常系数线性微分方程的解法

1、.一一复复值值函函数数与与复复值值解解:( ),( ) , .atbtttitta b 如如果果对对于于区区间间中中的的每每一一个个实实数数 , ,有有复复数数z z( ( ) )= = ( ( ) )+ +与与它它对对应应 则则称称z z是是定定义义在在实实值值区区间间上上的的一一个个复复定定值值函函数数义义,实实变变量量的的复复值值函函数数的的极极限限 连连续续性性 可可导导性性与与实实变变量量的的实实值值函函数数相相应应概概念念一一致致. .,Ki 设设是是任任一一复复数数 定定义义(cossin)Ktteetit 则则有有11cos(),sin()22i ti ti ti tteete

2、ei另另外外, ,还还有有如如下下重重要要性性质质: :1212()(1),(2),(3)().KKtK tK tKtKtnKtnKtneeedeKedtdeK edt :( )z t如如果果实实变变量量复复值值复复值值函函解解数数满满足足方方程程1111( )( )( )(4.1()nnnnnnd xdxdxa tatat xf tdtdtdt ( )(4.1).z t则则称称实实变变量量复复值值函函数数为为方方程程的的复复值值解解:关关于于复复值值解解有有如如下下结结论论(4.2)( ),( )( )( ),( )( ),( )4.2.1( )(4.2).ia txz ttitz tttz

3、 t如如果果方方程程中中所所有有系系数数都都是是实实值值函函数数 而而是是方方程程的的复复值值解解 则则的的实实部部虚虚部部和和其其共共轭轭复复数数也也都都是是方方程程定定的的解解理理1111( )( )(4.( )02)nnnnnnd xdxdxa tatat xdtdtdt 4.2.2定定理理设设方方程程1111( )( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xu tiv tdtdtdt ( )( ),( ), ( ), ( ),( )( )ixU tiV ta t u t v tU tV t 有有复复值值解解这这里里都都是是实实函函数数 那那么么这这解解的的实实部

4、部和和虚虚部部分分别别是是方方程程1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xu tdtdtdt 1111( )( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xv tdtdtdt 和和.的的解解n如如果果 阶阶线线性性微微分分方方程程1111( ).( )( )( )nnnnnnd xdxdxa tatat xf tdtdtdt 1( )(1,2,., )a t tnn 中中的的系系数数都都是是常常数数，则则称称它它们们为为 阶阶常常系系数数线线性性微微分分方方程程，即即1111.( )(1)nnnnnnd xdxdxaaa xf tdtdtdt

5、， (1,2,., )( )0ia infnx 其其中中都都是是常常数数。特特别别地地，如如果果方方程程中中的的阶阶常常系系数数齐齐线线性性非非齐齐次次项项，则则称称它它微微分分方方程程为为。如如果果令令1111 .nnnnnnd xdxdxL xaaa xdtdtdt ，(1) ( ) 0L xf xL x 则则方方程程可可简简记记为为，而而它它所所对对应应的的齐齐线线性性方方程程可可记记为为。 0itxeL x 函函数数为为方方程程的的解解当当且且仅仅定定理理当当 为为1 1：代代数数方方程程11.0nnnFaa 的的根根。定定义义1 1：11. 0nnnFaaL x 称称多多项项式式为为

6、的的特特征征多多项项式式；11.0 0nnnFaaL x 称称方方程程为为的的特特征征方方程程；11.0 0nnnFaaL x 称称方方程程的的根根为为的的特特征征根根。 0itL xxe 于于是是，为为求求的的形形式式为为解解，只只须须求求特特征征方方程程11.0nnnFaa 的的根根即即可可。下下面面根根据据特特征征根根是是单单根根还还是是重重根根，分分两两种种情情况况讨讨论论。结结果果1 1：111212 0.0()nnnnnL xFaan 如如果果的的特特征征方方程程有有 个个互互异异的的根根 ，. . . ., ,，. . . ., ,中中可可能能有有一一些些是是复复数数 ，12,.

7、, 0nttteeeL x 则则，为为的的一一个个基基本本解解组组。323220d xd xxdtdt 例例1 1：求求方方程程的的一一个个基基本本解解组组。问问题题：如如何何求求实实系系数数方方程程的的实实值值基基本本解解组组？1121 0.0,2 (2)1nnnkL xFaakl kln 如如果果的的特特征征方方程程有有 个个互互异异的的实实根根 ，.,.,及及结结果果 ：个个复复根根111111,.,iiilillllliiii 则则121111,.,cossincossiniiitttttttiieeeetetetet ，. . . .， 0L x 为为的的一一个个实实值值基基本本解解

8、组组。1112121212 0.0,2()(),nnnmmmmL xFaamkkkkkkn 如如果果的的特特征征方方程程有有个个互互异异的的实实根根 ，. . . ., ,，. . . ., ,中中可可能能有有一一些些是是复复数数 ，重重次次分分别别为为 ， ，. . . ., ,+ + +. . . .+ +结结果果 ：则则11112222111,.,.,.,.,mmmmttktttktttkteteteeteteetete ， 0L x 为为的的一一个个基基本本解解组组。424220d xd xxdtdt 例例2 2：求求方方程程的的一一个个基基本本解解组组。问问题题：如如何何求求实实系系

9、数数方方程程的的实实值值基基本本解解组组？11121211 0.0222,(2)nnnrrL xFaarkkkl kln ：如如果果的的特特征征方方程程有有 个个互互异异的的实实根根 ，.,.,重重次次分分别别为为 ， ，.,.,及及+ +结结果果个个互互异异复复根根111111,.,iiilillllliiii 12,.,.rs ss重重次次分分别别为为显显然然1212.2(.),rrkkksssn 则则11112222111111111111,.,.,.,.,coscoscossin,sinsinrrrririrttkttttkttttktttttktttketeteeteteetetee

10、ttettetet tettet ，.，.，.111111cos,coscossin,insinirirtttkiiitttkiiiet tettetet tettet .,.,，.，.， 0L x 为为的的一一个个实实值值基基本本解解组组。解法：解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为量代换可化为常系数微分方程常系数微分方程.( )1(1)11( )(4.29)nnnnnnx yp xypxyp yf x 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数

11、的阶数与乘积因子自变量的方次数相同变量的方次数相同作变量变换作变量变换,ln xtext 或或,1dtdyxdxdtdtdydxdy ,122222 dtdydtydxdxyd将自变量换为将自变量换为, t,2312233333 dtdydtyddtydxdxyd用用D表示对自变量表示对自变量t求导的运算求导的运算,dtd上述结果可以写为上述结果可以写为,Dyyx ,)1()(2222yDDyDDdtdydtydyx ,)2)(1()23(232322333yDDDyDDDdtdydtyddtydyx .)1()1()(ykDDDyxkk 将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为

12、以 为自变量为自变量t的常系数的常系数线性微分方程线性微分方程.一般地，一般地，11110(4.30)nnnnnd ydydybbb ydtdtdt (4.30),(4.29),(4.29),tKKKKyeyxyxyxxK 如如果果有有形形如如的的解解 则则方方程程有有形形如如的的解解 因因此此可可以以直直接接求求欧欧拉拉方方程程形形如如的的解解. .以以代代入入并并约约去去因因子子就就得得到到确确定定 的的代代数数方方程程1(1)(1)(1)(2)0nK KKna K KKna 特征方程的根为特征方程的根为1230,1,3.kkk 所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为tteCeCCY3321 .3321xCxCC 原方程的特征方程为原方程的特征方程为32230,kkk例例求欧拉方程求欧拉方程3240 x yx yxy解解作变量变换作变量变换,ln xtext 或或的通解的通解欧拉方程解法思路欧拉方程解法思路变系数的线性变系数的线性微分方程微分方程常系数的线性微常系数的线性微分方程分方程变量代换变量代换注意：欧拉