大一下高数下册知识点

1、-高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数（一）向量线性运算定理 1：设向量 a0，则向量 b 平行于 a 的充要条件是存在唯一的实数，使b a1、线性运算：加减法、数乘；2、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、利用坐标做向量的运算：设a(ax ,ay ,az)，b(b,b,b )；xyzab(ab,ab,ab)a(ax,ay,az)则xxyyzz,；4、向量的模、方向角、投影：1）向量的模： rx2y2z2 ；2）两点间的距离公式：AB(x2 x1)2(y2 y1)2(z 2z1)23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4）方向余弦： cosx,cosy

2、,coszrrrcos 2cos 2cos 215）投影： Prjuaacos，其中为向量 a 与 u 的夹角。（二）数量积，向量积1、数量积： ababcos21） aaa2） abab01-aba xbxaybyazbz2、向量积： cab大小： absin，方向： a,b,c 符合右手规则）01aa2）a/bab0ijkabaxayazbxbybz运算律：反交换律baab（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z)02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C:f(y,z)0，绕 y 轴旋转一周：绕 z 轴旋转一周：f(y,x2z2) 0f(x2y2,z) 03、柱面：F(x,y)0

3、F(x,y)0 表示母线平行于 z 轴，准线为的柱面z04、二次曲面2-x22yz221）椭圆锥面： a2bx2y2z 21）椭球面： a2b2c22x2y2z 21旋转椭球面： a2a2c2x2y2z21）单叶双曲面： a2b2c23x2y2z21）双叶双曲面： a2b2c24x2y2z）椭圆抛物面： a2b25x 2y 2z6）双曲抛物面（马鞍面）： ab22x2y217）椭圆柱面： a2b2x2y218）双曲柱面： a2b29）抛物柱面： x2ay（四）空间曲线及其方程F(x,y,z)01、一般方程：G(x,y,z)03-xx(t)xacost2、参数方程： yy(t)，如螺旋线：asi

4、ntyzz(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F(x,y,z)0H(x,y)0，消去 z，得到曲线在面xoy 上的投影G(x,y,z)0z0（五）平面及其方程1、点法式方程： A(xx0)B(yy0)C(zz 0)0法向量： n(A,B,C) ，过点 (x0,y0,z0)、一般式方程： AxByCzD02xyz截距式方程： a1bc3、两平面的夹角： n1(A1,B1,C1)，n2(A2,B2,C2)，cosA1A2B1B2 C1C2B2C2A 2B2C2A211122212A1A2B1B2C1C201/2A1B1C1A2B2C24、点 P0(x0,y0,z0)到平面 AxByCzD0 的

5、距离：dAx0By0Cz 0DA2B2C2（六）空间直线及其方程4-A1xB1yC 1zD101、一般式方程：A2xB2yC 2zD20xx0yy0zz02、对称式（点向式）方程：mnp方向向量： s(m,n,p) ，过点 (x0,y0,z0)xx0mt3、参数式方程：yy0ntzz0pt4、两直线的夹角： s1(m1,n1,p1)，s2(m2,n2,p2)，cosm1m2n1 n2p1p222222m21p1m2n2p21nL1 L21m2 n1n2p1p20mL1 /L2m1n1p1m 2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，AmBnCpsinA2B2C2m2n2p2

6、L/AmBnCp0ABCLmnp第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：（ 1）定义：设 n 维空间内的点集D 是 R2 的一个非空子集，称映5-射 f：DR 为定义在 D 上的 n 元函数。当 n2 时，称为多元函数。记为 U=f （x1，x2， ?， xn ），（ x1， x2， ?， xn ）D。3、二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面。如z=ax+by+c 的图形为一张平面，而z=x 2+y 2 的图形是旋转抛物线。4、极限：（ 1）定义：设二元函数f(p)=f(x,y

7、)的定义域 D,p0(x0,y0) 是 D 的聚点 D,如果存在函数A 对于任意给定的正数,总存在正数,使得当点p（ x,y ）D（ p0, ）时,都有f(p)-A =f(x,y)-A 成立 ,那么就称常数 A为函数 f(x,y)当(x,y)(x0 ,y0)时的极限，记作limf(x,y)A(x,y)(x0,y0)多元函数的连续性与不连续的定义5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：（1）在有界闭区域D 上的多元连续函数，必定在 D 上有界，且能取得它的最大值和最小值；（2）在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。6、偏导数：设有二元函数z=f(x,y) ，点 (x0

8、,y0)是其定义域 D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量x，相应地函数z=f(x,y) 有增量 (称为对 x/y 的偏增量 )如果z 与x/y 之比当x0/y0 时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y) 在(x0,y0) 处对 x/y 的偏导数记作6-fx(x0,y0)limf(x0x,y 0)f(x0,y0)xx0fy(x0,y0)limf(x0,y0y)f(x0,y0)yy07、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy (x,y)和 fyx(x,y) 在 D内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。、方向导数：8ffcosfcos其中 ,为

9、的方向角。lxyl9、全微分：如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量 z=f(xx， yy)-f(x,y)可以表示为 z=Ax+By+o()，其中 A、B 不依赖于 x, y，仅与 x,y 有关，当 0，此时称函数z=f(x,y)在点（ x，y）处可微分， Ax+B y 称为函数z=f(x,y)在点 (x,y)处的全微分，记为dzzdxzdyxy（二）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件4定义23函数连续微分法1）定义：2）复合函数求导：链式法则uxz7-若 zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y) ，则

10、zzuzvzzuzvxuxvx，uyvyy3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数zf(x,y) 的极值vyfx0解方程组fy0Afxx(x0,y0)，B求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令fxy(x0,y0)，Cfyy(x0,y0)，若 ACB20 ，A0，函数有极小值，若 ACB20，A0，函数有极大值；若 ACB20 ，函数没有极值；若 ACB20 ，不定。2）条件极值：求函数zf(x,y) 在条件 (x,y)0 下的极值令： L(x,y)f(x,y)(x,y) Lagrange 函数Lx0解方程组Ly0(x,y)02、几何应用1）曲

11、线的切线与法平面xx(t)曲线:yy(t)，则上一点 M(x0 00（对应参数为0）处的,y,zt)zz(t)8-xx0yy0zz0切线方程为： x(t 0)y(t0)z(t0)法平面方程为： x(t0)(xx0)y(t 0)(yy0)z(t 0)(zz 0)02）曲面的切平面与法线曲面 :F(x,y,z)0 ，则上一点 M(x 0,y0,z0)处的切平面方程为：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0xx0yy0zz0法线方程为：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)第十章重积分（一）二重积分n

12、f(x,y)dlimf(,)1、定义：0kkkDk12、性质：（ 6 条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标D(x,y) 1(x)y2(x) ，axbb2(x)f(x,y)dxdydxf(x,y)dyDa1(x)1(y)x2(y)D (x,y)y，cd9-d2(y)f(x,y)dxdydyf(x,y)dxc1(y)D2）极坐标1()2()D(,)2()f(x,y)dxdydf(cos,sin)d1()D（二）三重积分n1、定义：f(x,y,z)dvlimf(k,k,k)vk0k12、性质：3、计算：1）直角坐标z2(x,y)f(x,y,z)dvdxdyf(x,y,z)dz-“

13、先一后二”Dz1(x,y)bdzf(x,y,z)dxdyf(x,y,z)dvDZ“先二后a一”2）柱面坐标xcosysinf(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz，zz3）球面坐标10-xrsincosyrsinsinzrcosf(x,y,z)dvf(rsincos,rsinsin,rcos)r 2sindrdd（三）应用曲面 S:zf(x,y),(x,y)D 的面积：A1( z)2(z 2dxdyD)xy第十二章 无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：unu1u2u3unn 1Sn部分和：nuk u1 u2 u3un，k1正项级数：un，un0n1交错级数：( 1)nu

14、n，un0n12）级数收敛：若 limS nS 存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn1n13）绝对收敛：un 收敛，则un 绝对收敛；n1n111-条件收敛：un 收敛，而un 发散，则un 条件收敛。n1n1n1定理：若级数un 绝对收敛，则un 必定收敛。n1n12、性质：1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；(a b )收敛且，其和为2）级数an 与bn 分别收敛于和 s 与 ，则n nn1n1n1s+ 3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。5）必要条件：级数un 收敛即

15、limu n0.n1n3、审敛法正项级数：n，un0un1S 存在；1）定义：limSnn2）un 收敛Sn 有界；n1）比较审敛法：un，vn 为正项级数，且 uv(n1,2,3, )3n1n 1nn若vn 收敛，则un 收敛；若un 发散，则vn 发散 .n1n1n1n14）比较法的推论：un，vn 为正项级数，若存在正整数m，当 nm 时，n 1n1unkvn，而vn 收敛，则un 收敛；若存在正整数m，当 nm 时，n 1n112-un kvn，而vn 发散，则un 发散 .n1n1做题步骤：找比较级数（等比数列，调和数列，p 级数 1/n p）；比较大小；是否收敛。5）比较法的极限形

16、式：设un，vn 为正项级数，n1n1un)u收敛；（ ）若 liml(0l，而vn收敛，则n1vnnn1n1（2）若 limun0或 limun，而vn 发散，则un 发散 .nvnnvnn1ln16）比值法：unul1 时，级数un 收为正项级数，设lim n1，则当n1nunn1敛；则当 l1 时，级数un 发散；当 l1 时，级n可能收敛也可能发散 .数n 1n1u7）根值法：un 为正项级数，设 limnunl，则当 l1时，级数un 收敛；n 1nn1则当 l1 时，级数un 发散；当 l1 时，级un 可能收敛也可能发散 .数n1n18）极限审敛法：un 为正项级数，若limnu n0 或 limnu n，则级n1nn数un 发散；若存在 p1，使得 limn punl(0 l)，则级数u