微专题_圆锥曲线中的最值问题

1、专题30圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成 为高考命题者青睐的一个热点。江苏高考试题结构平稳，题量均匀每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广.虽然解析几何的题量不多，分值仅占总 分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体.俗话说：他山之石可以攻玉.在研究这几年外省新 课程卷解析几何试题时，就很有启发性比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲

2、线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算 的方法求解.再比如 2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点 到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已 的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同 的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；(2 )不等式(组)求解法：禾U用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不 等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围；(3 )

3、函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个 函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。(4 )利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； 【激活思维】2 21.已知双曲线 X2 当 1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60。的直线与双 a b曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是2,)2 22 . P是双曲线 1的右支上一点，M、N分别是圆(x + 5)2 + y2 = 4和(x 5)2 + y2 = 1916上的点，贝U |PM| |PN |的最大值为7_243 .抛物线y

4、=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 一4.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(X1,y1),B(X2,y2)两点，贝U y/+y22的最小值是32.5 .已知点M(-2 , 0), N(2,0)，动点P满足条件|PM | PN | 2、2 .记动点P的轨迹为 W.(I)求W的方程；ULW UUU(n)若A, B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OAOB的最小值解：(I)依题意，点 P的轨迹是以M , N为焦点的双曲线的右支，2 2所求方程为： =1(x>0 )2 2(n)当直线 AB的斜率不存在时，设直线 AB的方程为x = X0,2 2uu

5、 uuu此时 A (xo, g2 ), B (xo， Jx°2 ), OA OB = 2当直线AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为y= kx + b,2 2代入双曲线方程 =1中，得：(1 k2)x2 2 kbx b2 2 = 02 2依题意可知方程1 °有两个不相等的正数根，设A(Xi,yi),B(X2,y2),则k2)?( b2 2)04k2b2 4(12kb1 k2b2 2_xx 20k2 1 uuu uuu又 OA OB = X1X2 + y1y2 = X1X2 +( kx 1 + b)xiX2解得| k|>1 ,=(1 + k2) X1X2 + kb (X

6、1 + X2)um uuu综上可知OA OB的最小值为2(kx 2 + b)2 2k2+ 2,+ b2 =2= 2 +k214k21 >2【典型示例】2求抛物线y x上的点到直线4x 3y 80距离的最小值？由点到直线的距离公式得P到直线的距离d( x。)= 空03x058|24当X0=2时，dm取得最大值2分析二：设抛物线上点P(x°,-Xo)到直线4x+3y-8=0 距离最小,则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行,142 24故y(X0)=-2x0 =- ，x0 =，二 P(，-),33392/ 4、|43)8|此时d=394分析三：设直线方程为 4x+3y+

7、C=0则当I与抛物线相切时I与4x+3y-8=0 间的距离为所求最小，2y y24由得 4x-3x+C=0，二 =16+12C=0, 二 c=-，此时4x 3y C 031 8 ( 3)4d=-53【分类解析】2 2例1:已知椭圆2591 , A (4 , 0 ), B (2 , 2 )是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点，求:(1)|PB |有最小值，最小值为5求一| PA| | PB|的最小值；(2 )求| PA | |PB |的最小值和最大值4分析：(1 ) A为椭圆的右焦点。作 PQ丄右准线于点Q ,| pa |4则由椭圆的第二定义e -,|PQ|55|PA| |PB| | PQ| |PB

8、|,417显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为17 。4(2 )由椭圆的第一定义，设 C为椭圆的左焦点，则 |PA| 2a | PC | | PA | | PB | | PA | 2a | PC | 10 (| PB | PC |),根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。当P到P"位置时，|PB| |PC|BC| ,|PA| | PB |有最大值，最大值为10 |BC | 10 2.10 ；当 P 至U P'位置时，| PB | PC | BC | ,| PA|10 | BC | 10 2 .10.(数形结合思想

9、、椭圆定义、最值问题的结合)变式：点A (3, 2)为定点，点F是抛物线y2=4x的焦点，点P在抛物线y2=4x上移动，若|PA|+|PF|取得最小值，求点 P的坐标。解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1 ,设P到准线的距离为 d，则|PA|+|PF|=| PA|+ d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由图 3可知过A点的直线与准线垂直时，|PA|+|PF| 取得最小值，把y=2 代入 y2=4x，得 P (1 , 2 )。例2:已知椭圆的中心在 O,右焦点为F,右准线为L ,若在L上存在点M ,使线段OM的垂直平分 线经过点F，求椭圆的离心率 e的取值范围？解：如果注意到形助数的特点，

10、借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点 F，则MFOFc,利用平面几何折线段大于或等于直线段(中心到准线之间的距离)，则有椭圆的离心率e的取值范围椭圆的离心率e的取值范围为今12变式1:已知双曲线Fi、F2，点P在双曲线的右支y21,(a0,b0)的左、右焦点分别为b上，且| PFi|=4| PF2|,求此双曲线的离心率 e的最大值？5解：双曲线的离心率e的最大值为-32 2变式2:已知椭圆方程为字占-0 a b)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在为椭圆上的任意一点，且| PFi|=4| PF2I，求此椭圆的离心率 e的最小值？3解：椭圆的离心率 e的最小值为

11、-52例3:已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆 y2 1上移动,试求|PQ|的最大值。9解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当 PQ通过圆心O1时| PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求| O1Q|的最大值.设Q(x , y)，则| O1Q| 2= x2+(y-4)2因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)1 2将代入得 | O1Q| 2= 9(1-y2)+(y-4)28-27因为Q在椭圆上移动，所以-1 y 1，故当y 1时，OQmax 3、32此时PQ max 3运1【点晴】1与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函

12、数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。2x 2变式1:设P是椭圆 + y = 1 ( a > 1 )短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点a求| PQ |的最大值解法1:依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ),则| PQ | = 、W (y 1)2 .又因为Q在椭圆上，所以 x2= a2(1 y2).2 2|PQ |2 = a2 2(1 y ) + y 2y=(1a2) y2 2y + 1 +a2)(y 宀)21 aa2=(1若a >w 1,因为|PQ |取最大值2 : 2 a . a2a若 1< a <2，则当 y =

13、1时,| PQ|取最大值2 .解法2:设 P(o, 1), Q (acos,sin ),则|PQ |2cos2+(sin1)2(1a2 )si n22 sin +(1a2 )(sin2 + a2+ 1. a注意到| sin| wa > 1.以下的讨论与解法1相同.UUlU UULT变式2:已知 OFQ的面积为2.6 , OF FQ m(1 )设 6 m 4J6，求 OFQ正切值的取值范围；1,uuur(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q(如图)，|OF| c, m(込 1)c2 当 |OUU|4取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：(1 )设 OFQ =UJU UUT|OF |

14、|FQ|cos(1 UUU1 |OF |2Q 6 mumr |FQ |sin2、6tan46tan(2 )设所求的双曲线方程为2 2x y2 2a bUUlU1(a0,b0),Q(X1,yJ 则FQ (xc, y1)S OFQ丄辭| |yj 2.6 , %4,62UUUT UUU 又 OF FQuuu uuu. q 2m，二 OF FQ (c,0)(论 c, yj (论 c) c (1 c4当且仅当c=4时,uuu296 3c2|0Q|y2、，28"2.|Oq |最小，此时Q的坐标是(、6, . 6)或(、. 6,、6)2yi§a2a【精要归纳】圆锥曲线的最值问题，b21b

15、2162ab24 ，所求方程为1242乂 1.12常用以下方法解决:(1 )当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，(2 )范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例x21 .已知P是椭圆4O为原点，求四边2x2 .给定点A(-2,2)，已知B是椭圆 一25最小值时，则B点的坐标为21上的动点，F是右焦点，当165 “3AB-BF取得3。( ,2)2可考虑利用数形结合法解；2中可以利用方程和垂直平分 线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程,认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。(3 ).函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其

16、中所涉及到的函数最常见的有二次 函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视(4 )禾9用代数基本不等式，结合参数方程，禾U用三角函数的有界性。【课后训练】2y 1在第一象限内的点，a(2, 0), B(0, 1),i(-2x24.如图，已知A、B是椭圆162x5 .如图所示，设点 Fi, F2是21的两个焦点，过2F2的直线与椭圆相交于A B两点,3 .抛物线y2=2x上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为2y1的两个顶点，9C、D是椭圆上两点，且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD面积的最大值是12 JFA(X1,yJ,B(X2,y2)求厶RAB的面积的最大值，并求出此时直

17、线的方程。SVF1 ABSVF1F2A SVF1F2B， 设SVF1AB | F1F2 | | y1y2 |1 y1y21设 直 线AB的方程2 2(2 k 3)y 4ky 40y1y24 血 k2 1)即|y ¥2!厂4 3(Qc 1)为 x ky4k1k211 代 入 椭 圆 方 程 得42k2 3利用 f(t)SVFiAB 在 t11，- SVF1AB2t t(t 1 )的单调性易得在0时取最大值为4,33，(t 1 )禾9用均值不等式不能区取“=”1时取最小值此时直线AB的方程为x 126. P、Q、M、N四点都在椭圆x1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点。已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF MF 0。求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知 MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F (0,1 ),且PQ丄MN，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ的斜率为k，又PQ过点F (0,1 )，故PQ方程为y k