又OFAC，OFB

26、C；（2）ABCD，=，CAB=BCD，又AFO=CEB=90°，OF=BE，AFOCEB（AAS）；主要考查扇形面积的计算，平行线的判定，三角形全等的判定，圆心角，圆周角，弧和弦等考点的理解。（3）ABCD，CE=CD=5，在RtOCE中，OC=OB=X+5，根据勾股定理可得：(X5)2=(5)2X2，解得：x=5tanCOE=，COE=60°，COD=120°，扇形COD的面积是：，COD的面积是：CD×OE×10×525，阴影部分的面积是：(-)（cm2）。14、如图所示，一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆求：（1）圆锥的母

27、线长与底面圆的半径之比；（2）BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留）分析（1）利用底面周长=展开图的半圆周长计算；（2）利用特殊角的三角函数圆锥高与母线的夹角为30°，则锥角为60度；（3）利用特殊角的三角函数求出半径，再求侧面积解：（1）设此圆锥的底面半径为r2r=AC，=2，圆锥的母线长与底面半径之比为2：1；（2）=2，圆锥高与母线的夹角为30°，则锥角为60度；（3）h=3cm，r=3cm，AC=6cm圆锥的侧面积=/2AC2=18cm2点评：一题的关键是利用底面周长=展开图的半圆周长可求2、3题主要是利用特殊角的三角函数求值15、如图，已知O的直径AB=12

28、cm，AC是O的弦，过点C作O的切线交BA的延长线于点P，连接BC（1）、求证：PCA=B（2）、已知P=40°，点Q在优弧上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当ABQ与ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长。试题解析:(1)连接OC，PC是O的切线，PCO=90°，1+PCA=90°，AB是O的直径，ACB=90°，2+B=90°，OC=OA，1=2,PCA=B；（2）P=40°，AOC=50°，AB=12，AO=6，当AOQ=AOC=50°时，ABQ与ABC的面积相等，点Q所经过的弧长=，

29、当BOQ=AOC=50°时,即AOQ=130°时,ABQ与ABC的面积相等，点Q所经过的弧长=，当BOQ=50°时，即AOQ=230°时，ABQ与ABC的面积相等，点Q所经过的弧长=，当ABQ与ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为或或考点：1切线的性质；2弧长的计算16、世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环（每个队都与该小组的其他队比赛一场）比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分 积分最高的2个队进入16强，请问：（1）求每小组共比赛多少场？ （2）在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件还是不确定事件？解：（1

30、）=6（场）（2）因为总共有6场比赛，每场比赛最多可得3分，则6场比赛最多共有3×6=18分，现有一队得6分，还剩下12分，则还有可能有2个队同时得6分，故不能确保该队出线，因此该队出线是一个不确定事件考点名称：随机事件随机事件：事件可分为确定事件和不确定事件，不确定事件又称为随机事件。在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。事件的概率：随机事件A的概率为0<P（A）<1。随机事件特点：1.可以在相同的条件下重复进行；2.每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所

31、有可能结果；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。注意：随机事件发生与否，事先是不能确定的；必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0-1之间。要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发。17、Windows电脑中有一个有趣的游戏“扫雷”，下图是扫雷游戏的一部分：ABC22说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格）。现在还剩下几个地雷？A、B、C三个方格中有地雷的概率分别是多大？解：（1）于A、C下面标2，说明它们

32、为中心的8个方格中有2个地雷，而下方方格中已经有一个，A如果是一个地雷，B一定不是地雷C一定也是地雷。B如果是一个地雷，则A、C一定不是地雷。 （2）根据（1）得：P（A有地雷）=，P（B有地雷）=，P（C有地雷）=18、 如图1，一枚质地均匀的正四面体子骰子，它有四个面并分别标有数字1、2、3、4，如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.如：若从图A起跳，第一次掷得，就顺时针连续跳个边长，落到圈D；若第二次掷得，就从D开始顺时针连续跳个边长，落到圈B；设游戏者从圈A起跳。（1）嘉嘉随机掷

33、一次骰子，求落回到圈A的概率P1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样。（1）P1=；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意及概率公式即可解决；（2）列表找出所有等可能的结果，再求得淇淇随机掷两次骰子落回到圈A的概率，比较即可.试题解析：（1）掷一次骰子有4种等可能结果，只有掷得4时，才会落回A圈， P1=。（2）列表如下，12341（1,1）（2,1）（3,1）（4,1）2（1,2）（2,2）（3,2）（4,2）3（1,3）（2,3）（3,3）（4,3）4（1,4）（2.4）（3,4）（4，4）所有等可能的结果共有1

34、6种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即（1,3），（2,2），（3,1），（4,4）时，才可落回A圈，共4种，P1=。 一样。考点：概率：用列表法或树形图法解答的概率问题。19、 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：（1）求三辆车全部同向而行的概率；（2）求至少有两辆车向左转的概率；（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的概率为，向左转和直行的概率均为目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮的总时间不

35、变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整。解：（1）分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转，根据题意，画出树形图：首先根据题意画出树状图如上图，由树状图即可求得共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况，P（三车全部同向而行）=。（2）由（1）中的树状图求得至少有两辆车向左转的有7种情况，P（至少两辆车向左转）=；（3）汽车向右转、向左转、直行的概率分别为、，在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮时间为90×=27（秒），直行绿灯亮时间为90×=27（秒），右转绿灯亮的时间为9

36、0×=36（秒）。考点名称：概率的意义，一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）=p，概率从某种数量上刻画一个不确定事件发生的可能性的大小。事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P。事件的概率：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0<P（A）<1。注：（1）在n试验中，事件A发生的频率m满足0mn，所以01，故0P（A）1；（2）P（A）=0表示事件A是不可能发生的事件，P（A）=1表示事件A是必然发生的事件；（3）概率越大，表示事件发生的可能性越大；概率越小，表示事件发生的可能性越小；（4）人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般大量试验事件发生的频率可作为概率的估计值。20、 为了了解初中毕业后就读普通高中或就读中等职业技术学校的意向，某校对八、九年级部分学生进行了一次调查，调查结果有三种情况：A只愿意就读普通高中；B只愿意就读中等职业技术学校；C就读普通高中或中等职业技术学校都