传热学V4-第三章-非稳态热传导

1、第三章非稳态热传导Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-1 非稳态导热的基本概念研究物体内部温度场随时间的变化，或确定物体内部温度场达到某一限值所需要的时间。),(zyxft 0t给定的初始和边界条件下求解导热微分方程，获得瞬态的温度场和时间间隔内的导热量。(非傅立叶导热)典型工业非稳态导热的温度变化率Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer非稳态导热周期性非稳态导热非周期性非稳态导热正规状况阶段非正规状况阶段3-1 非稳态导热的基本概念研究物体内部温度

2、场随时间的变化，或确定物体内部温度场达到某一限值所需要的时间。),(zyxft 0t非正规状况阶段：受初始温度的影响正规状况阶段：初始温度影响消失，不同时刻的温度场分布仅受边界条件和物性的影响。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本特点： ，任何的非稳态导热均伴随加热或冷却的过程。非稳态导热过程中，在垂直于热流的方向， 各个截面的热流量不相等，不适用热阻分析方法。3. 存在非正规状况阶段（初始阶段），正规状况阶段和 新的稳态等三个阶段。4. 非稳态导热的温度分布不仅取决于，还取决于

3、 热扩散率 a。(水与空气的热扩散率？) 0t非稳态导热研究的目的：确定瞬时的温度场分布；1.一段时间间隔内物体的导热热流量。金属层保温层Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-1 非稳态导热的基本概念导热微分方程的唯一性定律：导热问题的数学描述导热微分方程 + 定解条件（初始条件、边界条件）表述某一导热问题的数学描述确定后，该导热问题的解（温度分布、热流量）具有唯一性 不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定解条件的不同的解。),(zyxft 初始条件边界条件导热微分方程定解条件某一导热问题的数学描述唯一解Shang

4、hai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-1 非稳态导热的基本概念毕渥数Bi 的概念：ththxt 0hhrrBih1平板冷却问题初始温度t0第三类边界条件毕渥数与平板内部温度分布的关系任一时刻平板内部温度分布均匀，与空间坐标无关，仅随时间变化Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-2 零维非稳态导热集总参数法毕渥数Bi 0，导热热阻可忽略，温度分布仅与时间相关，而与空间坐标无关（空间简化成一点）。简化为零维问题。ththxt 0集总参数法集总参数法的导热微分方程

5、：cVttAhcddt)(0, 0tt 零维问题不含空间导数，无边界条件初始条件：平板冷却问题初始温度t0第三类边界条件零维问题（空间简化为一点后），内热源界面换热量NOTICE:Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat TransferRecall stoutginEEEEstoutEERate basis conservation of energyddtVctthAs)(Heat Diffusion Equation of LCMddtVctthAs)(Initial Condition: itt , 0How to define Bou

6、ndary Condition?Cooling of a hot metal forging水，M220oC铁块, M1300oCShanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer定义过余温度：tt集总参数法的导热微分方程：cVAhddtt000分离变量积分求解VchAetttt00温度分布与空间坐标无关过余温度随时间呈指数曲线变化。3-2 零维非稳态导热集总参数法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer基于集总参数法的温度分布：VchAetttt00定义时间常数：hA

7、cVc)exp(00cttttc%8 .360c4%83. 10导热体已经达到热平衡时间常数越小，过余温度随时间的变化越快，即温度响应越快 热电偶3-2 零维非稳态导热集总参数法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer基于集总参数法的温度分布：VchAetttt00定义傅立叶数22)/()/(AVaAVcFov)exp(0vVFoBi22Flol a换热时间边界热扰动扩散到 面积上所需的时间傅立叶数表示非稳态导热过程进行的深度。 Fo 越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点的温度就越接近周围介质的温度。无量纲时

8、间3-2 零维非稳态导热集总参数法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer基于集总参数法的瞬态热流量：)/exp(0chAhA J )1()(00VchAeVcdQ基于集总参数法的 0 时刻内总热量：3-2 零维非稳态导热集总参数法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer集总参数法的适用条件：MAVhBiV1 . 0)/(厚度为2 的大平板： V/A M1半径为R的长圆柱： V/A=R/2 M=1/2半径为R的球体： V/A=R/3 M=1/3满足上述条件，则

9、物体中各点过余温度的差别小于5%集总参数法忽略温度的空间分布，无法获得板内温度的分布特性。但是由于与空间坐标无关，所以易于处理不规则几何外形的物体。3-2 零维非稳态导热集总参数法Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解ththxt 0平板加热问题第三类边界条件一维非稳态导热微分方程及定解条件：xtat220tt00 x0 xtx)tt (hxt边界条件初始条件Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解

10、ththxt 0平板加热问题第三类边界条件定义过余温度：ttxhx0 x0 x00,x0 xa022分离变量法求解抛物线型偏微分方程Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解n 为特征值，进一步定义：nn注意： 为平板的半宽e22nan1nnnnn0)xcos(cossinsin2), x(解的形式为无穷级数，难于计算，可以简化吗？),(0 xBiFof),(ahxft Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热

11、的分析解 （正规状况阶段）可以仅取 n1，误差小于12 . 02aFoeFxx021)cos(cossinsin2),(111110eFm021111100cossinsin2)(),0(平板中心 x0 )cos()(),(1xxm当 Fo 0.2，该比值与时间无关，表明该非稳态导热处于正规状况（充分发展）阶段Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解 （正规状况阶段）0时间间隔的导热量：00)(1 (QQQ0为温度为 t0和 t两个平衡态传递的热量：)(00ttcVQ 时刻的平均过余温度：dVxV

12、V00),(1)(Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解 （正规状况阶段）在 Fo 0.2 前提下，典型几何形体的一维非稳态导热分析解可以整理成统一形式。平板xhBi 2aFo RrhRBi 2RaFo圆柱和球注意： 为平板的半宽, 第一类贝塞尔函数 J 查附录14Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解 （正规状况阶段） 在 Fo 0.2 前提下，另外两种实用计算方法：近似拟合法，诺模图（海斯勒图

13、）法近似拟合法计算式中的 1 A B 和J0 用拟合公式表示。a，b，c 查表3-2)()(0577. 03259. 00354. 09967. 0)(01320 xJxJxxxxJShanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解 （正规状况阶段） 在 Fo 0.2 前提下，另外两种实用计算方法：近似拟合法，诺模图（海斯勒图）法诺模图（海斯勒图）法),()cos(cossinsin2),(111110021xBiFofxxeF00mm),()cos()(),(1xBifxxm),(0BiFofmm 为平板

14、中心 x0处的过余温度查图3-7 或附录16、17查图3-8或附录16、17导热量的计算Q/Q0 查图3-9或附录16、17平板任一点瞬态温度为何要引入平板中心的过余温度？Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-3 一维非稳态导热的分析解 （正规状况阶段） 一维非稳态导热问题分析解的适用范围：对于正规状况，需要满足 Fo0.2，此时级数可取首项 n1；不满足则需要采用完整的级数表达式。要求导热物体的初始温度t0 分布均匀。适用于第一类和第三类边界条件。1.适用于物体的加热或冷却过程。求解一维非稳态导热问题的基本步骤：计算毕

15、渥数Bi 是否满足集总参数法的要求，满足即可直接采用集总参数法。如果不满足，则采用分析解（包括近似公式和海斯勒图）。1.再不行，采用数值解法。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-4 半无限大物体的非稳态导热 非稳态导热周期性非稳态导热非周期性非稳态导热正规状况阶段非正规状况阶段半无限大物体的概念仅适用于非稳态导热的初始阶段，即非正规状况阶段的研究。半无限大物体的概念具有均匀初始温度t0的半无限大平板，在0时刻，x0侧突然受到热扰动。求物体内部的温度随时间变化？Shanghai Jiao Tong UniversityS

16、JTU-OYH传热学 Heat Transfer3-4 半无限大物体的非稳态导热 第一类边界条件wtt 定义过余温度：误差函数（附录15）注意边界条件与厚度为2无限大平板分析解的区别Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-4 半无限大物体的非稳态导热 第三类边界条件第二类边界条件三种边界条件下半无限大物体的非稳态导热分析解均为误差函数形式。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-4 半无限大物体的非稳态导热 误差函数特性：22ax9953. 0)2(0

17、 erf0),(txt ax4对于厚度为2 的平板，xa4 时刻以前的平板可视为半无限大物体ax162x 处的温度等于初始温度 t0，即半无限大的概念仅适用于惰性时间以内的非稳态导热初始阶段。惰性时间Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-4 半无限大物体的非稳态导热 半无限大物体：161442422Foaxaxax0625. 0161Fo处于非稳态导热初始阶段，作半无限大物体处理2 . 0Fo处于非稳态导热正规状况阶段，适用 n1情况下的分析解1 . 0Bi适用集总参数法求解Shanghai Jiao Tong Univ

18、ersitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-4 半无限大物体的非稳态导热 物体中任意截面x的热流密度： 2401xaxqxae 物体表面的热流密度（x0）：0wqa 0, 时刻内的通过面积A的总热量：002cAdqAQwc吸热系数：表示物体向与其接触的高温物体吸热的能力。本节对于初始阶段非稳态导热的讨论主要应用于物体加热或冷却的速率研究。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解 多维非稳态导热数值解：数值方法分析解：一维分析解的组合简单几何外形物体的无量纲温度

19、场可由其几何上的相贯体的一维分析解相乘获得。无量纲过余温度00),(),(tttyxtyx二维方柱二维圆柱三维立方体Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 二维控制方程及定解条件初始条件第三类边界条件条件绝热边界条件3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解二维无限长方柱体非稳态导热：柱体初始温度 t0，周围流体温度 t，表面换热系数 h。Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 两个厚度分别为21 22 无限大平板的控制方程及定解条件解的唯一性定理：一定的控制方程和定解条件下只能得到唯一解。将一维问题的控制方程和定解条件分别代入二维控制方程和定解条件即可证明。3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解Shanghai Jiao Tong UniversitySJTU-OYH传热学 Heat Transfer 二维、三维非稳态导热的分析解两、三个一维问题分析解的乘积。3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解0时间间隔多维非稳态导热的导热量：二维三维Shanghai Jiao Tong