2020高考新课标数学(理)一轮复习：第七章不等式、推理与证明(必修5、选修2-2)

1、第七章 不等式、推理与证明(必修 5、选修 2- 2)第七章 a H*%百百百W*不等式、推理与证明(必修5、选修2-2)第一节 不等式的性质、一元二次不等式高考概览：1掌握不等式的性质及应用；2 会从实际情境中抽象 出一元二次不等式模型；3通过函数图象了解一元二次不等式与相应 的二次函数、一元二次方程的关系；4.会解一元二次不等式.主干知识梳理z huganwhighighuli-a 主干梳理精要归纳知识梳理1. 两个实数比较大小的方法a- b0? ab,(1) 作差法 a-b= 0? a 三 b a, b R R ,a b0? al? aba R R, b0 ,a(2) 作商法 b=1?

2、a= ba R R, b0 ,ab1?a0 .2. 不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ahb可加性aZbaH-厂+厂可乘性abycOj=acZbc注意c的符号abyYO：acb tbdcdn同向同正可乘性abOy dQCbilcclQln可乘方性abQanbft(“ N ,$1) b同 为正数可开方性aO今折扬(打W N3不等式的一些常用性质(1)倒数的性质1 11ab, ab0? .ab1 12a0b? -b0, m0，贝卩：b b m a a mb b+ ma0)._ a a+ m a a mba+m； a0).4.三个二次之间的关系判别式= /r Xac二次函数y = ajr +

3、心 + 亡(u0的图象0(/0-元二次方程aJr2+处+i = 0有两相异实根有两袒等实根b2a没有实数根ax工+0(a0的解集戈工 H R或玄小9ax +/?jr+,0)的解集丈工】 文龙200(0)的很5简单分式不等式的解法x -ax-bx-ax-bx-ax-bx-ax-b0 等价于(x a)(x b)0;0 等价于(x a)(x b) 0 等价于 Fa，xbp0,lxbz0; 0 等价于xa xbb, ab0?彳韦1 1(2) a0b? abO,Oc&1 1 1(4) 0axb 或 axb0? bX0(a0)的解集，先求出对应方程 ax1 2+ bx+ c=0(a0)的根，再根据

4、口诀：大于取两边，小于取中间求解集.双基自测1.判断下列结论的正误.(正确的打“/”，错误的打“X”)a(1)若 b1，则 ab.()1 1若 ab0，则 ab?孑&()(3)若不等式 a/+bx+c0 的解集是(X,xJU(X2，+)，则 方程 ax2+bx + c = 0 的两个根是 x1和 x2.()一元二次不等式 ax2+ bx+ c 0 在 R R 上恒成立的条件是 a0 且=b24ac 0.()答案(1)XVVV2. (2018 唐山模拟)若 a, b 为实数，且 abb+a1 1C.b+aa+b1解析因为 ab0,A. abb b+ 1v a a+ 11 所以 aabba

5、b0，1 1即 ba01 1所以 a+ bb+彳.故选 C.答案C3.（必修5P8OA组 T4改编）已知集合 A=x|x2 160，贝 S AUB=（）A . （ 4,4）B. R RC. x|x3 或 x1D . x| 4x1 或 3x4解析 由 x2 160 得4x4，所以 A= x| 4x0 得 x3,所以 B= x|x3.所以 AUB= R R.故选 B.答案B4.（必修5PIO3A组 T3改编）当 x0 时，若不等式 x2+ax+ 10 恒 成立，则 a 的最小值为（）3A . 2 B. 3 C. 1 D . 2a解析若一 20 时，成立；若 a0,由= a2 40,答案A5 .若角

6、a B满足一 2a仟n，则 2解析v-na仟n，二一n亦扌,/一n- B0 , 2a-（a- B + a答案；竽,n)a B的取值范围是n n nn2 仟 2, 2仟 2,而3n n2，2.精研考题突破重难得2wab, a,b, c R R，则下列结论正确的是()aB.b1D. a2b2b cac(2)已知abc0，若 P = h, Q=，则(A.PQC. PQn(3)(2018 长春市高三第一次质量监测)已知角a B满足na仟n0b,所以 a cb c 恒成立，所b ca cb2 bc a2+ acPQ= hab cabab因为 abc0,所以 a b0, c a b0,所以 PQ.故选 D

7、.解法二：特殊值检验.令 a= 3, b= 2, c= 1,贝 S P=3，Q= 1,所以 PbcB. P QD. PQb 无意义，所以选项以选项 C 正确；当 a 0 时，a2b2，所以选项 D 错误.故选 C.abm+ n = 3,n m= 1,m = 2,解得ln= 1.nn因为一 2 a p2, 0a+ (3 n所以一n2(3n故一n330, b R R，那么 “a + b0” 是“ a|b|成立”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析当 a= 1, b= 2 时，满足 a+ b0,但是 a|b|不成立，即充分性不成立，当 a|b|时，

8、一定有 a+ b0 成立，所以“a + b0”是“ a|b|成立”的必要不充分条件.故选 B.答案B2. 若 ab1,0c1，则（A.acbc解析解法一：由 0cb1 知 acbc, A 错;）B. abcbacC. alogbcblogacD. logaCVlogbCV0c1,A1c 1ac-1，又 ab0,ab bc_1ab ac_1，即 abcbac, B 错； 易知 y=logcx 是减函数， 0logcblogca,logbClogaC, D 错；由 logbClogaC logaC0, 又ab10, 二 一 alogbC blogaC0,.alogbCblogaC，故 C 正确.故

9、选 C.1解法二：依题意，不妨取 a= 10, b= 2,C=2.易验证 A、B、D 均是错误的，只有 C 正确.故选 C.答案C3 .若1x + y4,2x y3，则 3x+ 2y 的取值范围是_ .解析 设 3x+ 2y=m（x+ y） + n（x y） ,m+ n = 3,则Im n = 2,口口51即 3x + 2y= 2（x + y） + q（x y）,又1x+y4,2x y3,5 51322（x+y）10,12（x y）2,3 512322（x+y）+2（xy）,即23x + 2y0;(3) 12X axa2(a R).思路引导(1)|二次项系数化为正数 - 确定方程的根宀|写出解

10、集(2) |化简不等式| -1 转化为二次不等式|-1 求解|(3) |转化不等式| -1 分类讨论|-|写出结果解(1)由4X2+4X+30,得 4x2 4x 30,13所以(2x 3)(2x + 1)0 ,解得2x2 ,故不等式的解集为x 1x 1 x 2x+ 2(2) 1?1 0? 0 2x+12x+12x+12x+1解法一： 0?2x+1I2x + 1 工 0.12x ax a 0,即(4x + a)(3x a)0.x+ 2x+ 2 2x+ 1 0,x+ 2x+ 2 0,解法二： 0?2x+1I2x + 10 x+ 2 0,或2x+ 10 时，一 4a，不等式的解集为a a2当 a=

11、0 时，一4= 3 = 0,不等式的解集为x|x R R，且XM0;a a3当 a3，不等式的解集为x|x4 二综上所述：当 a0 时，不等式的解集为a 亠 ax|xv 4,或 x3j；当 a= 0 时，不等式的解集为x|x R R，且XM0；当 a0 时，不等式的解集为X|X4.名师点拨許(1) 解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进 行因式分解.(2) 应善于把分式不等式转化为整式不等式.(3) 对含参的不等式，应合理地对参数进行分类讨论.讨论依据 是：首先对二次项系数的正、负及零进行分类，当二次项系数为负 时转化为二次项系数为正.其次根据判别式判断根的个数.当 方程有两个根

12、时，有时还需根据两根的大小进行讨论， 从而确定不等 式的解集.对点训练1. (2019 宁夏银川期末)已知不等式 ax2+ bx+ c0(aM0)的解集为x|mx0，则不等式 cx2+bx+ a0 的解集为()a：x|x| ；1 +on+解析丁不等式 a + bx+ c0 的解集为(m, n),be/a0, m+n= , mn=，二 b= a(m+ n), e= amn, aa22ex + bx+ a0? amnx a(m+ n)x+ a0.a0,即(mx 1)(nx1)0.11ii又 TOvmvn,mn，Axm 或 x,故不等式 ex2+ bx+ a0 的解集为x2x2解析x0?(x2)(x

13、+2)(x+1)0,数轴标根得x| 2x2,故填x| 2x2.答案x| 2x23 .解关于 x 的不等式 ax2 (a+ 1)x + 10.1 1n，m(1 n B. 一m，訂A.C.o, nUD.集是iOO ，n nUm，+o故选 C.一oo,解若 a= 0,原不等式等价于x+ 11.(n若 a0,1解得 xi.a若 a0，原不等式等价于 x-3(x- 1)0.1(门1当 a= i 时，a=i, x-a (x- i)o 无解；a1 时，a1，解 x- a (x- 1)o 得孑乂1 ；3 1) 13当 oa1，解 x-a；(x- 1)o 得 1xa.综上所述：当 a0 时，解集为 Ix|x1当

14、 a= 0 时，解集为x|x1;当 0a1 时，解集为*x|11 时，解集为fvxv*考点三不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联 系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一 定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函 数图象与 x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范 围.常见的命题角度有：(1) 形如 f(x)0(x R R)确定参数的范围；(2) 形如 f(x)0(x a, b)确定参数的范围；(3) 形如 f(x)0(参数 m a, b)确定 x 的范围.角度 1 1 形如 f(x)f(x) 0(x0(x

15、R) )确定参数的范围【例 31】不等式 ax2+ ax+ 10 对一切 x R R 恒成立，则实数 a的取值范围是()A . 0a4B. 0 a4C. 0a4D. 0 a0 恒成立；当 0 时需满a0,足所以 0aw4,综上可知，实数 a 的取值范围是 0wa4.A0(x0(x a a, b b) )确定参数的范围【例 32】若不等式 x2+ ax+40 对一切 x (0,1恒成立，则 a的取值范围为_ .思路引导|分离参数 a|-I 以 x 变量转化为最值问题解析由题意，分离参数后得，a - f+x设 f(x)=严+), x (0,1,贝 y 只要 af(X)max即可.由于函数 f(X)

16、在区间(0,1上单调递 增，所以f(x)max= f(1)= 5,故 a5.答案5,+乂)角度 3 3:形如 f(x)f(x)0(0(参数 m m aa, b)b)确定 x x 的范围解析由不等式 x2+ (a 4)x + 4 2a0，得(x 2)a + x2 4x +40.设 f(a)= (x 2)a + x2 4x+ 4, a 1,1,则 f(a)0 在 a 1,1f 1)0,x2 5x+ 60,恒成立可转化为即2解得 x3,lf(10,lx2 3x+ 20,即 x 的取值范围是(一=,1)U(3 ,+乂).答案(=,1)U(3,+乂)名师点拨一元二次型不等式恒成立问题的3 大破解方法【例

17、 33】已知 a 1,1,立，则 x 的取值范围是不等式 x2+ (a4)x + 4 2a0 恒成思路引导将不等式以 a为变量变形转化为以 a为变 量的不等式恒成立在 a 1, 1时解不等式组方法要点适合类型判别 式法（1）Q,+处+（7$0对任意实（a0 9数 g 恒成立的条件是Wo；（2）Q,+bz + cWO对任意实数文恒成立的条件是二次不等式在R上恒成立（如例3 -1）分离参数法如果不等式中的参数比较“孤 单，分离后其系数与0能比 较大小，便可将参数分离出 来，利用下面的结论求解/（工）恒成立等价于a玄/Q）nwc；dW/Q）恒成立等 价于aW/Q）min适合参数与变量 能分离且/（工

18、）的 聂值易求（如例3 -2）主参换位法把变元与参数交换位置9构造 以参数为变量的函数9根捋原 变量的取值范围列式求解.常 见的是转化为一次函数/（工）=y+5（aH0）在_m9恒成 立问题9若/（工）0恒成立（/（2）（）9若/（工）0恒、（/（加）（）9成立若在分离参数时 会遇到讨论参数 与变量9使求函 数的最值比较麻 烦9或者即使去 容易分离出却难以求出时 （如例3-3）对点训练1.(2019 吉林省吉大附中第一次摸底考试)若命题“？x R R,使 得 x0+mxg+2m 3 0 对一切 x R R 恒成立，所以= m2 4(2m 3) 0,解得 2 m0 恒成立，则m 的取值范围是()

19、A . 2 2 2m2 + 2 2B. m2C. m 2 + 2 2解析令 t= 3x(t1),则由已知得函数 f(t) = t2 mt+ m+ 1 的图象在 t (1,+x)上恒在 x 轴的上方，则对于方程 f(t) = 0 有 = ( m)2 4(m + 1)0,m 1,解得 m 0,答案C3 .若不等式x+ (a 6)x + 93a0, |a|w1 恒成立，则 x 的取值 范围是_ .解析将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式2(x 3)a + x 6x+ 90.令 f(a) = (x 3)a + x2 6x+ 9.因为 f(a)0 在|a|0,2若 x 工 3,则由一次函数的单调性

20、，可得lf(1J0，x2-7x+ 120, 即2解得 x4.x 5x+ 60,答案(-, 2)U(4,+乂)课后跟踪训练(三十九)基础巩固练一、选择题1 11.若ab0,则下列结论不正确的是()A . a2b2B. abb2C. a+ b|a + b|解析依题意得 ba 2, B = x|x2 3x4 0，则(?uA)AB=()A . 1,2)B. (2,4C. 4,2)D. 4,1解析 由 x2 3x 4 0,解得1 x4，所以 B = x| 1x4.因为？uA = x|x2，所以(?UA)AB = x| 1x0 且 a 1,贝 S ax1”的充要条件为()A . 0a1, x1, x0C.

21、 (a 1)x0D.XM0解析由 ax1 知，axa0，当 0a1 时，x1 时，x0.故 ax1”的充要条件为“（a 1）x0”.故选 C.答案C4.（2018 安徽六安一中第四次月考）在区间（1,2）上，不等式 X2+mx+ 40 有解，则 m 的取值范围为（）A . m 4 B. m 5 D. m0或 f（2）0 时，不等式 x2+ mx+ 40 定有解，即 m+ 50 或 2m+ 80,解得 m 5.故选 C.答案C5.（2019 四川南充诊断）某种商品计划提价，现有四种方案：方案（I）先提价 m%，再提价 n%;方案（II）先提价 n%,再提价 m%;方 广+、案（皿）分两次提价，每

22、次提价1+卫%；方案）一次性提价（m+ n） %.已知 mn0，那么四种提价方案中，提价最多的是（）A. IB.IC.mD.W解析依题意，设单价为 1,那么方案（I）提价后的价格是 1X（1+ m%)(1 + n%) = 1 + (m+ n)% + m% -n%;方案(I )提价后的价格是 (1 + n%)(1 + m%) = 1 + (m + n)% + m%- n%;-m+ n 1方案(皿)提价后的价格是.1+%2= 1 + (m + n)% +L i 2 丿-方案）提价后的价格是 1 + （m+ n）%.了 m+ 心 l2所以只要比较 m%n%与%2的大小即可.,2 丿一m+ n；f m

23、n2nA 2 J J丄 2 丿一.Jn%2m%-n%.m+ %2(1 + m%)(1 + n%), 、2 丿一因此，方案（皿）提价最多.故选 C.答案C二、填空题6 .函数 y =、yiog14x23的定义域为_.解析函数 y=Iog；4x2 3x 的定义域应保证满足 04x2133x1，解得一 4x0 或 4x 1.答案4 ）u（4, ll7 .不等式|x2 2|2 的解集是_ .解析不等式|x2 2|2 等价于一 2x2 22，即 0 x24，因此,得 0凶2，解得2x0 或 0 xn0.m%-n%.-即1 +ax 18 .已知关于x 的不等式XY0 的解集是(，一1)U(1 y2，+x

24、I,贝ya=_ .ax 1解析0? (ax 1)(x +1)0,x+ 11 1根据解集的结构可知，a0 且 a= 2，-a= 2.答案2三、解答题9.(2018 云南大理一中月考)已知函数 f(x) = k/+kx+ 2(k R R).(1) 若 k= 1,求不等式 f(x)0 的解集为 R R，求实数 k 的取值范围.解(1)若 k= 1,则 f(x)= x2 x+ 20,即卩 x 1,所以不等式的解集为(一X,2U1，+*).(2) 当 k= 0 时，f(x)= 20,显然恒成立，解集为 R R;当 kz0 时，要使 f(x)= kx+kx+ 20 的解集为 R R，贝卩 k0 且A=k2

25、 8k0, 即卩 0k8.综上所述，k 0,8).10. (2019 黑龙江虎林一中期中)已知 f(x) = 2x2+ bx+c,不等式f(x)0 的解集是(0,5).(1) 求 f(x)的解析式；(2) 若对于任意的 x 1,1，不等式 f(x) +1 2 恒成立，求 t的 取值范围.解(1)f(x)= 2x2+ bx+c,不等式 f(x)0 的解集是(0,5), 即卩 2x2+ bx+ c0 的解集是(0,5)，二 0 和 5 是方程 2x2+ bx+ c= 0 的两个根，bc由根与系数的关系知，一 2=5, 2=0, b= 10, c= 0, f(x) = 2x4 5 10 x.(2)f

26、(x) +1 2 恒成立等价于 2x2 10 x +1 21,0cblogb2018B. logbavlogca4i7gc， .ogbalogca, .B 正确； Tcaba, c b(c b)ba,logacC 正确；Tacvab, a c0,.(ac)ac(a c)ab,.D 错误.故选 D.答案D12. (2019 甘肃天水月考)若不等式 ax2+ 2ax42x2+ 4x 对任意实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是()A . ( 2,2)B. ( 2,2C. ( = , 2)U2，+乂 )D. (乂, 2解析 不等式 ax2+ 2ax 42x2+ 4x 可化为(a2)x2+ 2(a

27、 2)x40,当 a 2 = 0,即 a = 2 时，不等式恒成立，符合题意；当 a 2工 0a20,时，要使不等式恒成立，需解得2a(c b)baD. (a c)a(a c)ab解析a1,0vcvb0,Ioga2018一”1/Jogb2018= gab logablogaC,范围为(-2,2.故选 B.答案B13. (2019 广东惠州调研)关于 x 的不等式 ax- b0 的解集是1ax_ 2bJ,则关于 x 的不等式_x+50 的解集是_.(1解析因为不等式 ax- b0 的解集是所以 a0，且ax 2bx 1a-2b= 0,所以不等式0 等价于0,等价于(x 1)(x x+5x+55)

28、0,解得 1x5 ax(a R R)的解集.解(1)由 f(x) = x2+ (m 4)x+4 2m= (x 2) m+ x2 4x+ 4,令 g(m)= (x 2)m + x24x + 4.由题意知在1,1上, g(m)的值恒大于零，g1=x2X 1+x24x+40,g 1 = x 2 + x2 4x+ 40,解得 x3.故当 x3 时，对任意的 m 1,1，函数 f(x)的值恒大于J | A零.(2)不等式为 ax + (a 3)x 30,即(ax 3)(x + 1)0,当 a= 0 时，原不等式的解集为x|x0 时，3- 1,二不等式的解集为* xa 或 xv 1 j；32当3a0 时，

29、- -1,a.不等式的解集为 x axi；33当 a= 3 时，=-1,二不等式的解集为？；a34当 a 1,二不等式的解集为 x 1vx.综上，当 a= 0 时，原不等式的解集为x|x0 时，不等式解集为*x3或 x 1；3一、当一 3a0 时，不等式解集为Jx ax 1 駕当 a= 3 时，不等式解集为?；广 N3当 a 3 时，不等式解集为 1x4 的解集为()A.4,B.OO盲丿C.(0, +x)D.(O,0)解析设 g(x)= 201 於 + log2018(寸 x2+ 1 + x) 2018-%, vg( x)=2018-x Iog218(4，得 g(3x + 3) + 2 + g

30、(x) + 24.1则 g(3x + 1)g(-x).Sx +1 x,解得 x-4.-a + 30,不等式(m + n)x + 2x+ mn 130 恒成立?不等式 ax + 2x+ a 100 在 a6 时恒成立.即函数 f(a) = a(x6+ 1)+ 2x 100 在 a 6, +O)恒成立.2f(6) = 6(x2+ 1) + 2x 10 0? x3 或 a 0,+ 3= 0 的两个正实数，二 a0,解得 a6.二原不等式的解集为3，+ 故选 A.答案A16. (2018 吉林长春模拟)若正数 m, n,满足 m+n + 3=mn,不 等式(m+ n)x2+ 2x+mn 130 恒成立

31、，则实数 x 的取值范围是()A.( O,1U3，+oJ B.( O,1u2,+O1 +O 十丿1 十O 61丿令 口+门=8,贝卩 mn=a+ 3,故 m, n 是方程 x2 ax+ aC.D.OOOO-1u _3，-2u6，+解析第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题高考概览：1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 3 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解 决.主干知识梳理 z. . Q 主干梳理精要归纳知识梳理1 .二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）在平面直角坐标系中，直线 Ax+B

32、y+ C = 0 将平面内的所有点 分成三类：一类在直线 Ax+By+ C= 0 上，另两类分别在直线 Ax+ By+ C= 0 的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足 Ax+By+ C0, 另一侧的半平面的点的坐标满足 Ax+By+ C0在平面直角坐标系中表示直线 Ax + By + C= 0 某一侧的平面区域且不含边界直线，作图时边界直线 画成虚线，当我们在坐标系中画不等式 Ax+ By+ C 0 所表示的平面 区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成实 _（3）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交 集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分.2.线性规划中的基本概念

33、名称意义约束条件由变量工组成的不等式（组线性约束条件由疋 7 的一次不等式（或方程）组成的 不等式（组）目标函数关于工 F 的函数解析式，如乞一2工+ 心等线性目标函数 关于厂的一次解析式可行解满足线性约束条件的解&)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可 行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值或最小值问题辨识巧记1. 两种判断方法利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于 Ax+Bx+ C0 或 Ax+By+ C0 时，区域为直线 Ax+By+ C= 0 的上方.(2) 当 B(Ax + By+ C)0 表示的平面区域一定

34、在直线 Ax + By + C =0 的上方.()(2) 点(xi, yi),(X2, y2)在直线 Ax+By+ C= 0 同侧的充要条件是(Ax+ Byi+ C)(Ax2+ By2+ C)0 ,异侧的充要条件是(Axi+ Byi+ C)(Ax2+ By2+ C)0.()(3) 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行 解.()目标函数 z= ax+ by(b0)中，z 的几何意义是直线 ax+ by z =0 在 y轴上的截距.()答案(i)xVVxx 3y+ 60区域是()JJJyzO耳尸0VA,B.UD解析不等式 x 3y + 60 表示直线 x y + 2= 0 及该直线的右下

35、方区 域.故选 C.答案Cx+ yi,3. (必修 5P9i练习 Ti改编)已知 x,y 满足约束条件tx y i,2x y 2,4.（2018 南昌十校联考）实数 x, y 满足 x 2y+ 40, 若 z=2xy 4 0.kx+ y 的最大值为 13,则实数 k=（）139A. 2 B. C. D. 524解析作出不等式组表示的平面区域，即可行域（如图阴影部分所示）.1当 OWk2 时，直线 y= kx+ z 经过点 A(4,4)时 z 最大，则 4k9+ 4= 13,解得 k= 4(舍去);1当一 k2 时，直线 y= kx+ z 经过点 B(2,3)时，z 最大，则 2k +3= 13

36、,解得 k= 5(舍去);当k0 时，直线 y= kx+ z 经过点 A(4,4)时，z 最大，则 4k+ 49=13,解得 k= 4,符合条件.9综上可知，k= 4故选 C.答案C5 . (2018 辽宁抚顺第一中学月考)设 x, y 满足约束条件x+ y 1,0,则目标函数 z=匕的取值范围是2x-y-4= 0,解方程组lx 2y+ 4= 0,x= 4,得即 A(4,4);y=4,lx= 2,解方程组x= 2,得即 B(2,3).y= 3,x 2xy W 硏考题突破重难考点一 二元一次不等式（组）表示的平面区域【例 1】（1）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为（）x+ y 1

37、 0 A.x 2y+ 2 0 x+y10B.x 2y + 2 0C.x+ 2y + 2 0 x+ y 10D.x 2y+ 20 xy 0,2x+yw2,河北衡水中学五调)若不等式组cy 0,x + y3 B-0a14亠 4C.Kaw3 D.0a3画出不含 a 的不等式所组成 的不等式组表示的平面区域画出动直线 x+ y= a 并判断原 不等式组所表示的区域的形状解析(1)两直线方程分别为 x 2y + 2= 0 与 x+ y 1 = 0.由(0,0)点在直线 x 2y+ 2= 0 右下方可知 x 2y+ 20,表示的 区域在直线 x 2y+ 2= 0 的右下方.(2)(2018表示思路引导确定

38、边界(1)i 丿表示的直线原点代入法确定区域结论又(0,0)点在直线 x+ y 1= 0 左下方可知 x+ y 10,表示的区域在直线 x+ y1 = 0 的右上方.x+ y 10,即为所表示的可行域.故选 A.x-2y+ 2 0 x- y 0,作出不等式组 2x+ y 0分).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线 I: x+y= a 在 li、12之间(包含 12,不包含 li)或 13上方(包含13).故选 D.答案(1)A (2)D名师点拨确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧(1) 直线定界即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画

39、成实线.(2) 特殊点定域/z：x+v=l71：旳=0即在直线 Ax+ By+ C= 0 的某一侧取一个特殊点(x0, yo)作为测试 点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.常选（1,0）或（0,1）点.对点训练（5x+3yw15,1 .（2019 广东揭阳一模）不等式组打 ywx+ 1, x5yw3,域的面积为（ ）A. 7 B. 5 C. 3 D. 14解析作出可行域如图阴影部分所示.r5x+3ykDc=1或 k kDB=_1?答案(r1U岳，+二考点二求目标函数的最值线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的 双重形式，多与函

40、数、平面向量、概率、解析几何等问题交叉渗透， 自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.常见的命题角度有：(1)截距型目标函数的最值;斜率型目标函数的最值;距离型目标函数的最值.角度 1 1 截距型目标函数的最值【例 2 1 (2018 全国卷I)若 x , y 满足约束条件x 2y 2 0,y 0则 z= 3x+ 2y 的最大值为_,- 利用截距的思路引导作出可行域 f 平移直线 f 曰居+初- 最值求解解析作出可行域为如图所示的 ABC 所表示的阴影区域，作 出直线 3x+ 2y= 0,并平移该直线，当直线过点 A(2,0)时，目标函数 z= 3x +2y 取得最大值，且 Zma

41、x= 3X2+ 2X0= 6.答案6名师点拨求目标函数的最值 3 步骤(1) 作图一一画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示 的平行直线系中过原点的那一条直线；(2) 平移一一将 I 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3) 求值 解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函 数，即可求出最值.角度 2 2:斜率型目标函数的最值【例 2 2 (2018 四川资阳二模)设实数 x , y 满足y0, 则匕的取值范围是()X+ 3x 2,( 11A.g, 5U1，+*)B. _3,1:1 1C. 5, 3D.5,1利用数形结合求最 大值与最小值y0,表示的可行域，如图阴x 2,影部分所

42、示.口表示可行域内的点(x, y)与点 A( 3,1)连线的斜率,x+ 36 10 1 1由图可知其最大值为 kAD=不=X 最小值为心 2 =-5 故 选 D.思路引导作出不等式组 表示的平面区域v=2x+2答案D角度 3 3:距离型目标函数的最值【例 2 3 (1)(2019 辽宁三校一模)变量 x, y 满足条件fx-y + 1x,（2）（2019 河南商丘一模）设变量 x,y 满足约束条件 x + 3y 2,则 z= |x 3y|的最大值为（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 4y 1 ,则(x 2)2+ y2的最小值为(思路引导作出可行域D. 5明确目标函数的几何意义 xy+1

43、w0,解析(1)不等式组 yw1,表示的平面区域如图中x 1,的阴影部分所示.设 P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x 2)2+ y2的几何意义是 点 P(x, y)与点 M(2,0)距离的平方由图可知，当点 P 的坐标为(0,1) 时，|PM|最小，所以|PM|h22+ 1= ,5,所以 |PM|2 5,即(x 2)2+ y2 5.故选 D.依题意，画出可行域(如图阴影部分所示)，目标函数 z=|x 3y| 表示的是可行域内的点到直线 x 3y= 0 的距离的.10 倍.由图可知， 点 A( 2,2)到直线 x 3y= 0 的距离最大，因此将 A( 2,2)的坐标代入 z= |x 3y|

44、,可得Zmax= 8故选 B.名师点拨巧用几何意义解决目标函数最值问题几何意义要点适合类型截距线性目标函数z = ax+by与歹轴 交点为（o寸）讥=方-T= hX线性目标函数在歹轴上的截距形女口z UJC +by型答案距离对形如 辽=（工一a）2 + （y b）2型 的目标函数均可化为求可行域内 的点（心）与点（a.b）间距离的 平方的最值问题；对形如z=AJT+By+CI型的目 标函数，可先变形为辽=A+By+C的形VA2-B2式， 将问题化为求可行域内的点（心）到直线Ax-By-C = 0的 距离的ZV+B2倍的最值形女口z=(工一a)2+ (y b)2型和辽=AJC+By+C型斜率形如

45、辽=賞岂型的目标函数可JC十4将问题化为求可行域内的点（小y）与点（u、_ b）连线的斜率的 最值形如室=哙cjcra(acO ) C士|1型对点训练1. （2019 云南师范大学附属中学适应性考试）已知 x, y N N*且满xy2, 则 x+ y 的最小值为（）x5,A. 6 B. 5 C. 4 D. 3解析画出可行域，如图阴影部分所示，注意到x, y N N*，在点(3,3)处取得最优解，所以(x+y)min= 6.故选 A.答案Ay2 0,2. (2019 福建厦门大学附中模拟)已知 x,y 满足0,x y 1 0,则古的取值范围是()3- 7azO -2 -BC. 1,D. 0, 6

46、解析不等式组y- 2 0,x+ 30,x y K 0,表示的平面区域如图中阴影部分所示.(4,2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0,点(3, 4)与点(4,2)连4 2 6y 2斗=7,所以1+石的取值范围为, 选 C.答案Cx + y 2,3.若变量 x, y 满足 2x 3y 0,A. 4 B. 9 C. 10 D. 12咐二2解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.x2+ y2表:x+ y = 2,示原点与可行域内点(x, y)间距离的平方.由得 A(3,I2x 3y = 9,1),则点 A 与原点间的距离的平方最大，最大值为32+ (1)2= 10. 故选C.因为x线的斜率最大，为

47、x + y 6X 4X 4X 4答案C考点三 线性规划的实际应用【例 3】（2017 天津卷）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播 放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连 续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放 时长（分钟）广告播放时 长 （分钟）收视人次（万）甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分 钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多 于乙连续剧播放次数的 2 倍.分别用 x, y 表示每周计划播出的甲、 乙两套连续剧的次数.（1） 用 x, y 列出满足题目条件的数学关系式，

48、并画出相应的平面 区域；（2） 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收 视人次最多？思路引导|审清题意| - |列不等式组| - |作出可行域T求出最优解解（1）由已知，x, y 满足的数学关系式为，70 x + 60y 600,7x+ 6y 0,、y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分.(2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z= 60 x + 25y.12 z12考虑 z= 60 x+ 25y,将它变形为 y=x+方，这是斜率为y, 随 z变化的一组平行直线，25 为直线在 y 轴上的截距，当 25 取得最大 值时，z 的值最大.因为 x, y 满

49、足约束条件，所以由图 2 可知，当直 线 z= 60 x+25y 经过可行域上的点 M 时，截距聶最大，即 z 最大.7x+ 6y = 60,解方程组得点 M 的坐标为(6,3).lx 2y= 0,所以电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收5x+ 5y 30,x 2y,x+ y6,即 x 2y 0,y 0,灯1 2 3 4 5图2，70 x + 60y 600,7x+ 6y 60,视人次最多.名师点拨线性规划的实际应用问题的常见错误点(1) 不能准确的理解题中条件的含义，如“不超过”“至少”等线性约束条件而出现失误.(2) 最优解的找法中作图不规范不准确.(3) 最优解是“整点时”不会寻找“最优整点解”.处理此类问题时，一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如 x= k 或 y= k, k Z Z).对点训练(2018 合肥市高三一检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分 别为 2千元/件、1 千元/件.甲、乙两种产品都需要在 A, B 两种设备 上加工，生产一件甲产品需用 A 设备 2 小时，B 设备 6 小时；生产一 件