双曲线的定义及标准方程

1、1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习双曲线图象双曲线图象拉链画双曲线拉链画双曲线|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0 ；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a

2、=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹F2 2F1 1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1| -

3、 |MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程定义定义图象图象方程方程焦点焦点a.b.c的的关系关系1212202MFMFaaFF，22221xyab22221yxab,0Fc0,Fc222cab谁正谁对应谁正谁对应 a, a b练习1.根据方程，写出焦点坐标及的值:15151925) 1 (2222yxyx和3, 5),0 ,

4、 4(ba焦点1,15),0 , 4(ba焦点练习二练习二写出双曲线的标准方程写出双曲线的标准方程1、已知、已知a=3,b=4焦点在焦点在x轴上，双曲线的轴上，双曲线的标准方程为标准方程为 。 2、已知、已知a=3,b=4焦点在焦点在y轴上，双曲线的轴上，双曲线的标准方程为标准方程为 。 116922yx116922xy例例1(1(参考课本参考课本P P5454例例) )已知两定点已知两定点F F1 1(-5,0),F(-5,0),F2 2(5,0),(5,0),动点动点P满足满足求动点求动点P P的轨迹方程的轨迹方程.126,PFPF三、例题选讲：三、例题选讲：变式变式2答案答案课本例课本例

5、2 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s, ,可知可知A A地与爆炸点的地与爆炸点的距离比距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|AB|680|AB|680m, ,所以所以爆炸点的爆炸点的轨迹是以轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上. . 例例2 2 已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m, ,在在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地

6、晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .解解:如图所示建立直角坐标系如图所示建立直角坐标系xO Oy, ,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800 ,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2例例3 3: :如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围. .221

7、21xymm解解: :22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由2m 方程方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示双曲线的充要条件表示双曲线的充要条件 是是 . -2 -11、已知双曲线的焦点为、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_(2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF1|=10, 则则|PF2|=_若若|PF1|=3, 则则|PF2|=_354116922 yx4或

8、或169练习：练习：2、已知、已知F1、F2为为 双曲线双曲线 的焦点，弦的焦点，弦MN过过F1且且M、 N在同一支上，若在同一支上，若|MN|=7， 求求MF2N的周长的周长.191622yxMNF2F130练习：练习：小结：1（）推导双曲线的标准方程2（ ）利用待定系数法求双曲线的标准方程（3）类比法._._._是是表表示示双双曲曲线线的的充充要要条条件件方方程程的的关关系系是是、在在双双曲曲线线的的标标准准方方程程中中决决定定双双曲曲线线的的焦焦点点则则由由决决定定，椭椭圆圆的的焦焦点点由由轴轴上上的的双双曲曲线线的的方方程程是是焦焦点点在在1_._22ByAxcbayx2与与y2的系数的大小的系数的大小x2与与y2的系数的正负的系数的正负c2=a2+b2AB012222bxay)5(1910025)59455)5(5)5(505),22xyxMxxyxyxxykBMxxykAMAyxMBMAM的轨迹方程为化简，得点（由已知有的斜率同理，直线的斜率所以直线），的坐标是（因为点的坐标为（解：设点探究探究: :如图如图, ,设点设