九年级数学上册 4.7 相似三角形的性质 北师大版

1、相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的识别相似三角形的识别问：相似三角形的识别方法有哪些？问：相似三角形的识别方法有哪些？证二组对应证二组对应角相等角相等证三组对应边证三组对应边成比例成比例证二组对应边成证二组对应边成比例，且夹角相比例，且夹角相等等相似三角形的特征相似三角形的特征问：你知道相似三角形的特征是什么吗？问：你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等边：对应边成比例边：对应边成比例问：什么是相似比？问：什么是相似比？相似比相似比=对应边的比值对应边的比值= 如右图，如右图，A B C ABCA AB BC CA AB BC CD DD D已知：已知： ABC A B C,

2、相似比相似比为为k,它们对应高的比是多少？对应角平它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。证明你的结论。想一想想一想相似三角形相似三角形对应边上的高对应边上的高有什么关系呢？有什么关系呢？ 归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。归纳：相似三角形对应边上的高之比等于相似比。ABCDA D C ADC则则:(1)利用方格把三角形扩大利用方格把三角形扩大2倍，得倍，得ABC，并作出并作出BC边上的高边上的高A D 。 A B C 与与ABC的相似比为多的相似比为多少？少？AD 与与A D有什么关系？有什么关系？右图右图A

3、B C ， AD为为 BC 边上的高。边上的高。DABC(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k，则对则对应边上的高有什么关系呢？应边上的高有什么关系呢？_说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_相似三角形相似三角形对应角的角平分线对应角的角平分线有什么有什么关系呢？关系呢？归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比归纳：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比。(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k，则对应则对应角的角平分线比是多少？角的角平分线比是多少？说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_A F C AFC如右图

4、如右图A B C ， AF为为 A 的角平分线。的角平分线。则则:(1)把三角形扩大把三角形扩大2倍后得倍后得ABC，A F 为为 A的的角平分线角平分线， A B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AF 与与A F比是多少？比是多少？ABCFABCF归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比归纳：相似三角形对应边上的中线比等于相似比。相似三角形相似三角形对应边上的中线对应边上的中线 有什么关有什么关系呢？系呢？如右图如右图A B C ， AE为为 BC 边上的中线。边上的中线。则则:(1)把三角形扩大把三角形扩大2倍后得倍后得ABC，A E为为 BC边上边上的中线。的中线。 A

5、 B C 与与ABC的相似比为多少？的相似比为多少？ AE 与与A E比是多少？比是多少？ABCE ABCEA E C AEC(2)如右图两个相似三角形相似比为如右图两个相似三角形相似比为k，则对应边则对应边上的中线的比是多少呢？上的中线的比是多少呢？ 说说你判断的理由是什么？说说你判断的理由是什么？_课堂练习课堂练习: 填空：填空： （1）两个三角形的对应边的比为）两个三角形的对应边的比为3:4，则这两个三，则这两个三角形的对应角平分线的比为角形的对应角平分线的比为_ ，对应边上的高的，对应边上的高的比为比为_，对应边上的中线的比为，对应边上的中线的比为_ (2)相似三角形对应角平分线比为相

6、似三角形对应角平分线比为0.2,则相似比为则相似比为_,对应中线的比等于对应中线的比等于_; 3、ABCABC中，中，AEAE是角平分线，是角平分线，D D是是ABAB上上的一点，的一点，CDCD交交AEAE于于G G，ACD=ACDACD _.它们的它们的相似比相似比K =_,_AGAEABCEDSBCREDA例例1,1,如图，如图，ADAD是是ABCABC的高的高AD=hAD=h，点，点R R在在ACAC边边上上,SRAD,SRAD垂足为垂足为 E, E,当当SR= BCSR= BC时，求时，求DEDE的的长。如果长。如果SR= BCSR= BC呢？呢？2131解：解：SRAD SRAD

7、BCADBCAD即即SR/BCASR=B,ARS=C ASR ABCBCSRADAEBCSRADDEAD当当SR= BCSR= BC时时21当当SR= BCSR= BC时时31hDEhDEh21.21解得得hDEhDEh21,21解得得ABCABCABCABC，BDBD和和BDBD是它们的对应中线是它们的对应中线, , 求求BDBD的长？的长？23CAACcmDB4小试牛刀小试牛刀2、ABCABC，AD和和 AD是它们的对应是它们的对应角平分线，已知角平分线，已知AD8cm，AD3cm，求，求ABC和和ABC对应高的比对应高的比.你会应用吗？你会应用吗？3、ABCABC，BD和和BD是它们的对

8、应中线，已是它们的对应中线，已知知 ，BD=4cm，求，求BD的长的长. 23CAAC解：解： ABCABC，BD和和BD是它们的对应中线是它们的对应中线23CAACDBBD（相似三角形对应中线的比都等于相似比）（相似三角形对应中线的比都等于相似比） BD=6234BD 4.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片如图是一个照相机成像的示意图，如果底片XY宽宽35mm，焦距是，焦距是50mm，能拍摄，能拍摄5m外的景物有多宽？外的景物有多宽？拓广应用空间：拓广应用空间：35mm50mm5mXYABL相似三角形的周长相似三角形的周长有什么关系呢？有什么关系呢？归纳：相似三角形的周长比等于相似比。归

9、纳：相似三角形的周长比等于相似比。右图（右图（1）（）（2）（）（3）分别是边长为）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似的等边三角形，它们都相似（2）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（2）与（）与（1）的周长比）的周长比_;（3）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（3）与（）与（1）的周长比）的周长比_.2:12:13:13:1从上面可以看出当相似比从上面可以看出当相似比k时，周长比时，周长比_k 相似三角形的面积相似三角形的面积有什么关系呢？有什么关系呢？2:1归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方。右图（右图（1）（）（2）（）（3

10、）分别是边长为）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似的等边三角形，它们都相似（2）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（2）与（）与（1）的面积比）的面积比_;（3）与（）与（1）的相似比）的相似比_，（3）与（）与（1）的面积比）的面积比_.4:13:19:1从上面可以看出当相似比从上面可以看出当相似比k时，面积比时，面积比= =_ k2 算一算：算一算： ABCABC与与A AB BC C的相似比是的相似比是多少？多少？ABCABC与与A AB BC C的周长比是多少的周长比是多少? ? 面积比是多少？面积比是多少？44正方形网格正方形网格看一看：看一看： ABCABC与与A A

11、B BC C有什么关系？有什么关系？ 为什么？为什么？ 想一想：想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？（相似）（相似）22222周长比等于相似比，面积比等于相似比的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方平方101022215522ABCACB已知两个三角形相似，请完成下列表格已知两个三角形相似，请完成下列表格相似比相似比周长比周长比面积比面积比注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，求面积比要求面积比要平方平方，而已知面

12、积比，求相似比或周长比则要而已知面积比，求相似比或周长比则要开方开方。24100100100001913132D DB BC C例例2：如图将：如图将 ABC沿沿BC方向平移得到方向平移得到DEF。ABC与与DEF重叠部分（图重叠部分（图中阴影部分）的面积是中阴影部分）的面积是ABC面积的一面积的一半已知半已知BC=2，求，求ABC平移的距离。平移的距离。A AE EF FGEC ABC解：根据题意，解：根据题意，EG/ABGEC=B,EGC=AG2222221222222ECBCBEECECECECBCBCECSSABCGEC即即即ABC平移的距平移的距离为离为2-2BACDE如图，已知如图

13、，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m, ABC的周长为的周长为80m，面积为，面积为100m2,求求ADE的周长和面积的周长和面积30m18m1 1、在、在ABCABC中，中，DEDEBCBC，E E、D D分别在分别在ACAC、ABAB上，上，EC=2AEEC=2AE，则，则S S ADEADE：S S ABCABC的比为的比为_练习练习2 2、如图，、如图， ABCABC中，中，DEDEFGFGBCBC，AD=DF=FBAD=DF=FB，则，则ADEADE: :四边形四边形DFGEDFGE: :四边形四边形FBCGFBCG=_=_A AB BC CD DE ES S ADEADE：

14、S S四边形四边形DBCEDBCE的比为的比为_1/91/81、把、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原倍，那么面积扩大为原来的来的_倍；倍；如果面积扩大为原来的如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为倍，那么边长扩大为原来的原来的_倍。倍。课堂练习课堂练习10000102、已知、已知ABCABC，AC: A C=4:3。（1）若若ABC的周长为的周长为24cm，则则ABC的周长为的周长为 cm；（2）若若ABC的面积为的面积为32 cm2 ，则则ABC的面积的面积为为 cm2。1818课堂练习课堂练习3、已知，在、已知，在A B C 中，中，DE|BC, DE:BC=3:5 则则(1)AD:DB= (2)ADE的面积的面积:梯形梯形DECB的面积的面积= (3)A B C的面积为的面积为25，则，则A DE的面积的面积=_ 。3:29:1694、如图，已知、如图，已知DEBC，BD=3AD，SABC =48，求：求：ADE的面的面积。积。课堂练习课堂练习解：因为解：因为DEBC所以所以ADE=ABC, ADE=ABC, AED