高中数学分章节训练试题39立体几何与空间向量

1、高三数学章节训练题 39几何与空间向量 1时量：60 分钟满分：80 分班级： 计分：个人目标：优秀（7080） 良好（6069） 合格（5059） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）1、(2009 山东卷理)已知，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“ a b ”是“ m b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、在ABC 中， AB = 2, BC = 1.5, ÐABC = 1200 ,若使绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 3 pB. 5 pC. 7 pD. 9 p22

2、223.（2009 全国卷文） 已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 = 2 AB ， E 为 AA1 重点， 则异面直线 BE 与CD1 所形成角的余弦值为（）10157A.B.1033 10C.D.1054、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的6投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a+b 的最大值为（）2B. 2 35A. 2C. 4D. 23235、某个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）.6A.B.3C.3 D.226、一个水平放置的正方形的面积是 4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四

3、边形, 这个四边形的面积是（）.2A. 2B.4 C.6D. 12二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）21、把边长为的正方形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,则过 A,B,C,D 四点的球的体 积为。2、关于直线与平面，有下列四个命题：1）若m a ， n b ，且a b ，则 m n ；2）若m a ， n b 且a b ，则 m n ；3）若m a ， n b 且a b ，则 m n ；4）若m a ， n b 且a b ，则 m n ；其中不正确题为 3、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的 （：cm），可得这个几何体的体积是DC4、在矩形 ABCD 中

4、，AB3，AD4，P 在AD 上，设ÐABP = q ，将DABP沿 BP 折起，使得面 ABP 垂直于面 BPDC， AC 长最小时q 的值为5、 如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为 2的正方形，P 是 BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁 A 处，内壁 P 处有一米P粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为。第 1 页 共 7 页AB三、解答题：（本大题共 2 小题，满分 25 分）1、（2009 东莞）在直三棱柱 ABC - A B C 中， AB = AC = 1， ÐBAC = 900 ，且1 1 1异面直线 A B 与 B C 所成的角等于

5、600 ，设 AA = a .（1）求 a 的值；（2）求平面 A BC11 1111与平面 B1BC1所成的锐二面角的大小.B2. 如图， 在三棱锥 P - ABCPC AC 中， AC = BC = 2 ， ÐACB = 90AP = BP = AB ，（）求证：PC AB ；（）求二面角 B - AP - C 的余弦值；（）求点C 到平面 APB的距离PDABC第 2 页 共 7 页一、选择题1、【 】:B【】:由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面内的一条直线, m b ,则a b ,反过来则不一定.所以“ a b ”是“ m b ”的必要不充分条件.2、【】.A 【】

6、：V = V-V= 1 p r2 (1+1.5 -1) = 3 p大圆锥小圆锥3253. 【 】：C【 】：本题考查异面直线夹角求法， 一：利用平移，CDBA' ,2因此求EBA' 中A'BE 即可，EB=,A'E=1,A'B=, 故由余弦定理求 cos3 10A'BE=10，或由向量法可求。m2 + n2 + k 274、【】C【】：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高 宽 高 分 别 为m, n, k， 由 题 意 得=，m2 + k 26=(a2 -1) + (b2 -1) = 6Þ n = 1= a，1+

7、 k 2Þ a2 + b2 = 8= b，所以1+ m2，(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 8 + 2ab £ 8 + a2 + b2 = 16Þ a + b £ 4 当且仅当 a = b = 2 时取等号5、【 】D【】从三视图可以观察发现几何体是正三棱柱，底面边长为 2cm， 1cm，所以体积为6、【 】B 二、填空题3 ´ 22 ´1 =4（3 cm3）.1、【 】本题不告知翻折的角度，意在提醒学生找不变量。不难发现正方形对角线交点到四个顶点的距离相等，故交点即为球心，半径为 1。【】 4 p32 、【】1）

8、，4）；【】 传统空间位置的依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可多参考教室空间，或手中的笔与桌子这些具体模型。3、【 】 三视图是新增考点，根据三张图的，可知几何体是正方体的一部分，是一个四棱锥。本题也可改编为求该几何体的外接球的表面第 3 页 共 7 页积，则必须补全为正方体，增加了难度。【】 8000 cm334、【 】本题是 几何中的最值问题，建立数学模型，用函数解决是一种重要 。过 A 作AH BP 于 H，连CH， AH 面BCP 在RtDABH中，AH = 3sinq，BH = 3cosq 在DBHC中，CH2 =（3cosq）2 + 42 - 2 ´ 4 

9、0; 3cosq ´ cos（90° - q），在 RtDACH中， AC 2 = 25 - 12 sin 2q ，q = 45° 时，AC 长最小；【 】q = 45°5、 【】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。侧面展开后得矩形 ABCD ， 其中 AB = p , AD = 2 问题转化为在CD 上找一点Q, 使 AQ + PQ 最短作 P 关于CD 的对称p 2 + 9点 E ，连接 AE ，令 AE 与CD 交于点Q, 则得 AQ + PQ 的最小值为p 2 + 9【 】三、填空题解法一：（1）Q BC / B1C1 ， ÐA1

10、 BC 就是异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角，1即ÐA BC = 600 ，（2 分）连接 A1C ，又 AB = AC ，则 A1 B = A1C1 DA BC 为等边三角形，4 分21 + a 22由 AB = AC = 1， ÐBAC = 900 Þ BC =，21 A B =Þ=Þ a = 1；6 分（2）取 A1 B 的中点 E ，连接 B1 E ，过 E 作 EF BC1 于 F ，连接 B1 F ，B1 E A1 B , A1C1 B1 E Þ B1 E 平面 A1 BC1Þ B1 E BC18 分又

11、 EF BC1 ，所以 BC1 平面 B1 EF ，即 B1 F BC1 ，所以ÐB1 FE 就是平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的平面角。10 分1´232在DB EF 中， ÐB EF = 900 ， B E =， B F =,1112111 sin ÐB FE = B1 E =3 Þ ÐB FE = 600 ，13 分B1 F2因此平面 A BC 与平面 B BC 所成的锐二面角的大小为600 。14 分1111说明：取 B1C1 的中点 D ，连接 A1 D ，同样给分（也给 10 分）解法二：（1）建

12、立如图坐标系，于是 B(1,0,0) ，B1 (1,0,1) ，C1(0,1,1) ， A1 (0,0, a)（ a > 0 ）zA-®-®-®-®B1C1 = (-1,1,0) ， A1 B = (1,0,-a) ，B1C1× A1B = -13 分第 4 页 共 7 页B由于异面直线 A B 与 B C 所成的角600 ，11 1-®-®所以 B C 与 A B 的夹角为12001 11-®-®即| B C | × | A B | cos1200 = -11 112Þ

13、5; 1 + a 2 (- 1) = -1 Þ a = 16 分2®®（2）设向量 n = (x, y, z) 且 n 平面 A1 BC1®-®®-®® -®® -®于是 n A1 B 且 n A1C1 ，即 n× A1 B = 0 且 n× A1C1 = 0 ，-®-®ìx - z = 0®î又 A1 B = (1,0,-1) ， A1C1 = (0,1,0) ，所以í y = 0，不妨设 n = (1,

14、0,1) 8 分®®同理得 m = (1,1,0) ，使 m 平面 BB1C1 ，（10 分）®®® ®®®设 m 与 n 的夹角为q ，所以依m× n =| m | ×| n | ×cosq ，22Þ×× cosq = 1 Þ cosq = 1 Þ q = 600 ，12 分2®®m 平面 BB1C1 ， n 平面 A1 BC1 ，因此平面 A BC 与平面 B BC 所成的锐二面角的大小为600 。14 分111

15、1BCMAM-® = 1 1-®BB C说明：或者取的中点，连接，于是 AM( ,0) 显然 AM平面1 12 22. 解法一：（）取 AB 中点 D ，连结 PD，CD AP = BP ， PD AB AC = BC ，CD AB PDCD = D ， AB 平面 PCD PC Ì 平面 PCD ， PC AB （） AC = BC ， AP = BP ，APC BPC 又 PC AC ， PC BC 又ÐACB = 90，即 AC BC ，且 ACPC = C ， BC 平面 PAC 取 AP 中点 E 连结 BE，CE AB = BP ， BE A

16、P EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，CE AP PEPHDABABÐBEC 是二面角 B -CAP - C 的平面角 在 BCE 中， ÐBCE =C90 ， BC = 2 ，BE =3 AB =，62sin ÐBEC = BC =BE EC EB22 ´ 66 cos ÐBEC = EC · EB =333第 5 页 共 7 页（）由（）知 AB 平面 PCD ，平面 APB 平面 PCD 过C 作CH PD ，垂足为 H 平面 APB 平面 PCD = PD ，CH 平面 APB CH 的长即为点C 到平面 APB 的距

17、离由（）知 PC AB ，又 PC AC ，且 ABAC = A ， PC 平面 ABC CD Ì 平2面 ABC ， PC CD 在RtPCD 中， CD = 1 AB =， PD =23 PB =，62 PC = 2 CH = PC ´ CD = 2PD2 - CD2PD3 点 C 到平面 APB 的距离为32 33网解法二：（） AC = BC ， AP = BP ，APC BPC 又 PC AC ， PC BC ACBC = C ， PC 平面 ABC AB Ì 平面 ABC ， PC AB （）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C - xyz 则C(0，0，0)，A(0，2，0)，B(2，0，0) 设 P(0，0，t) PB =AB = 2，t = 2 ，P(0，0，2) 取 AP 中点 E ，连结 BE，CE 2AC = PC ， AB = BP ，CE AP ， BE AP ÐBEC 是二面角 B - AP - C的平面角E(0，1，1) ， EC = (0，-1，-1) ， EB = (2，-1，-1) ， EC