异面直线及其所成的角

1、异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc参考答案与试题解析一 填空题（共30小题）1. （ 2015?松江区一模）在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°贝U BC1与AC所成的角为 arcco（结果用反二角函数表示）.来源：2015年市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角.分析：连接A1C1, A1B，则AC / A1C1, / BC1A1即为BC1与AC所成的角.由于 CC1丄平 面ABCD，则ZC1 BC=60 °设正四棱柱 ABCD - A1B1C

2、1D1中的底面边长为a,侧棱 长为b,即b=.站，再由余弦定理，即可得到.解答：解：连接A1C1, A1B，则AC / A1C1 , / BC1A1即为BC1与AC所成的角.设正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中的底面边长为a,侧棱长为b,则由于CC1丄平面ABCD，则/ C1 BC=60 °即有 tan60°=，即 b= :a,在厶 BA 1C1 中，BC仁BA 仁.=2a, A1C1=计a,cos/ BC1A1=点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题.2. （ 2015?浦东新区一模）如图，已知PA丄平面ABC ,

3、 AC丄AB , AP=BC=2 , / CBA=30 °D、E分别是BC、AP的中点.求异面直线 AC与ED所成的角的大小为arccos .4 _来源：2015年市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角.分析：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角.本题中取AB中点F,连接DF , EF,则AC / DF, / EDF就是异面直线 AC与PB所成的角.再 放入RtA EFD中来求.解答：解：取AB中点F,连接DF,

4、EF，则AC / DF ,所以/ EDF就是异面直线 AC与PB所成的角.由已知，AC=EA=AD=1 , AB=“jl, PB=.二/ AC 丄 EF, DF 丄 EF.在 Rt EFD 中,DF=2,2ED=:,J?cos :-所以异面直线AC与ED所成的角为arccos| ：故答案为:arccos 工点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题.3. （2015?校级二模）在四面体 ABCD中，AD丄AB , AD丄DC ,若AD与BC成角60°且 AD=二:，则BC等于：_.来源：2015年省三中高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所

5、成的角.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：如图所示，长方体中， AD丄AB , AD丄DC,若AD与BC成角60°则/ BCE=60 ° 即可求出BC .解答：解：如图所示，长方体中，AD丄AB , AD丄DC,若AD与BC成角60°则/BCE=60 ° AD= . ：:,-CE=_ ；, BC=2f 1.故答案为：2. .SA点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键.4. （ 2015?二模）四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为形，且 PA丄平面ABCD , PA=AB , 则直线PB与直线AC所成角的大小为

6、一 .-f3 来源：2015年省市高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征.专题：计算题；空间角.分析：将图形补成体，连接 AE , CE，则PB / EC,所以/ ACE是直线PB与直线AC所成 角，即可得出结论.解答：解：如图所示，将图形补成体，连接AE , CE，则PB / EC,所以/ ACE是直线PB与直线AC所成角，因为 AC=AE=CE ,17T所以 / ACE= .3故答案为：匹.3点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查学生的计算能力，比较基础.5. （ 2015春？校级期末）已知四面体 OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直

7、线 BD与AC所成角的余弦值是Jv&来源：难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：先画出四面体 OABC，取棱OC中点E,连接DE , BE,可判断/ BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出"-：，这样便可得到|decos/ BDE=BD解答：解：如图，取OC中点E,连接DE, BE;/ D是棱OA的中点; DE / AC ; / BDE或其补角为直线 BD , AC所成角; 贝在 BDE 中, BD=BE=d, DE=±2 2cos£BDE= / BDE为异面直线BD , AC所成角，其余弦值为 故答案为：一；.6故答案为

8、:B点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系.6. （ 2015 春？期末）长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB=BC=2 , AA1=1，贝U AC1 与 BB 1 所成 角的正弦值为=3 来源：2014-2015学年省市高一（下）期末数学试卷（ A卷）难度：0.80考点： 专题： 分析：异面直线及其所成的角.空间位置关系与距离.如图所示，连接 AC,由B1B / C1C，可得/ AC1C是异面直线 AC1与BB 1所成的角, 再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出.解答：解：如图所示，连接AC ,/ B1B / C1C, / AC

9、1C是异面直线 AC1与BB1所成的角.在 Rt AC1C 中，AC=| - 1| =. ： - - =3,人。=讥/+阮牛血 + 0舗，点评：本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题.7. ( 2014秋？凤凰县校级月考)体 ABCD - A1B1C1D1中，M , N分别是棱 A1D1、C1C中点,则异面直线A1D与MN所成角的余弦值为兰3 -来源：2014-2015学年省湘西州凤凰中学高二(上)第三次月考数学试卷(理科)难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.丽|=朋=3f|-j>£异面直线A1D与MN所成角

10、的余弦值为故答案为：一；.专题：空间角.分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出异面直线 A1D与MN所成角的余弦值.解答:解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 1为z轴， 建立空间直角坐标系，设体ABCD - A1B1C1D1棱长为2,则 A1 (2, 0, 2), D ( 0, 0, 0),M (1, 0, 2), N (0, 2, 1),AD= (-2， 0，- 2),出=(-1, 2，- 1),点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量 法的合理运用.S& ( 2014?模拟)如

11、图，体 ABCD - A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，则异面直线 C1M与AA1所成角的余弦值为来源：2014年省市高考数学二诊试卷(理科)难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角.分析：设体的边长为a,由平行公理可得 CC1/ AA1，则/ CC1M即为异面直线 C1M与AA 1 所成角，通过解直角三角形 CC1M，即可得到所求值.解答：解：设体的边长为 a,贝U CM二上，由于 CC1 / BB1, BB1 / AA 1,则CC1 / AA1，则/ CC1M即为异面直线 C1M与AA 1所成角，在CC1M 中,cos/ CC1M=故答案为：

12、'.51考查平移法的运用，考查运算能力，属于基础题.点评：本题考查异面直线所成的角的求法,9. ( 2014春？嵩明县校级期末)如图所示，点 P在形ABCD所在平面外，PD丄平面ABCD , PD=AD，贝U PA与BD所成角的度数为60° .来源：2013-2014学年省市嵩明一中高一年级(下)期末数学试卷难度：0.79考点：异面直线及其所成的角.分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为 z轴，建立空间坐标系，/点P在形 AB

13、CD 所在平面外，PD丄平面ABCD , PD=AD，令PD=AD=1 A ( 1, 0, 0), P (0, 0, 1) , B (1 , 1, 0) , D (0 , 0 , 0) -= (1 , 0, - 1), I' '= (- 1, - 1 , 0)COS0=PA-BD-1|PA|X | BD | V2XV2故两向量夹角的余弦值为一，即两直线PA与BD所成角的度数为60°故答案为：60 °点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取 了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线,大大

14、降低了思维难度.如图，在棱长为2的体ABCD - A1B1C1D1中，0为底面 ABCD的中心,E为CC1的中点，那么异面直线0E与AD1所成角的余弦值等于来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果.解答：解：取BC的中点F,连接EF, OF由于O为底面ABCD的中心，E为CCi的中点，所以：EF / BC1/ AD1所以：异面直线 OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角.平面 ABCD丄平面BCC1B1OF 丄 BC所以

15、：OF丄平面BCC1B1EF?平面 BCC1B1 所以：EF丄OFcos_ Fi",'.故答案为：11.（ 2014秋？易县期末）点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之 间的转化，属于基础题型.在体ABCD - A1B1C1D1 中, BC与C1D1所成的角的度数为90°来源：2014-2015学年省市易县职教中心高二（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：由C1D1/CD，能求出BC与C1D1所成的角的度数.解答：解：tCiDi / CD,又CD丄BD, BC与C1D1所成的角的度数

16、为 90°故答案为：90 °点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位 置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养.12. （2014秋?利川市校级期末）体 ABCD - A B C D '中，异面直线 BD与AD所成的角的大 小为 60°.来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：连结B DAB BD / B D/ AD B是异面直线 BD与AD '所成的角，由 AB D是 等边三角形，能求出异面直线BD与AD所成的角.解答：解：连结B DAB',/ BD / B D /

17、 AD B '是异面直线 BD与AD所成的角， AB D '是等边三角形， / AD 'B '=60 °异面直线BD与AD '所成的角为60°故答案为：60°点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思 维能力的培养.13. （2014秋？罗湖区校级期末）直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AC=AB=AA 1,且异面直线难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：由已知条件，构造体 ABDC - A1B1D1C1，由此能求出/ CAB=90 解答：解：由已知条件，构造

18、体 ABDC - A1B1D1C1,满足条件AC=AB=AA 1,且异面直线 AC1与A1B所成的角为60° / CAB=90 °故答案为：90°点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用.14. （2014秋？期末）已知正四面体 ABCD中，E, F分别为AB , CD的中点，则异面直线 EF与AD所成角的度数为45 ° .来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（文科）难度：0.80考点： 专题： 分析：异面直线及其所成的角.空间角.根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借

19、助中位线，平移直线 AD，得到异面直线 EF与AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得.解答：解：取BC的中点G,连接EG, FG, E, G分别为AB , BD的中点， EG / AD , FG / BC, EGAD , FG冷BC / FEG为异面直线EF与AD所成的角四面体ABCD为正四面体， AD=BC , EG=FG过点A作AO丄平面BCD，垂足为 0,贝U OBCD的重心，AO丄BD/ DO 丄 BC , AO ADO=O BC丄平面AOD/ AD?平面 AOD BC 丄 AD ,/ EG / AD , FG / BC EG 丄 FG在 Rt EGF 中，/ / EGF=90 &

20、#176;,且 EG=FG / FEG=45 °故答案为：45°D点评：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了 学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力.15. （2014秋?期末）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线 AB与CE所成角的 余弦值等于?_.来源：难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：取BD的中点F,连接EF, CF，贝U EF与CE所成的角即为异面直线 AB与CE所成 角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值.解答：解：如图所示，取 BD的中点F,连接EF, CF,则E

21、F与CE所成的角即为异面直线 AB与CE所成角，设正四面体 ABCD的棱长为2a, （ a> 0）,贝U EF=_AB=a , CE=CF=2a?sin60°=Va,在厶CEF中,故答案为：;.点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦 定理的合理运用.16. （2014 秋？期末）如图，长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AA 1 =AB=2 , AD=1 , E, F, G 分别是DD1, AB , CC1的中点，则异面直线 A1E与GF所成角为 90° .来源：2014-2015学年省市高一（上）期末数学试卷难度：0

22、.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出异面直线 A1E与GF所成角.解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 1为z轴，建立空间直角坐标系，A1 (1, 0, 2), E (0, 0, 1),G (0, 2, 1), F (1, 1, 0),；(-1 , 0 , - 1),:;卜=(1, - 1 , - 1),设异面直线 A1E与GF所成角为0,一 一 IM-GFIcos 0=|cosv a i E GF > F 叮=0 ,异面直线A1E与GF所成角为90°故答案为

23、：90°点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力， 解题时要注意向量法的合理运用.17. （2014秋？期末）体ABCD - A1B1C1D1中，AC与BD交于点 O,则异面直线 OC1与AD 1 所成角的大小为30° .来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：连结BC1, AD1/ BC1, / BC1O是异面直线 OC1与AD 1所成角，由此利用余弦定理 能求出异面直线 OC1与AD1所成角的大小.解答：解：连结 BC1, / AD1 / BC1, Z BC1O是异面直线 OC1与AD1所成角， 设体AB

24、CD - A1B1C1D1中棱长为2, 则 bo4+12, C1O=JM!, EC】二二2丑,/ cos/ BCiO=比1 2十OC / -0B2 2BC1 -OCj=S+G- 2"2X272X6， / BCiO=30°异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°故答案为：30°点评：本题考查异面直线 OCi与ADi所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦 定理的合理运用.18. （2014秋?期末）在形ABCD中，E, F分别为边AD , BC的中点，若沿EF将形折成一 个二面角A - EF - D使得AD" :AE，则异面直线 AD与C

25、E所成角的余弦值为''来源：难度：0.80考点： 专题： 分析：异面直线及其所成的角.空间角.连结BE , CE、BC,由AD / BC ,得/ BCE是异面直线 AD与CE所成角，由余弦定=. 2叫 2理得：cos/ BCE"，由此能求出异面直线 AD与CE所成角的余弦2BC -CE|值.解答：解：连结 BE , CE、BC,设 AE=x，贝U DE=x , AD=CB= - :, AE2+DE2=AD2, AE 丄 DE,卜- .：" 1 - . '、, AD / BC , / BCE是异面直线 AD与CE所成角, 由余弦定理得：cos/ BCE

26、=BC2-*-CEz - BE2ZBC'-CE2z2+5k2 -Bk22X辰“応理运用.故答案为：i.解题时要认真审题，注意余弦定理的合19. （ 2014秋？期末）如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，侧棱与底面垂直，已知AB=AC=AA 1=2 ,/ BAC=90。，若D为BC的中点，贝U AB1与C1D所成角的余弦值为6BCi来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AAi为z轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出AB i与C1D所成角的余弦值.解答：解

27、：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AAi为z轴，建立空间直角坐标系，A (0, 0, 0), B1 (2, 0, 2),C (0, 2, 2), D (1, 1 , 0),帚上(2, 0, 2), | 'i= (1,- 1 , - 2),2 V3COS0=|COS<AB, CD> 1=设AB1与C1D所成角为0,两卜丽I后餌飞 AB1与C1D所成角的余弦值为 ：.故答案为：.点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量 法的合理运用.20. （2014 秋？期末）直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，/ BAC=90 °

28、AB=AC=CC 1, M 是 A1B1 的中点，贝V AC1与BM所成角的余弦值为5来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角. 专题：空间角.分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出AC1与BM所成角的余弦值.解答:解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA 1为z轴， 建立空间直角坐标系，设 AB=AC=CC 仁2 ,则 A (0, 0, 0), C1 (0, 2, 2),B (2, 0, 0), M (1, 0, 2)工,=(0 , 2 , 2) ,|小|= (- 1

29、, 0 , 2),设AC1与BM所成角为0,cos 0=|cosv 卜，门|= 4 =伍 |西卜|丽|品.兵5 故答案为:IDB”:碍|DB；f “1 1，由此能求出DB1和C1A1所成角大小.解答:60°且模均为2. AC1与BM所成角的余弦值为7105点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位 置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用.21 . （2014秋？河区校级期末） 平行六面体ABCD - AlBlClDl中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为60°则DB1和C1A1所成角大小为VsCCOS -Z-6来源：2

30、014-2015学年省二中高二（上）期末数学试卷（理科） 难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角专题：空间角.分析：设AB=&，应D=b,小；=e，则两两夹角为60°且模均为2. I： .= . ' '=2- 】，| ti= ：门-=2二V -=（；习+Q ? G 讦）=4,设DB1和C1A1所成角为0 cose=|cosv乔，帀订=r.+，=厂=:,二 DB | =/ a-4+4+4+2X2X2X ii-2X2X2X=2 一 ，I :=* :-'1 ：= .T ' 1'7 - / 丄=2 二，-.+) ? ( .)=4+4 - 4

31、+2 - 2=4 ,设DB 1和C1A1所成角为0,两,币|V3 曲吩cosIcosvd% 匚心|=q?p=|=4k/36X2>f260=寸:3故答案为:?点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运 算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答 本题的关键.22. （2014秋？校级期中）已知正四棱柱 ABCD - AlBlClDl中，AA 1=2AB , E为AA1的中 点，则异面直线 BE与CDi所成角的余弦值为来源：2014-2015学年省一中高二（上）期中数学试卷难度：0.803V1010sVio10考点：异面直线

32、及其所成的角. 专题：空间位置关系与距离.分析：首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B/ CD1进一步解三角形,设AB=1，利用余弦定理：-7.72BE'+A'-A'根据线段AE=1 ,，be=.:的长求出结果.解答:解：在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中,连结A1B，根据四棱柱的性质A1B/ CD1设 AB=1 ,贝U: AA1=2AB=2 , E为AA 1的中点，-AE=1，：-=，BE=二在厶A1BE中，利用余弦定理求得:即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为:故答案为：-_L_L10点评：本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理得应

33、用，及相关的运算.23. (2014秋？荥经县校级期中)在体 ABCD - AlBlClDl中，O是底面ABCD的中心，M , N分别是棱DD1, D1C1的中点，则异面直线 MN与AC所成角的度数是60 ° .来源：2014-2015学年省市荥经中学高二(上)期中数学试卷难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：首先建立直角坐标系，进一步求出相应的点的坐标，利用向量的数量积求出异面直线 的夹角.解答：解：设体体ABCD - A1B1C1D1的边长为2,建立直角坐标系 D - xyz,根据题意得到: A (2, 0, 0) C ( 0, 2, 0),由于M, N

34、分别是棱DD1, D1C1的中点，M (0, 0, 1), N (0, 1, 0)则：,丄一 一 一 |，厂:-1-'设：异面直线 MN与AC所成角为0贝cos 0=J|iii 11 ac | 2由于：0°< 0=90°所以：0=60°故答案为：60 °点评：本题考查的知识要点：如何建立直角坐标系，向量的数量积，异面直线的夹角及相关 的运算问题.中,E, F分别为BC, C1D1的中点则异面直线A1E, CF所成的角为24. （2014秋？雁峰区校级期中） 在底面边长为 2,高为1的正四梭柱 ABCD - A1B1C1D1来源：2014-2

35、015学年省八中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角. 专题：计算题；空间角.分析：解答:以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标, 向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线 解：以D为原点建立空间直角坐标系，贝U0）, F （0, 1, 1）,A1进而求出异面直线A1E, CF的方A1E, CF所成的角.(2, 0 , 1), E (1 , 2 , 0) , C (0 , 2 ,(-1 , 2,- 1), C 昨(0,- 1 ,1),设异面直线 A1E , CF所成的角为贝y COS 0=_= ',花也20,TT所以0=，所求异面直线的夹角为TU故

36、答案为:点评:本题考查异面直线及其所成的角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题转化为 向量夹角问题是解答的关键.25. （ 2014秋？无为县校级期中）在体ABCD - A1B1C1D1中，AD 1与BD所成的角是60 °来源：2014-2015学年省市无为三中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：通过平移直线作出异面直线 AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得. 解答：解：如图，连结BCi、BD和DC1,在体 ABCD - A1B1C1D1 中，由 AB=D 1C1, AB / D1C1，可知 AD 1 / BC1,所以/ DBC

37、 1就是异面直线AD1与BD所成角，在体ABCD - AiBiClDl中，BCl、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等. 所以 DBC 1是正三角形，/ DBC仁60 °故异面直线 AD1与BD所成角的大小为 60 °故答案为60 °aq/ £qCJ 、 t21/点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面 角.26. （2014 秋？校级期中）空间四边形 PABC 中，PB=10 , PC=6, BC=6 , / APB= / APC, 则 cos：= .来源：2014-2015学年省五中高二（上）期中数学试卷（

38、理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题： 分析：平面向量及应用.利用平面向量的数量积，求出两向量夹角的余弦值即可.解答：1/ PB=10, PC=6, BC=6 , / APB= / APC=,cos'.I1'.< -=iPAlXlBClPA (PC - PB)；|PA|X |BC |1 PA 1 X | 0C |PA | X | PC|cos 3 - 1 FA | X |PB|cos §一I：S|X |BC |6=_1=亍故答案为：-二.3点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积求两向量的夹角，是基础题.27. （2

39、014秋？合阳县校级月考）空间四边形 ABCD中，对角线 AC=10 , BD=6 , M、N分别 是AB、CD的中点，且 MN=7，则异面直线 AC与BD所成的角为 60°.来源：2014-2015学年省市合阳县黑池中学高三（上）第四次质检数学试卷（文科）难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角.解答：解：取BC的中点G,连接GM , GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线 AC=10 , BD=6 , 所以：GM=丄 j_=5 ,在厶 GMN 中，EF=7, GM=5

40、, GN=3利用余弦定理得:cosZl!lGN=所以：/ MGN=120所以：异面直线 AC与BD所成的角为60° 故答案为：60 °28. （2014秋？香坊区校级月考） 若四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB / CD , BA丄AD , PA丄平面ABCD，贝U AB=AP=AD=3 , CD=6，则直线 PD和BC成的角的大小为TT来源：2014-2015学年省六中高二（上）12月月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角. 专题：空间位置关系与距离.分析：先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出. 解答：因为底面 ABCD为直

41、角梯形，AB / CD , BA丄AD ,PA丄平面ABCD，则AB=AP=AD=3 ,CD=6 ,所以 P (0, 0, 3), D ( 0, 3, 0), B (3, 0, 0) , C (6, 3, 0),所以 PD= (0, 3,- 3), BC= (3, 3, 0),所以COSV十，广= _1|FD | |BC I 718718_2,所以直线PD和BC成的角的大小为故答案为：_3点评：本题考查了异面直线所成的角的求法；本题借助于空间向量的数量积解答的；关键是 适当的建立坐标系，正确写出向量的坐标和正确的计算.29. （ 2014秋？仁寿县校级月考）如图在四面体 ABCD中，E、F为B

42、C、AD的中点，且AB=CD ,难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：先来找异面直线 AB , CD所成角：通过已知条件，容易想到取BD中点G,并连接EG , FG ,则/ EGF或其补角便是异面直线 AB , CD所成角.所以需要求出 / EGF , 这时候就应想到用余弦定理求，所以设AB=2，这样便得到EG=FG=1 , EF*5，所以根据余弦定理即可求出 / EGF=120。，所以异面直线 AB , CD所成角为60°解答:解：如图，取 BD中点G,并连接EG, FG,贝U EG / AB，且EG冷嚣,FG/ CD, 且 FG=gD；异面直线AB与CD所

43、成角等于/ EGF或其补角；设 AB=2，则：EG=1 , FG=1 , EF3；1+1-31在厶EFG中，由余弦定理得 cos/ EGF=-二一言； / EGF=120 °异面直线AB与CD所成角为60°点评：考查异面直线所成角的概念及求法，中位线的性质，以及余弦定理.LCi30. （2014秋？蜀山区校级月考）如图，在体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是来源：2014-2015学年省市剑桥学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科） 难度：0.80 考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：直接找出异面直线所成角，然后求解即可.解答：解：因为几何体是体，AA1/

44、 DD1, AA1与B1D所成角等于/ B1DD1,设体的棱长为:1 ,所求异面直线所成角的余弦值为：cos/ B1DD1= I ='.V3 3故答案为：一；.3点评：本题考查异面直线所成角的求法，基本知识的考查.异面直线及其所成的角填空题基础题2.doc参考答案与试题解析一 填空题（共22小题）1. （ 2014秋？惠阳区校级月考）已知空间四边形ABCD中，AB=AD , BC=CD，则对角线BD与AC所成的角的大小为90° .来源：2014-2015学年省市惠阳高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.-专题：空间位置关系与距离

45、.分析：取BD中点O,连结AO , CO,由已知得 AO丄BD , CO丄BD，从而BD丄平面 AOC , 由此能求出对角线 BD与AC所成的角的大小.解答：解：取BD中点O,连结AO , CO,/ AB=AD , BC=CD , AO 丄 BD , CO 丄 BD ,又 AO ACO=O , BD丄平面AOC ,/ AC?平面 AOC , BD 丄 AC ,对角线BD与AC所成的角的大小为 90° 故答案为：90°点评：本题考查对角线BD与AC所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要注意空间思 维能力的培养.2. （2014秋？连城县校级月考）如图，已知长方体 ABCD

46、- A1B1C1D1中，AB=2 _；，AD=2 .；, AA1=2，那么DD1和BC1所成的角是60 度.来源：2014-2015学年省市连城一中高一（上）第三次月考数学试卷难度：0.80所以 tan/ BCiC=BC AD 2<3考占：n 八、异面直线及其所成的角.-专题：空间位置关系与距离.分析：由已知几何体为长方体，所以容易得到/ 角形的三角函数解之.DD1和BC1所成的角是BC1C,禾U用直角三解答：解：因为已知长方体 ABCD - A1B1C1D1,所以CCi/ DD1，所以/ DD1和BC1所成的角是BC1C, 又 AB=2V, AD=21, AA 1=2 ,所以/ BCi

47、C=60 ° 故答案为：60.关键是将空间角转化为点评：本题考查了长方体的性质运用以及异面直线所成的角的求法; 平面角.3. （ 2014秋？普陀区月考）如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为.:,则异面直线 A1A与B1C所成的角的大小为 arctan .（结果用反三角函数值表示）来源：2014-2015学年市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析：根据已知条件容易求得 BB仁4,并且判断出/ BB1C是异面直线A1A与B1C所成的角, 而tan/ BBc=丄，所以得到异面直线 A1A与B1C所成的角的大小为 arcta

48、A .4解答.1解：根据已知条件知，亍二JjLBB1 =4 ；T BB1 / AA1;/ BB1C是异面直线A1A与B1C所成角；在 RtBCB 1 中，tan/BB1C；故答案为:arcta.4点评：考查三角形面积公式，三棱柱的体积公式，以及异面直线所成角的概念及求法.4. （2014秋？桥东区校级月考）在棱长为1的体ABCD - A1B1C1D1中，M和N分别为AA 1和BB1的中点，那么直线 CM与D1N所成角的余弦值是 _.来源：2014-2015学年省二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.-专题：空间角.分析：1取C1C的中点P,连接A1P

49、，将MC平移到A1P,根据异面直线所成角的定义可知/ A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，在三角形 A1OD1中利用余弦定理求出此角 的余弦值即可.解答：解：取C1C的中点P,连接A1PT Aim / CP,且 A1M=/CP ,四边形 AiMCP是平行四边形二Aip/ MC,则/ A1OD1是异面直线 CM与D1N所成的角,D1O=A1O=-4体的棱长为1, A1P=MC=cos/ AiODi =即直线CM与Din所成角的余弦值是故答案为:1OBBi本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键本题也 可以使用坐标法进行求解.5. （ 2014秋？嵊泗县校级月考）已

50、知二面角a- I - B的大小为60°直线m、n满足m丄a,n丄3,则异面直线 m、n所成的角为60° .来源：2014-2015学年省市嵊泗中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角.-专题：空间角.分析：由条件m丄a , n丄3可知m、n所成的夹角与二面角a- l - 3所成的角相等或互补，而异面直线所成角的围是0°< 090°所以m、n所成的角为二面角a-l - 3所成的角.解答：解： m丄a, n丄3,m、n所成的夹角与二面角 a-l -3所成的角相等或互补.二面角 a- l - 3为 60°

51、异面直线m、n所成的角为60°故答案为60 °点评：本题考查了异面直线所成角、二面角的平面角的作法和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题.运用垂面法作二面角的平面角，是解决本题的关键.6. （ 2013?潼南县校级模拟）如图，将形按 ABCD沿对角线AC折成二面角D - AC - B，使 点B、D的距离等于AB的长.此时直线 AB与CD所成的角的大小为60° .来源：2013年市潼南县柏梓中学高考数学模拟试卷（难度：0.80异面直线及其所成的角.计算题.分别取AC、AB、BD边的中点0、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，根据三角形中位线定理，易得

52、/ FEO就是直线AB与CD所成的角，解三角形 FEO,即可求出 直线AB与CD所成的角的大小.:解：如图所示，分别取 AC、AB、BD边的中点 O、E、F，连接DO、BO、EO、FO、EF，则有 EF/ AD , OE/ BC/ FEO就是直线AB与CD所成的角.设形边长为 2a,则DO=BO= = ,二-且DO丄AC , BO丄AC即/ DOB为二面角D - AC - B所成的角，由于DB=2a可得DO丄BO , OF=丄DB=a=EF=EO，即得/ FEO=60 °,2即得直线AB与CD所成的角的大小为 60°.故答案为：60°.本题以形的折叠为背景，考查了

53、异面直线所成角问题本题考查的知识点是异面直线 及其所成的角，其中找出直线AB与CD所成的角的平面角，将空间异面直线夹角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键.7. （ 2013秋？缙云县校级期末）体 ABCD - A1B1C1D1中，B1C与AD 1所成的角的度数为 90°.来源：2013-2014学年省市缙云县工艺美术学校高二（上）期末数学试卷（高职班）难度：0.80专题：分析:解答:异面直线及其所成的角.空间位置关系与距离.连接BC1,可得AD1 / BC1,得到B1C与AD1所成的角等于BC1与B1C所成的角， 因为几何体为体，所以 BC1与B1C所成的角为90°解：

54、连接BC1,可得AD 1 / BC1，得到B1C与AD1所成的角等于 BC1与B1C所成的 角，几何体为体，- BC1与B1C所成的角为90 °- B1C与AD1所成的角的度数为90°故答案为：90°点评：本题考查了体中异面直线所成的角；关键是利用体的性质将空间角转为平面角，属于 基础题.&（ 2013 春？期中）已知 a,b 是异面直线，A、Ba,C、D b ,AC 丄 b ,BD 丄 b,且CD=1 ,则a, b所成的角为 45°.来源：2013-2014学年省市缙云县工艺美术学校高二（上）期末数学试卷（高职班）难度：0.80 考点：异面直线

55、及其所成的角.专题：空间角.分析：过A作AO / CD，交BD于O,则AB= . , AO=CD=1 , / BAO是a, b所成的角, 由此能求出a, b所成的角.解答：解：如图，过 A作AO / CD，交BD于O, 贝U AB=2, AO=CD=1 ,/ BAO是a, b所成的角，1|:-:2/ cos/ BAO=/ BAO=45 °故答案为：45°解题时要注意空间思维能力的培养.9. 已知异面直线a, b所成的角为50° P为空间一定点，过点 P且与a, b所成的角相等的 直线有4条，则过点P的直线与直线a所成角的围是 65°v X 90°.来源：难度：0.80考占：n 八、专题：异面直线及其所成的角.