数学建模-模糊数学ppt课件

1、模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊聚类分析模糊聚类分析模糊综合评判模糊综合评判模糊线性规划模糊线性规划Part2: 模糊数学模糊数学一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：对局限于一定范围内进展讨论的对象的全体。论域：对局限于一定范围内进展讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的元素。的元素。模糊集合及其运算模糊集合及其运算在论域在论域U中恣意给定一个元素中恣意给定一个元素u及

2、恣意给定一个及恣意给定一个经典集合经典集合A，那么必有，那么必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：Au Au ),( 1 , 0:uuUAA 其中其中 AuAuuA , 0 , 1)( 函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。A 模糊集合及其运算模糊集合及其运算 罗素罗素Russell悖论：在一个孤岛上独一的一悖论：在一个孤岛上独一的一个理发师，其任务是个理发师，其任务是“专门替那些不给本人刮胡子的人专门替那些不给本人刮胡子的人刮胡子，现问理发师本人该不该给本人刮胡子？刮胡子，现问理发师本人该不该给本人刮胡子？取论域取论域U=全岛刮胡子的人全岛刮胡子的人，集合集合A=不给

3、本人刮胡子的人不给本人刮胡子的人，用特征函数描写为，用特征函数描写为 某某人人给给自自己己刮刮胡胡子子某某人人不不给给自自己己刮刮胡胡子子某某人人 , 0 , 1)(A 问题：显然理发师问题：显然理发师 ，那么理发师能否属于，那么理发师能否属于A？U 模糊集合及其运算模糊集合及其运算二、模糊集合及其运算二、模糊集合及其运算美国控制论专家美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描画的教授正视了经典集合描画的“非此即彼的明晰景象，提示了现实生活中的绝大多数非此即彼的明晰景象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼那么简单，而概念的差别常以非此即彼那么简单，而概念的差别常以中

4、介过渡的方式出现，表现为中介过渡的方式出现，表现为“亦此亦彼的模糊景象。亦此亦彼的模糊景象。基于此，基于此，1965年，年， Zadeh教授在教授在杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets,标志着模糊数学的诞生。标志着模糊数学的诞生。模糊集合及其运算模糊集合及其运算1、模糊子集、模糊子集定义：设定义：设U是论域，称映射是论域，称映射1 , 0)( ,1 , 0: xxUAA 确定了一个确定了一个U上的模糊子集上的模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函AA A数，数， 称为称为 对对 的隶属程度，简称隶属度。的隶属程度，简称隶属度。)(xA xA模糊子集

5、模糊子集 由隶属函数由隶属函数 独一确定，故以为二者独一确定，故以为二者AA 是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。AA 模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：1Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211 这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。iixxA)(ix)(ixA如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合可表示为组成一个小数的集合可表示为4032 . 028 . 011 A可省略可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算3向量表示法

6、向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA 2序偶表示法序偶表示法)(,( ,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA 假设论域假设论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为： UxxxAA)(模糊集合及其运算模糊集合及其运算2、模糊集的运算、模糊集的运算定义：设定义：设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：UxxBxABA ),()(包含：包含：UxxBxABA ),()(并：并：UxxBxAxBA ),()()(交：交：UxxBxAxBA ),()()(余：余：UxxAxAc ),(1)( 表示取大；表示取大； 表示

7、取小。表示取小。 模糊集合及其运算模糊集合及其运算几个常用的算子：几个常用的算子：1Zadeh算子算子),( ,min,maxbabababa 2取大、乘积算子取大、乘积算子),( abbababa ,max3环和、乘积算子环和、乘积算子), ( abbaabbaba ,模糊集合及其运算模糊集合及其运算4有界和、取小算子有界和、取小算子),( ,min),(1babababa 5有界和、乘积算子有界和、乘积算子),( abbababa ),(16Einstain算子算子),( )1)(1(1,1baabbaabbaba 模糊集合及其运算模糊集合及其运算3、模糊矩阵、模糊矩阵定义：设定义：设 称

8、称R为模糊矩阵。为模糊矩阵。, 10 ,)( ijnmijrrR当当 只取只取0或或1时，称时，称R为布尔为布尔Boole矩阵。矩阵。ijr当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，nnijrR )(ijr称称R为模糊自反矩阵。为模糊自反矩阵。1模糊矩阵间的关系及运算模糊矩阵间的关系及运算定义：设定义：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 模糊集合及其运算模糊集合及其运算并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmijijbaBA )(余：余：nmijcaA )1

9、(例：例：则则设设,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB模糊集合及其运算模糊集合及其运算2模糊矩阵的合成模糊矩阵的合成定义：设定义：设 称模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(为为A与与B的合成，其中的合成，其中 。1)max(skbackjikij 例：例：则则设设,6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01

10、 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 . 03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB模糊集合及其运算模糊集合及其运算3模糊矩阵的转置模糊矩阵的转置定义：设定义：设 称称 为为A的的,)(nmijaA nmTijTaA )(转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。jiTijaa 4模糊矩阵的模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 定义：设定义：设 对恣意的对恣意的 称称,)(nmijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(模糊集合及其运算模糊

11、集合及其运算例：例：则则设设,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A模糊集合及其运算模糊集合及其运算三、隶属函数确实定三、隶属函数确实定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计实验的四个要素：模糊统计实验的四个要素：1论域论域U；2U中的一个固定元素中的一个固定元素;0u3U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合;*A4U中的一个以中的一个以 作为弹性边境的模糊子集作为弹性边境的模糊子集A，*A制约着制约着 的运动。的运动。 可以

12、覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。0u模糊集合及其运算模糊集合及其运算特点：在各次实验中，特点：在各次实验中， 是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。0u*A模糊统计实验过程：模糊统计实验过程：1做做n次实验，计算出次实验，计算出nAuAu的次数的次数的隶属频率的隶属频率对对*00 2随着随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的的次次数数*00lim)( 0u对对A的隶属度：的隶属度：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2、指派方法、指派方法这是一种客观的

13、方法，但也是用得最普遍的一种这是一种客观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些方式的模糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据丈量数据确定分布中所含的参数。3、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法：由此决议隶属函数的大致外形。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊集合

14、及其运算模糊聚类分析模糊聚类分析一、根本概念及定理一、根本概念及定理模糊聚类分析模糊聚类分析例：设对于模糊等价矩阵例：设对于模糊等价矩阵,54321xxxxxU 16 . 05 . 04 . 05 . 06 . 015 . 04 . 05 . 05 . 05 . 014 . 08 . 04 . 04 . 04 . 014 . 05 . 05 . 08 . 04 . 01R模糊聚类分析模糊聚类分析模糊聚类分析模糊聚类分析例：设有模糊类似矩阵例：设有模糊类似矩阵 13 . 02 . 03 . 011 . 02 . 01 . 01R213 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01

15、RRR ).(13 . 02 . 03 . 012 . 02 . 02 . 01222RtRRR 模糊聚类分析模糊聚类分析二、模糊聚类的普通步骤二、模糊聚类的普通步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵模糊聚类分析模糊聚类分析1规范差规范化规范差规范化模糊聚类分析模糊聚类分析2极差正规化极差正规化minmaxminijijijijijxxxxx 3极差规范化极差规范化minmaxijijiijijxxxxx 4最大值规格化最大值规格化jijijMxx 其中：其中：),max(21njjjjxxxM 模糊聚类分析模糊聚类分析、建立模糊类似矩阵、建立模糊类似矩阵1类似系数法类似系数法夹角余弦法夹角余弦法

16、mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相关系数法相关系数法 mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(模糊聚类分析模糊聚类分析2间隔法间隔法Hamming间隔间隔 mkjkikjixxxxd1),(Euclid间隔间隔 mkjkikjixxxxd12)(),(Chebyshev间隔间隔jkiknkjixxxxd 1max),(模糊聚类分析模糊聚类分析3贴近度法贴近度法最大最小法最大最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)()(算术平均最小法算术平均最小法 mkjkikmkjkikijxxxxr11)(21)(几何平均最小法几何平均最小

17、法 mkjkikmkjkikijxxxxr11.)(模糊聚类分析模糊聚类分析3 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图1模糊传送闭包法模糊传送闭包法步骤：步骤：模糊聚类分析模糊聚类分析模糊聚类分析模糊聚类分析解：解：由题设知特性目的矩阵为由题设知特性目的矩阵为 43271510406469046150261080*X采用最大值规格化法将数据规格化为采用最大值规格化法将数据规格化为 67. 05 . 029. 0110. 02 . 011. 044. 0157. 060. 0167. 086. 010. 056. 033. 086. 0189. 0X模糊聚类分析模糊聚类分析用最大最小法构

18、造用最大最小法构造模糊类似矩阵得到模糊类似矩阵得到 138. 037. 053. 024. 038. 0156. 070. 063. 037. 056. 0155. 062. 053. 070. 055. 0154. 024. 063. 062. 054. 01R 153. 053. 053. 053. 053. 0162. 070. 063. 053. 062. 0162. 062. 053. 070. 062. 0163. 053. 063. 062. 063. 01)(4RRt用平方法合用平方法合成传送闭包成传送闭包模糊聚类分析模糊聚类分析取取 ，得，得1 100000100000100

19、0001000001)(1Rt模糊聚类分析模糊聚类分析取取 ，得，得7 . 0 1000001010001000101000001)(7 . 0Rt取取 ，得，得63. 0 1000001011001000101101011)(63. 0Rt模糊聚类分析模糊聚类分析取取 ，得，得62. 0 1000001111011110111101111)(62. 0Rt取取 ，得，得53. 0 1111111111111111111111111)(53. 0Rt模糊聚类分析模糊聚类分析画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：54321 xxxxx0.70.630.620.531模糊聚类分析模糊聚类分析模糊

20、聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN模糊方式识别模糊方式识别方式识别的本质特征：一是事先知假设干规范方式，方式识别的本质特征：一是事先知假设干规范方式，称为规范方式库；二是有待识别的对象。称为规范方式库；二是有待识别的对象。所谓模糊方式识别，是指在方式识别中，方式是模所谓模糊方式识别，是指在方式识别中，方式是模糊的，或说规范方式库中提供的方式是模糊的。糊的，或说规范方式库中提供的方式是模糊的。一一最最大大隶隶属属原原那那么么最大隶属原那么最大隶属原那么：最大隶属原那么最大隶属原那么：模糊方式识别模糊方式识别按最大隶属原那么，按最大隶属原那么，该人属于老年。该人属于老年。解：解：模糊方式识别模糊方式识别模糊方式识别模糊方式识别模糊方式识别模糊方式识别阈值原那么：阈值原那么：模糊方式识别模糊方式识别二、择近原那么二、择近原那么1、贴近度、贴近度),(BA 表示两个模糊集表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。之间的贴近程度。模糊方式识别模糊方式识别 C =4 . 04 . 06 . 06 . 09 . 0 C =1 . 08 . 04 . 06 . 01 . 0 65. 0)1 . 01(4 . 021),(0 CB 45. 0)4 . 01(3 . 021),(0 CA 故故B比比A更贴近于更贴近于