高等数学课件第九章_7方向导数与梯度

1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度目录 上页 下页 返回 结束 l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: P记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 ,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:

2、则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2

3、,xflf向角PlxyOl目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦为目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解: 将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xOy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)4, 1 (174

4、cos1)3,2(目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(co

5、sl)1(llGlf,方向一致时与当Gl:GGlfmax),cos(lGG目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义定义),(Pfadrg即)()(PfPfadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyxgrad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度)(, )(, )(PfPfPfzyx记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量),(Pf或其中zyx,称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad( 为方向l 上的单位向量)lezfyfxfG,目录 上页 下页

6、返回 结束 2. 梯度的几何意义梯度的几何意义Oyx1cf 2cf )(321ccc设P面上的投影在曲线xOyczyxfz),(cyxfL),(:*称为函数 f 的等值线等值线或等高线等高线 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradgrad3cf , ),(yxfz 对函数举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样, ),(zyxfu 的等值面(等量面). czyxf),(当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为Pfgradgrad称为时为零时, Pf.Pf等高线图举例等高线图举例-2-1012-2-101200.511.52-2-

7、1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带阴影的等高线图中, 亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设函数解解: (1) 点P处切平面的法向量为0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在点 P(1,1,1) 处的切平面方程.故所求切平面方程为即zyxzyxf2),(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函数 f 在点P处增加最快

8、的方向为沿此方向的方向导数为5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn思考思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ?注意注意: 对三元函数, 与垂直的方向有无穷多)(Pf目录 上页 下页 返回 结束 3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00) 1 (cc或grad为常数）c (ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgra

9、d2)(vvuuvvu或目录 上页 下页 返回 结束 例例5.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()(rf gradrzrfzrf)()(xrrf)(222zyxxPxOzy,)(ryrf 试证rxrf)( .)()(rerfrfradg处矢径 r 的模 ,rixrf)(jyrf)(kzrf)()(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rerf)( 目录 上页 下页 返回 结束 三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(Pfgrad( 势 )如: 温度场,

10、 电势场等如: 力场,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证: 利用例5的结果 这说明场强:处所产生的电势为垂直于等势面,且指向电势减少的方向.Eugrad)4(2rerqE 场强rerqu4gradrerq24Ererfrf)()(grad目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yx

11、f在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin目录 上页 下页 返回 结束 2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxfff,gradgrad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微leflfgradgrad梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点目录 上页 下页 返回 结束 练习练习42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax P130 题 16提示提示:P107 2，3，6，7，8，9，10 作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugradgrad)2, 2 , 1 (,zuyuxuuMgradgrad解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(1992 考研)目录 上页 下页 返回 结