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文档简介

1、河南理工大学2008年度二、解答题（每小题10分，共计70分） 1x+a高等数学竞赛试卷（理工科）1、设f(x)在区间(-,+)连续，F(x)=2ax-af(t)dt(a>0)，考试方式：闭卷 G(x)= xf(t)dt,试解答下列问题：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F'(x)；复查总分 总复查人 （3）求证：lima0F(x)=f(x)；一、填空题(第小题5分,计30分)2arctanx1.e3 (1+x2)21 2.设f(x)在x=0的邻域具有二阶导数，且limf(x)xx01+x+x=e3，则 f''(0)3. lim2+ex x0(4+sinx1+

2、exx)。 4.由曲面z=x2+y2和z=2-x2+y2所围的体积V。5.积分 21x+11 (1+x-)exdx 2x。6.微分方程yy''-y'2=y2y'的通解为 。实变函数试卷 第1页（共4页）2. 设f(x)具有二阶连续导数，且f''(0)>0,f(0)=f'(0)=0，t是曲线y=f(x)上点(x,f(x)处的切线在x轴的截距，求limxf(t).x0tf(x)2u2u3. 设函数u=f(lnx+y)满足2+2=(x2+y2)2，求函数f的表达xy3式。实变函数试卷 第2页（共4页）4.设函数f(x)连续且恒大于零,及F

3、(t)=(t)f(x2+y2+z2)dv2D(t)f(x+y)d2，G(t)=D(t)f(x2+y2)dz=ey5. 设曲面S为曲线 (1y2) 绕z轴旋转一周所成曲面的下侧，计算x=0t-tf(x)dx2曲面积分I=4zxdydz-2zdzdx+(1-z2)dxdx 。s其中(t)=(x,y,z)x2+y2+z2t2，D(t)=(x,y)x2+y2t2 （1）讨论F(t)在区间(0,+)内的单调性； （2）证明t>0时，F(t)>2G(t)。实变函数试卷 第3页（共4页）6. 如图所示，设河宽为a，一条船从岸边一点O出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O相对的一点B。假设在静水中船速为常数 为常数V1，河流中水的流速9x-2y-2z+1=07.已知点M1(4,3,10)和直线L1，若M2是M1关于L1的对称4x-7y+4z-2=0点，求过点M2且平行于直线L1的直线。V2，试求船过河所走的路

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