解直角三角形的方法点拔(含答案)-

1、解直角三角形的方法点拔解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。典型例题例1.如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且，求AB的长。思路1：所求AB是的斜边，但在中只知一个

2、锐角A等于，暂不可解。而在中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解入手。解法1：在中，因，且，AE1故在中，由，得在中，由，得思路2：观察图形可知，CD、DE分别是和斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。解法2：同解法1得在中，由，得在中，由，得点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。例2.如图，在中，AD是BC边上的中线。（1）若，求AD的长。（2）若，求证：分析：（1）由A

3、D是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在中求解AD。而在中，由已知BC边和可以先求出AC，从而使可解。（2）和分别为和中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明解：（1）在中，在中，（2）证明：在中，由，得在中，由，得故，又因BC2DC，故点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。例3.如图，在中，AD是的平分线。（1）若，求（2）在（1）的条件下，若BD4，求.分析：在（1）中已知AD是的

4、平分线，又知AB、BD这两条线段的比为，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到中，先求出即可求得。解：（1）由AD是的平分线，得，即在中，由，得，（2）由，得由，得。又点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。例4.如图，在中，D为BC上一点，BD1，求AB。分析：已知的角告诉我们，和都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解解：在中，设，由，可知，得，在中，由，BD1，得得点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量

5、关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。针对性训练1在ABC中，C=90°，那么下列边角之间关系中不正确的是（ ）Ac=a·cosB Ba=b·cotB Cb=a·cotA Da=c·sinA2如图，在RtABC中，C=90°，BC=4，AC=3，CDAB于D，设ACD=，则cos的值为（ ）A B C D3若斜坡AB的坡角为56°19，坡度i=3：2，则有（ ） Asin56°19=1.5 Bcos56°19=1.5Ctan56°19=1.5 Dcot56&#

6、176;19°=1.54等腰三角形顶角A为120°，底边上的高AD=3，则该三角形的周长是（ ）A12+3 B9+6 C18 D12+65边长为2的菱形，一个内角为120°，则较长的对角线长为（ ）A2 B C2 D16在RtABC中，C=90°，已知a、A求a的关系式为_；已知a、b，求A的关系式为_7在ABC中，C=90°，BC：CA=4：5，那么sinA=_8在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约_m（精确到1m）9一个斜坡的坡度是1：3，高度是5m，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是_m（精确到0.1m）10

7、在ABC中，C=90°，sinA=，AB=15，则AC=_11如图（1）和（2），根据图中所示的条件解这两个直角三角形12如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为多少米？13某直升飞机于空中A处观测到地平面控制点C的俯角为30°，若飞机的航向不变，继续向前飞行1000m至B处时，观测地平面控制点C的俯角为45°，问飞机再向前飞行多少米时与地平面控制点C的距离最近？（结果保留根号）14如图，在山顶上有一座电视塔，为了测量山高，在地面上引一条基线EDC，测得C=45°，

8、CD=50m，BDE=30°，已知电视塔AB=250m，求山高BE（精确到1米）15.在中，D、F分别在AC、BC上，且，求AC。 参考答案1A 点拨cosB=，c=2A 点拨直角三角形ABC的斜边显然等于5，cosB=cos=3C 点拨坡度等于坡角的正切4D 点拨因为顶角为120°，所以底角为30°，腰长为6，底边长6，所以周长为12+65A6a=c·sinA，tanA=7解：设BC=4m，AC=5m，所以AB=m，sinA=832 点拨楼高为15×tan65°=15×2.144532（米）915.8 点拨这个坡的高度是5

9、米，所以宽度为15米，因此从坡度到坡顶部所走的路程大约15.8米109 点拨sinA=，且AB=15，所以BC=12，根据勾股定理得AC=911解：如图（1）b=4×4tan60°=4，a=8，另一个角为30°；（2）c=10，sin=，=30°，=90-=60°12解：过B作BEAD于点E，过C作CFAD于点F 显然四边形BCFE是矩形，且BC=EF=6，BE=CF=24 在直角三角形ABE中 AE=BE×cot45°=24×1=24 在直角三角形CDF中 CF：DF=1：2，所以DF=48 AD=AE+EF+DF=24+6+48=78（米）13解：如图作CDAB于点D，根据题中数据得：AB=1000m， 设CD=x，在直角三角形BCD中，CBD=45°，所以BD=CD=x 又在直角三角形ACD中，A=30° 所以tan30°= ，即=，解得：x= 飞机再向前飞行米时与地平面控制点C的距离最近14解：在直角三角形BDE中，BDE=30°，设BE=x米 tan30°=，即=，所以DE=x 又因为在直角三角形ACE中，C=45° 所以A