龚德恩微积分学习文档

1、课程简介课程简介微积分学微积分学（Calculus）微分学微分学(Differential Calculus)积分学积分学(Integral Calculus)课课程程内内容容一元函数微积分及其应用一元函数微积分及其应用(中学已有接触中学已有接触)多元函数微积分及其应用多元函数微积分及其应用无穷级数无穷级数常微分方程常微分方程后继课程：后继课程：线性代数，概率论与数理统计等线性代数，概率论与数理统计等本课程是经济类和管理类本科生本课程是经济类和管理类本科生必修必修的数的数学基础课程学基础课程考核方式考核方式1 1、出勤、出勤2 2、作业、作业 30303 3、随堂测验、随堂测验 4 4、期末考

2、试、期末考试 7070总评成绩总评成绩本学期主要授课内容本学期主要授课内容第一章第一章函数函数第二章第二章极限与连续极限与连续第三章第三章导数与微分导数与微分第四章第四章中值定理、导数的应用中值定理、导数的应用第五章第五章不定积分不定积分参考书参考书微积分微积分 朱来义（难）朱来义（难）高等数学高等数学 同济大学主编同济大学主编 （难）（难）微积分微积分 赵树源主编赵树源主编 （易）（易） 第一章第一章 函数函数 微积分是以函数为主要研究对象的，本微积分是以函数为主要研究对象的，本章有关函数的基本概念与基本性质中学教材章有关函数的基本概念与基本性质中学教材已学，故本章属复习内容。我们可以通过做

3、已学，故本章属复习内容。我们可以通过做习题达到复习与巩固的目的。同学们也可以习题达到复习与巩固的目的。同学们也可以通过练习检验自己有关函数的内容掌握的情通过练习检验自己有关函数的内容掌握的情况。况。本章的基础对以后的学习非常重要本章的基础对以后的学习非常重要练习练习1 解下列含绝对值解下列含绝对值不等式不等式，并用，并用区间区间表示表示 解解集合集合。1 47x （） 747x 311x区间表示解集合区间表示解集合 3,11x 去绝对值符号，得：去绝对值符号，得：解解移项得：移项得：2 0 47x （）( 3,4)(4,11)x (3) 215x (, 3)(2,)x (4) 223x 1,0

4、)(4,5x 5 51xx （） (2,)x(6) 2321xx (1,)x一、绝对值的定义与性质一、绝对值的定义与性质定义定义1.1 设设a为一个实数为一个实数,定义定义a的绝对值的绝对值(记记为为|a|)为为, 0|, 0aaaaa 若若a, b为两个实数为两个实数,则由定义则由定义1.1可知可知, |, abababbaab 时时时时1.1 实实 数数绝对值有下列基本性质：绝对值有下列基本性质：(3) 不等式不等式|a |k（k0 ) 与与 不等式不等式k a k 等价；等价；(4) |a+ b| |a| +|b|，一般地，有，一般地，有 |a1+a2+an| |a1|+|a2|+|an

5、|; 2(1)| 0,| |,|;aaaaa (2) |;aaa (5) |a|b| |ab|;(6) |ab|=|a|b| , 一般地一般地 , 有有 |a1a2an|=|a1|a2|an|;(7),0.aabbb二、区间二、区间定义定义1.2 设设 a , b R, 且且 a b, 定义定义:(1)闭区间闭区间 a ,b=x |axb(2)开区间开区间 (a ,b)=x |axb(3)半开区间半开区间 (a ,b=x|a xb a ,b)=x |axb有限区间有限区间(4)无穷区间无穷区间(, | |bxxbx xb (, ) | |bxxbx xb ,) | |ax axx ax ( ,

6、) | |ax axx ax R(,)|xx 定义定义1.3 设设为某个正数为某个正数 , 称开区间称开区间(x0, x0+)为点为点x0的的邻域邻域 ,简称为点简称为点x0的邻的邻域域;称称x0为邻域的为邻域的中心中心,为邻域的为邻域的半径半径.点点 x0的邻域去掉中心的邻域去掉中心x0后的集合后的集合称为点称为点x0的的空心邻域空心邻域或或去心邻域去心邻域; 称开区称开区(x0, x0)为点为点x0的的左邻域左邻域, (x0 , x0+)为点为点x0的的右邻域右邻域.0000(,)(,)xxxx 问题：问题：什么是函数关系？由哪几个要素什么是函数关系？由哪几个要素 构成？构成？2(1) l

7、og()yx是否函数关系？是否函数关系？(2) xy 是否函数关系？是否函数关系？2(3) xyxyx 研研究究与与是否相同的函数关系？是否相同的函数关系？24 yxyx （） 研研究究与与是否相同的函数关系？是否相同的函数关系？一、函数的定义一、函数的定义定义定义1.4 设设D为一个非空的实数集合为一个非空的实数集合, ,如果如果存在一个对应规则存在一个对应规则f, ,使得对任一使得对任一xD, ,都能都能由由f 唯一地确定一个实数唯一地确定一个实数y, ,则称对应法则则称对应法则f为定义在实数集合为定义在实数集合D上的一个上的一个函数函数. .称称D为为函数函数f 的的定义域定义域, ,x

8、为为自变量自变量, ,y为为因变量因变量. .1.2 函数的概念函数的概念 定义域定义域D通常记为通常记为D(f ),当当D为区间时为区间时,称称D为定义区间为定义区间. 全体实数值所构成的集合全体实数值所构成的集合,称为函数的称为函数的值域值域 ,记为记为Z或或Z (f ),即即Z=Z (f )= y | y=F (x) ,x D ( f )y=f (x) , xD( f )对应于任一自变量对应于任一自变量x D( f ) 的函数值的函数值y记为记为注意注意DD；D D和和f是确定函数的两个要素；是确定函数的两个要素；所谓一个函数已知，就是说确定这个函数的所谓一个函数已知，就是说确定这个函数

9、的两要素是给定的，从而值域也是给定的；两要素是给定的，从而值域也是给定的；判断两个函数是否相同时，只需比较它们的判断两个函数是否相同时，只需比较它们的D D和和f是否相同即可；是否相同即可；对于一个函数而言，自变量和因变量用什么对于一个函数而言，自变量和因变量用什么符号表示是无关的，只要对应关系不变就行。符号表示是无关的，只要对应关系不变就行。例如，记号例如，记号y= =f( (x) ) ( (xD)D)和和g=g=f( (t) ) ( (tD)D)在在数学上表现的是同一个函数数学上表现的是同一个函数f : DZ : DZ；注意注意n单值函数与多值函数单值函数与多值函数21yx例如例如：称为单

10、值函数称为单值函数221yx称为多值函数称为多值函数 从函数关系定义来说，只有单值函从函数关系定义来说，只有单值函数满足函数关系的定义，多值函数不是数满足函数关系的定义，多值函数不是严格意义上的函数关系。但有时我们也严格意义上的函数关系。但有时我们也见到这样表示函数，要注意。见到这样表示函数，要注意。注意注意n从几何图像上看：任何一条垂直于从几何图像上看：任何一条垂直于x轴的直线与函数的图形最多只能相轴的直线与函数的图形最多只能相交于一点。交于一点。 1.1.公式法：公式法：用数学表达式所表示的一用数学表达式所表示的一个函数，就称为函数的解析法，也个函数，就称为函数的解析法，也就是公式法。就是

11、公式法。 例如例如 二、函数的表示法二、函数的表示法2cos11xyxx 2.2.表格法：表格法：是一种把自变量所取的值和是一种把自变量所取的值和对应的函数值列成表，用以表示函数对应的函数值列成表，用以表示函数关系的方法。例如关系的方法。例如 xy17-1811252338-5103. 3. 图示法：图示法：用函数图像来表示函数。用函数图像来表示函数。 4.4.分段函数表示法：分段函数表示法：定义域的不同子集定义域的不同子集合合( (多为子区间多为子区间) )上上, ,分别用不同的数分别用不同的数学表达式表示函数的方法。学表达式表示函数的方法。 例如例如, 绝对值函数绝对值函数:, 0|, 0 xxyxxx 符号函数符号函数:1, 0sgn0, 01, 0 xyxxx 取整函数取整函数:y=x=n , nx0由由 9 x2 0，得，得 |x|3 , 即即 x3,3;综上可知综上可知, 题设函数的定义域为题设函数的定义域为D(f )=3,3(,1) (1,+) =3, 1)(1,3即即x(,1)(1,+).由由 x210, 得得 x 1 或或 x 1,例例1.7 已知分段函数已知分段函数(1)求求g(x)的定义域并作图的定义域并作图;(2)求函数值求函数值 g(1), g(0), .1( )2g解解 (1)由由g(x)的