课件工程力学17弯变形

1、1. 挠曲线近似微分方程EIv= M条件：1.材料服从胡克定律；2. 小变形。意义：挠曲线曲率与弯矩成正比， 与梁的抗弯刚度成反比。2xF2. 挠度方程与转角方程的v=3.积分法求梁的变形积分常数的确定： 边界条件，连续条件优点：可全面表达挠度和转角缺点：方程与坐标选择有关；计算量大。3问题有没有简单算法？计算个荷载作用下的变形，有时只关心个别截面的挠度和转角，这时采用叠加法更为方便实用。47.4叠加法计算梁的位移一、条件1.材料服从胡克定律；（变形与性）2.小变形。二、 原理: 叠加原理在上述条件下，几个力共同作用引起梁的变形 ，等于这几个力分别单独作用时引起梁的变形的代数和。5叠加法计算梁

2、的位移法1. 分解每种情况都是简单模型；2. 分别计算查表；3. 叠加。6简单模型- 悬臂梁P.159 1,3,4(¯)Fl 2Fl 3(¿)q=fB =B2EI3EI(¯ )Ml 2Ml (¿)q=f BBEI2EI(¯ )ql 3ql 4(¿)q=f BB6EI8EI7qBlMBlFBl简单模型-简支梁P.160 5,7,8FACBll22q=Fl 2(¿)=Fl 3(¯)A16EIfC48EIq=ql 3(¿)=5ql 4(¯)A24EIfC384EIq=Ml(¿ )q=MlA6

3、 EIB3 EIf=Ml(¯ )2C16 EIqACfBCll22MACBll228fCfC例7-4已知：q , m , l , EI = 常数求： A ,vC1. 分解解：9qmABCl/2l/2例7-4解： 1. 分解2. 分别计算 7,8(¯)5q l 4= -vCq384EIq l 3(¿)q= -Aq24EI(­)ml 2=vCm16EIm lq=Am6EI10qmABAC vCl/2l/2qABAq C vCql/2l/2mAAmvCmB Cl/2l/2例7-43. 叠加vC = vCq + vCm5q l 4ml 2= -+384EI16E

4、Iq= q+ qAAqAmql 3ml= -+24EI6EI11qmABAC vCl/2l/2qABAq C vCql/2l/2mAAmvCmB Cl/2l/2例12-5已知：EI=常数求: fC1,2F (2a) 3( )=¯fC 1fC 23EIfB + qBa=( )322Fa2Fa= -a ­3EI2EI(­)= -3= - 5Fa3EI(­)3FafC = fC1 + fC2EI12FABC2FaaFABCfC12FfC2AfBB例12-6已知：M , l , EI = 常数求： fC ,A , B813M2MABCl/2l/2例12-6(&#

5、175; )2Ml=f C 116 EIMl(¿)qq=A13 EIMl= -B 16 EI(­ )2= - 2 Mlf C 216 EI= - 2 MlqA 26 EI2 Mlq=B 23 EI14M2MABCl/2l/2MABA1fC1B12MfC2AA2B2B例12-6f C=+2f C 1Mlf C 22- 2 Ml16 EI16 EI(­ )2Ml= -16 EIq A= q A1 + q A 2= 0q B= q B1 + q B 2Ml2 Ml= -+6 EI3 EIMl(¿)=152 EIM2MAfBCBCl/2l/2MABA1fC1B1

6、2MfC2AA2B2B例12-7EI=常数，求fC1，8分析：AB段B截面转角引起B l/2fCFBC段弹性弯曲引起16FABCll2F FlA2BBll2FCfCFl2B17例12-7Fl× l2Fl(¿ )= 2=qB3 EI6 EI3F æ l öç 2 ÷( )3Flèø=¯3fCF3 EI24 EI(¯ )32Fl× lFlFl× l+ q=f C=+f CFB8 EI224 EI62FACfCll2F FlA2BBll2FCfCF l2BB例7-5EI=常数，求:

7、 B , vA , vD4，5，8分析：分为悬臂梁AB和简支梁BCBC段B截面转角引起 B aAB段弹性弯曲引起fAq19qa2F=qaP=qaMB = 2ACBBDaaaqv ABAqqP=qaACBDaaa20例7-5EI=常数，求: B , vA , vDqa2× 2a= - qa(2a)23qa2q= q+ q+BBPBM12 EI216EI3EIqa2(2a)- qa(2a)3(¯ )4qa2= vDP + vDM=+= -vD48EI16EI24 EIqP=qaACBDaaaqa2F=qaP=qaMB = 2ACBBDaaa注意：引起B和vD的有两项: P 和M

8、B， 他们的转向不同， 叠加时注意正负号。例7-5EI=常数，求: B , vA , vD3qaq=B12 EI(¯ )4qav D= -24 EIql 4ql 3(¯ )2145qav A= v Aq+ q B× a = -× a = -8 EI12 EI24 EIqa2F=qaP=qaMB = 2ACBBDaaaq ABvAqqP=qaACBDaaa例7-6 变截面悬臂梁AC 如图，EI=常数求: A , vA1，3PMB = PavBP2EIBACvBB2EIaEIBABCaaPaaEIAvBAP分析：分为悬臂梁AB和BCBC段B截面向下位移vBA

9、B段弹性弯曲引起,转角引起B avAP22求: A , vA23例7-6PM = PaPBvB2EIBA2EIEICvBBAaBCBaaaaPEIA+ Pa× a = 3Pa2Pa2vq=BAPB2(2EI)2EI4EIPa × a 2(¯ )32Pa= - 5 Pav B= -3( 2 EI )2( 2 EI )12 EI22= Pa + 3Pa5 Pa 2q= q+q=AAPB2EI4EI4 EI- Pa35Pa33Pa2(¯ )3 Pa 3vA = vAP + vB -qBa =-a = -3EI12EI4EI2 EI例7-7EI=常数，求:6vC

10、解：微段dx上的力dP引起位移= - qdx × x (3l 2- 4x2 )dvC48EI- qdx × x (3l 2bòòv=dv=- 4x2 )CC48EI0(¯)qb23= -l- b )22(48EI224qdP=qdxACBxdxlb2lvC习题12-7（a）EI=常数，求fC1，7，8分析：AB段B截面转角引起BC段弹性弯曲引起B afCF()25qaBCfCFaqqaABBqa22aaqqaABC2aa习题12-7（a）- qa× 2a23= q(2a )q= q+ qBqM24 EI3 EI3qa(¿)=

11、 -3 EIBC段B截面转角引起B a（）26注意：引起 B的有两项:q 和M=qa2， 他们的转向不同， 叠加时注意正负号。qqaABqa2B2aaqqaABC2aa习题12-7（a）qa × a 3(¯ )BC段弹性弯曲引起=f CF3 EI2qa(¯ )4f C= q B a +=f CF3 EI27qqaABC2aaqqaABqa2B2aaAB段B截面转角引起 B a（）q×= qa 4Ba3 EIqaBCfCFa讨论怎样用叠加法确定qC 和fC ?428qqCll22ABCfC29AqBll 22qABll 22qABll22qABCfCllq

12、C227.5 梁的刚度校核梁的设计：利用强度条件设计，利用刚度条件校核。梁的刚度条件：é v ùêë l úûv max£lq 1500q£maxé v êùú :- 1精密机床主轴10000ë lû1- 1400750吊车梁q :0-传动0轴05.001307.6提高梁刚度的措施应该减小最大挠度3Fl= av maxEI1 .增大梁的弯曲刚度EI1） 选用合理的截面形状，增大I ；2） 合理选用材料，E 大2 .改变梁的结构形式，调整梁的跨长 l31提高

13、弯曲强度的措施依据应该减小弯曲正应力1. 选用合理的截面形状；2. 采用变截面梁；3. 合理安排梁的受力；4. 采用复合材料。32s = M y £ s Iz选择合理的截面形状33hzbzdzhz hb选择合理的截面形状34改变梁的结构形式，调整梁的跨长合理安排支座，减小最大弯矩，同时也减小最大挠度35q0.2 l0.6 l0.2 lql 2ql 25050Mql240qlMql 2q2887.7简单静不定梁静定静不定361.超静定结构概述静定结构全部反力和内力都只需根据静力平衡条件即可唯一确定。超静定结构的反力和内力不能完全从静力平衡条件求出，必须同时考虑变形谐调条件和物理条件37

14、FABFACB超静定结构静定结构静不定结构的静不定次数等于其多余约束的个数。可以用去掉多余约束使静不定结为静定的，来确定该结构的静不定次数。在去掉多余约束的同时，应在结构上加上与其相应的约束力，这种用以代替多余约束作用的约束力称为多余力。3940静不定次数原结构基本结构 CB CBAAFC多余力一次静不定原结构基本结构X3X1多余力X2三次静不定一、静不定次数的1.根据定义全部未知力数目 全部2.根据多余约束静不定次数 = 多余约束的数目平衡方程数目静不定次数431532633FABFABMFAABFAXFAYFB二、在相当系统上解静不定问题F静不定问题BAl静定基解除所有外力和多余约束BA相

15、当系统静定基加全部载荷和多余未知力lFBA解静不定问题转化为在静定结构上求解。FBl412.求解静不定梁基本结构在外因和多余力共同作用下的体系称为基本体系（相当系统）。基本体系去掉多余约束处的位移与原结构相同几何方程位移条件B = 0= + = 0BBFBBPFBBPBBFBFBAAFABEI原结构ll22AB基本结构FAB基本体系FB1.相当系统的建立相当系统的特点： 静定；含有多余未知力；载荷、变形与原结构相同。建立相当系统的步骤：静不定次数；解除多余约束，代之以多余未知力；其余照题画。2.如何在相当系统上解静不定问题第一步 解出多余未知力；建立变形协调方程（几何方程）；：相当系统多余未知

16、力作用点的位移，等于静不定结对应多余约束处的实际位移建立物理方程（变形与力的）；解补充方程（物理方程代入几何方程）。第二步 解其余问题。（在相当系统上进行）补充方程并求解1，2= BFB+ BP= 0B5Fl 3=BP48EIl 3F= -BBFB3EIF (­)5F=B1642FABEI原结构ll22FAB基本体系FFBABBPABBFBFB例题已知：EI = 常数 求：作Q 图、M 图解：1.一次静不定2. 建立基本体系3. 几何方程vB = vB(q)+vB(FB) = 04. 物理方程1，4ql 43lF-( ) =(F=)BvqvBBB3EI8EI43qABlqBAlFB例

17、12-105. 补充方程并求解4l 3qlF-= B08 EI3 EI3 ql (­ )=FB86. 求解其它支反力F= 5 ql(­)A8ql 2M A=86.作Q,M 图44qABlMAqBAlFBFA5ql 8FS3qlql288M9ql2 128基本体系的选取与变形协调条件的建立(2)几何方程7，8q A = q Aq + q AM物理方程= 0ql 3M lq Aqq AM= -A24EI3EI5. 补充方程并求解3qlMl-= A3 EI024 EI= 1 ql 2MA845MAqABlql 28M9ql 2128qABl讨论简化计算的一些1. 小变形概念的运用

18、；2. 对称性的利用；3. 相当系统的选择。基本体系的选取与变形协调条件的建立1.应用小变形概念可以推知某些未知量：FAxFBx= 046qMABFAxAFBxFAylFBy2.应用对称性分析可以推知某些未知量：FAxFBx= 0FAy= FBy= q l / 2MA=MB,47qMAMBFAxFBxFAyFByABl相当系统的选取与变形协调条件的建立(1)= q (q)+ q (F)+ q(M) = 0q1，3，4BBBByBB= qlF代入上式，可解出MBy2B48qABlFByqABl= q (q)+ q (F)+ q(M) = 0qBBBql 3ByBBq ( ) =qB6EIqll 22l 2FqBy(F) = -= -BBy2EI2EIMBlq (M) =BBEIql 2=MB代入上式，可解出MB1249qABlFByqABl50相当系统的选取与变形协调条件的建立(2)q A或q B= 0q7，8= q (q) + q(M= -) + q(M) = 0AAAAABql 3q A (q) =M lM lq (M)q (M)= - A3