2021年全国高考乙卷数学（文）试卷

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密·启用前2021年全国高考乙卷数学（文）试卷题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1.已知全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,2,N=3,4，则U(MN)=（ ）A5B1,2C3,4D1,2,3,42.设iz=4+3i，则z=（ ）A34iB3+4iC34iD3+4i3.已知命题p:xR,sinx1命题q:xRe|x|1，则下列命题中为真命题的是（ ）ApqB¬pqCp¬qD¬pq4.函数f(x)=sinx3+cosx3

2、的最小正周期和最大值分别是（ ）A3和2B3和2C6和2D6和25.若x,y满足约束条件x+y4,xy2,y3,则z=3x+y的最小值为（ ）A18B10C6D46.cos212cos2512=（ ）A12B33C22D327.在区间0,12随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（ ）A34B23C13D168.下列函数中最小值为4的是（ ）Ay=x2+2x+4By=sinx+4sinxCy=2x+22xDy=lnx+4lnx9.设函数f(x)=1x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ ）Afx11Bfx1+1Cfx+11Dfx+1+110.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中

3、点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）A2B3C4D611.设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（ ）A52B6C5D212.设a0，若x=a为函数fx=axa2xb的极大值点，则（ ）AabBabCaba2Daba2评卷人得分二、填空题13.已知向量a=2,5,b=,4，若a/b，则=_14.双曲线x24y25=1的右焦点到直线x+2y8=0的距离为_15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=_16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视

4、图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）评卷人得分三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x¯和y¯，样本方差分别记为s12和s22（1）求x¯，y¯，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设

5、备是否有显著提高（如果y¯x¯2s12+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若PD=DC=1，求四棱锥PABCD的体积19.设an是首项为1的等比数列，数列bn满足bn=nan3已知a1，3a2，9a3成等差数列（1）求an和bn的通项公式；（2）记Sn和Tn分别为an和bn的前n项和证明：TnSn220.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐

6、标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF，求直线OQ斜率的最大值.21.已知函数f(x)=x3x2+ax+1（1）讨论fx的单调性；（2）求曲线y=fx过坐标原点的切线与曲线y=fx的公共点的坐标22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为C2,1，半径为1（1）写出C的一个参数方程;（2）过点F4,1作C的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程23.已知函数fx=xa+x+3（1）当a=1时，求不等式fx6的解集;（2）若fxa，求a的取值范围参考答案1.A【解析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.由题意可得：MN=1,2,3,4，则UMN=5.故选

7、：A.2.C【解析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.由题意可得：z=4+3ii=4+3iii2=4i31=34i.故选：C.3.A【解析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.由于sin0=0，所以命题p为真命题；由于y=ex在R上为增函数，x0，所以e|x|e0=1，所以命题q为真命题；所以pq为真命题，¬pq、p¬q、¬pq为假命题.故选：A4.C【解析】利用辅助角公式化简fx，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.由题，f(x)=sinx3+cosx3=222sinx3+22cos

8、x32sinx3+4，所以fx的最小正周期为T=213=6，最大值为2.故选：C5.C【解析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=3x+z，数形结合即可得解.由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由x+y=4y=3可得点A(1,3),转换目标函数z=3x+y为y=3x+z，上下平移直线y=3x+z，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，此时zmin=3×1+3=6.故选：C.6.D【解析】由题意结合诱导公式可得cos212cos2512=cos212sin212，再由二倍角公式即可得解.由题意，cos212cos2512=cos212cos2(212)=cos212sin212=c

9、os6=32.故选：D.7.B【解析】根据几何概型的概率公式即可求出.设=“区间0,12随机取1个数”，对应集合为： x0x12，区间长度为12，A=“取到的数小于13”， 对应集合为：x0x13，区间长度为13，所以PA=lAl=130120=23故选：B8.C【解析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,D不符合题意，C符合题意对于A，y=x2+2x+4=x+12+33，当且仅当x=1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sinx1，y=sinx+4sinx24=4，当且仅当sinx=2时取等号，等号取不到，所以其最小值

10、不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而2x0，y=2x+22x=2x+42x24=4，当且仅当2x=2，即x=1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，y=lnx+4lnx，函数定义域为0,11,+，而lnxR且lnx0，如当lnx=1，y=5，D不符合题意故选：C9.B【解析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.由题意可得f(x)=1x1+x=1+21+x，对于A，fx11=2x2不是奇函数；对于B，fx1+1=2x是奇函数；对于C，fx+11=2x+22，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，fx+1+1=2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

11、故选：B10.D【解析】平移直线AD1至BC1，将直线PB与AD1所成的角转化为PB与BC1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1BC1，所以PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1PC1，又PC1B1D1，BB1B1D1=B1，所以PC1平面PBB1，所以PC1PB，设正方体棱长为2，则BC1=22,PC1=12D1B1=2，sinPBC1=PC1BC1=12，所以PBC1=6.故选：D11.A【解析】设点Px0,y0，由依题意可知，B0,1，x025+y02=1，再根据两点间的距离公式得到PB2，然后消元，即可利用二

12、次函数的性质求出最大值设点Px0,y0，因为B0,1，x025+y02=1，所以PB2=x02+y012=51y02+y012=4y022y0+6=4y0+142+254，而1y01，所以当y0=-14时，PB的最大值为52故选：A12.D【解析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到a,b所满足的关系，由此确定正确选项.若a=b，则fx=axa3为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab.f(x)有x=a和x=b两个不同零点，且在x=a左右附近是不变号，在x=b左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在x=a左右附近都是

13、小于零的.当a0时，由xb，fx0，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故aba2.当a0时，由xb时，fx0，画出fx的图象如下图所示：由图可知ba，a0，故aba2.综上所述，aba2成立.故选：D13.85【解析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2×4×5=0，解方程可得：=85.故答案为：85.14.5【解析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.由已知，c=a2+b2=5+4=3，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线x+2y8=0的距离为|3+2

14、15;08|12+22=55=5.故答案为：515.22【解析】由三角形面积公式可得ac=4，再结合余弦定理即可得解.由题意，SABC=12acsinB=34ac=3，所以ac=4,a2+c2=12，所以b2=a2+c22accosB=122×4×12=8，解得b=22（负值舍去）.故答案为：22.16.（答案不唯一）【解析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.选择侧视图为，俯视图为，如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2,BB1=1，E,F分别为棱B1C1,BC的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥EADF.故答案为：.17.（

15、1）x¯=10,y¯=10.3,s12=0.036,s22=0.04；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.（1）x¯=9.8+10.3+10+10.2+9.9+9.8+10+10.1+10.2+9.710=10，y¯=10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.510=10.3，s12=0.22+0.32+0+0.22+0.12+0.22+0+0.12+0.22+0.321

16、0=0.036，s22=0.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.2210=0.04.（2）依题意，y¯x¯=0.3=2×0.15=20.152=20.0225，20.036+0.0410=20.0076，y¯x¯2s12+s2210，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.（1）证明见解析；（2）23【解析】（1）由PD底面ABCD可得PDAM，又PBAM，由线面垂直的判定定理可得AM平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM平面PBD；（2）由（1）可知，AMBD

17、，由平面知识可知，DABABM，由相似比可求出AD，再根据四棱锥PABCD的体积公式即可求出（1）因为PD底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM，又PBAM，PBPD=P，所以AM平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM平面PBD（2）由（1）可知，AM平面PBD，所以AMBD，从而DABABM，设BM=x，AD=2x，则BMAB=ABAD，即2x2=1，解得x=22，所以AD=2因为PD底面ABCD，故四棱锥PABCD的体积为V=13×1×2×1=2319.（1）an=(13)n1，bn=n3n；（2）证明见解析.【解析】利用等差数列的性质及a1得到9

18、q26q+1=0，解方程即可；利用公式法、错位相减法分别求出Sn,Tn，再作差比较即可.因为an是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q26q+1=0，解得q=13，所以an=(13)n1，所以bn=nan3=n3n.（2）证明：由（1）可得Sn=1×(113n)113=32(113n)，Tn=13+232+n13n1+n3n，13Tn=132+233+n13n+n3n+1，得23Tn=13+132+133+13nn3n+1 =13(113n)113n3n+1=12(113n)n3n+1，所以Tn=34(1

19、13n)n23n，所以TnSn2=34(113n)n23n34(113n)=n23n0，所以TnSn2.(点晴)本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.20.（1）y2=4x；（2）最大值为13.【解析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设Q(x0,y0)，由平面向量的知识可得P(10x09,10y0)，进而可得x0=25y02+910，再由斜率公式及基本不等式即可得解.（1）抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(

20、p2,0)，准线方程为x=p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p2(p2)=p=2，所以该抛物线的方程为y2=4x；（2）设Q(x0,y0)，则PQ=9QF=(99x0,9y0)，所以P(10x09,10y0)，由P在抛物线上可得(10y0)2=4(10x09)，即x0=25y02+910，所以直线OQ的斜率kOQ=y0x0=y025y02+910=10y025y02+9，当y0=0时，kOQ=0；当y00时，kOQ=1025y0+9y0，当y00时，因为25y0+9y0225y09y0=30，此时0kOQ13，当且仅当25y0=9y0，即y0=35时，等号成立；当y00时，kOQ0；综上

21、，直线OQ的斜率的最大值为13.21.(1)答案见解析；(2) 和-1，-1-a.【解析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.(1)由函数的解析式可得：fx=3x22x+a，导函数的判别式=412a，当=412a0,a13时，fx0,fx在R上单调递增，当时，的解为：x1=113a3,x2=1+13a3，当x,113a3时，单调递增；当x113a3,1+13a3时，单调递减；当x1+13a3,+时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在,113

22、a3，1+13a3,+上单调递增，在113a3,1+13a3上单调递减.(2)由题意可得：fx0=x03x02+ax0+1，fx0=3x022x0+a，则切线方程为：yx03x02+ax0+1=3x022x0+axx0，切线过坐标原点，则：0x03x02+ax0+1=3x022x0+a0x0,整理可得：2x03x021=0，即：x012x02+x0+1=0，解得：，则，f'(x0)=f1=1+a切线方程为：y=a+1x,与联立得x3x2+ax+1=(a+1)x，化简得x3-x2-x+1=0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，x-1是x3-x2-x+1的一个因式，该方程可以分解因式为x-1x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,f-1=-1-a，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和-1