拉氏变换与反拉氏变换

1、1第二章 系统数学模型一一、数学模型的基本概念1、数学模型、数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 22、 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征

2、，同时数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。 实验法 33、数学模型的形式、数学模型的形式 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差 分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性 二二、系统的微分方程1、定义、定义：时域中描述系统动态特性的数学模型。2、 建立数学模型的一般步骤建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 4 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元

3、件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列3、 控制系统微分方程的列写控制系统微分方程的列写 机械系统机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：5 质量mfm(t)参考点x (t)v (t)()()(22txdtdmtvdtdmtfm 弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)6ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121 阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()(

4、)()()()(21217q 机械平移系统mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响)()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCi8)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。 9q 弹簧阻尼系统xo(t)0fi(t)KC弹簧-阻尼系统系统运动方程

5、为一阶常系数微分方程。 )()()(tftKxtxdtdCioo)()()(tftftfKCi10q 机械旋转系统Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体齿轮JJ 旋转体转动惯量；K 扭转刚度系数；C 粘性阻尼系数柔性轴11)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo12 电气系统 电阻电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。Ri(t)u(t)()(tRitu 电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t)13 电感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)q R-L-C无源电

6、路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络回路电压定律即基尔霍夫定律14dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若L=0，则系统简化为：)()()(tututudtdRCioo15)()(0)(21titituaq 有源电网络+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：a点是运算放大器点是运算放大器的反相输入端。由的反相输入端。由于其开环放大系数于其开环放

7、大系数值很大，输入阻抗值很大，输入阻抗一般都很高。一般都很高。有：有：i-= i+ =0 (虚断）虚断） u- = u+ （虚短）（虚短）16例：列写下图所示机械系统的微分方程解：1)明确系统的输入与输出输入为f(t),输出为x(t) 2)列写微分方程，受力分析xmxckxf 3)整理可得：fkxxcxm17例：列写下图所示电网络的微分方程解：1)系统的输入与输出输入为u1,输出为u22)列写原始微分方程3)消除中间变量，并整理：18 小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入

8、作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础； 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。19 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统； q 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：)()(xfxf

9、齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：各个输入产各个输入产生的输出互生的输出互不影响。不影响。20叠加 液体系统节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA：箱体截面积；根据托里拆利定理，出水量与根据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比。水位高度平方根成正比。21)()()(tqtHtHdtdAi上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。 ：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，为常数。q 线性系统微分方程的一般形式 )()()()()()()(

10、)(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn22式中，a1，a2，an和b0，b1，bm为由系统结构参数决定的实常数，mn。 三、非线性数学模型的线性化1、 线性化问题的提出线性化问题的提出 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性 微分方程进行处理。 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻 尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有 铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。 23 线性化的提出q 线性系统是有条件存在的，只

11、在一定的工作 范围内具有线性特性； q 非线性系统的分析和综合是非常复杂的； q 对于实际系统而言，在一定条件下，采用线 性化模型近似代替非线性模型进行处理，能 够满足实际需要。 2、非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为： 243003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy)()()(000 xxxxdxxdfxfy略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：0)(xxdxxdfK或：y - y0 = y = K

12、x， 其中：上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；25增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。 )()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：),(20100 xxfy 静态方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK其中：2

13、6 滑动线性化切线法 0 xy=f(x)y0 x0 xyy非线性关系线性化A线性化增量方程为：y y =xtg切线法是泰勒级数法的特例。适用前提适用前提假设在控制系统的整个假设在控制系统的整个调节过程中，各个元件的调节过程中，各个元件的输入和输出量只是在平衡输入和输出量只是在平衡点附近作微小变化。点附近作微小变化。3、系统线性化微分方程的建立、系统线性化微分方程的建立 步骤 27q 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； q 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； q 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微 分方程； 实例：液位系统的线性化 )()()(tqtHtHdtdAi节流阀节流阀qi(t

14、)qo(t)H(t)液位系统0000,ioiqHqq解解：稳态时：)(tH非线性项的泰勒展开为：2820022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHHHHHHHHdHHdHH0000021)(则：iiqqHHHHHdtdA000021)(由于：注意到：HdtdHHdtd)(0)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：29)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi实际使用中，常略去增量符号而写成：此时，上式中H(t)和qi(t)均为平衡工作点的增量。4、线性化处理的注意事项、线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性

15、化方程适 用的工作范围； 30 某些典型的本质非线性本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问题处理。 inout0近似特性曲线真实特性饱和非线性inout0死区非线性31inout0继电器非线性inout0间隙非线性例：液压伺服机构解：1）明确系统输入与输出：输入为x,输出为y2)列写原始微分方程：32),(21pxqqyAqApycymppp，设3)非线性函数线性化：4)代入方程，整理可得：xKAKyKAcymcqc)(2),(:) 1 (000qpx设为确定系统预定工作点

16、ppqxxqpxqpxqTaylorppxxppxx0000),(),(,)2(00级数形式展开成)(1:)3(qxKKpqc表示成增量化形式33四、拉氏变换和拉氏反变换1、拉氏变换、拉氏变换 设函数f(t) (t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数，使得：0)(limtfett则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；0)()()(dtetftfLsFst340dtest称为拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。2、拉氏反变换、拉氏反变换 0,)(21)()(

17、1tdsesFjsFLtfjjstL1为拉氏反变换的符号。式中是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。35直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到原函数的形式。若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。363、几种典型函数的拉氏变换、几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数1(t) 10tf(t)单位阶跃函数0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLstst37q 指数函数atetf)(（a为常数）指数函数0tf(t)1)0)(

18、Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat38q 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin390)Re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj从而：22cossstL同理：40q 单位脉冲函数(t) 0tf(t)单位脉冲函数1)0(1lim)0(0)(0tttt且00000001( )lim11limlim1lim(1)stststsLtedtedteses)

19、()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必达法则：1lim)(0setL所以：41q 单位速度函数（斜坡函数） 10tf(t)单位速度函数1000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst42q 单位加速度函数02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst单位加速度函数0tf(t)函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。 434、拉氏变换积分下限的说明、拉氏变换积分下限的说明 在某些情况下，函数f(t)在t0处有一个脉冲函数(或在t=0处具有间断点)。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0还

20、是0+，并相应记为：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst44常用拉氏变换表常用拉氏变换表455、拉氏变换的主要定理、拉氏变换的主要定理 叠加定理 q 齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；q 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t) a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。 微分定理 0)()0( ),0()()(ttfffssFdttdfL4600)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst证明证明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：)0()()(fssFdttdfL所以

21、：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：47)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：当f(t)在t=0处具有间断点时，df(t)/dt在t=0处将包含一个脉冲函数。故若f(0+) f(0)，则：48 积分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL当初始条件为零时：若f(0+) f(0)，则：sfssFdttfLsfssFdttf

22、L)0()()()0()()()1()1()0()()(),0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL49证明证明：0)()(dtedttfdttfLst00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL同样：50)(1)(sFsdttfLnn当初始条件为零时： 延迟定理 )()(sFetfLs设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：函数 f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)51 位移定理 )()(asFtfeLat例：2222cossinss

23、tLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat 初值定理 )(lim)0()(lim0ssFftfst52证明证明：初值定理建立了函数初值定理建立了函数f(t)在在t=0+处的初值与函数处的初值与函数sF(s)在在s趋于无穷远处的终值间的关系。趋于无穷远处的终值间的关系。 0)0()(lim)(lim)(lim0fssFdtedttdfdttdfLsstss)(lim)0(ssFfs即： 终值定理 )(lim)()(lim0ssFftfst若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即：)(limtft存在。则：53证明证明：)0()(lim)0()(lim)(lim0

24、00fssFfssFdttdfLsss)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：)(lim)(0ssFfs)0()(lim)0()(0fssFffs即：终值定理说明终值定理说明f(t)稳定值与稳定值与sF(s)在在s=0时的初值相同。时的初值相同。547、求解拉氏反变换的部分分式法、求解拉氏反变换的部分分式法 部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+Fn(s)假定F1(s), F2(s), ，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1F(s) = L-1F1(s)+L-1

25、F2(s)+L-1Fn(s)= f1(t) + f2(t) + + fn(t)55)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF在控制理论中，通常：为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式：式中，-p1，-p2，-pn为方程A(s)=0的根，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,m)。此时，即可将F(s)展开成部分分式。 56 F(s)只含有不同的实数极点niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)(

26、)(式中，Ai为常数，称为s = -pi极点处的留数。() ( )()( )( )( )( )()()limlimiiiiispspiisp B ssp B sB sAA sA sB pA p实际常如下计算：实际常如下计算：57例例：求)6(2)(22ssssssF的原函数。解解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA54) 3(2)()2(2223sssssssFsA215431158131)(ssssF即：)0(5415831)()(231tees

27、FLtftt58例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数f（t）s10s7s1s2) s (F23解：解：32( )2121( )( )(2)(5)710B sssF sA ss sssss其中：其中：p10、p2-2、p3-51102( )21|0.1( )31410spSB ssAA sss同理：同理：A2=0.5、A30.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (Ft5t2e6 . 0e5 . 01 . 0) t (f其反变换为：其反变换为：59 F(s)含有共轭复数极点 假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、-p2，其余极点均为各不相同的实数极点。注意，此时F(s)仍

28、可分解为下列形式：niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(由于p1、p2为共轭复数，因此， A1和A2也为共轭复数。ipsiipssFA)()(60例 试求 的拉氏反变换。 321sF ssss解： 31232113132222AAAsFssssssjsj1321322113132226sjsAsjjsss 21326Aj 则 332011ssAssss 32131311262613132222jjsF ssssssjsj61则 131322221213131 12626333sincos1 1322jtjttf tjejetettt tjtjtjtjeeteej

29、t21cos21sin这里用到欧拉公式 62例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数5s2s3s) s (F2解：解：p11+j2、p21j2411242( )| 2( )0.5 2( )2cos(2)4jsjjtN sKjeD sKef tet 则：63 F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF式中，Ar+1，An利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA640)(001pspssFAr

30、0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr65tpnnentpsL0)!1()(1101注意到：)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr所以：66例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数23s) 1s (1) s (F解：解：B（s）0有有 p11的三重根、的三重根、p20的二重根，所以的二重根，所以F（s）可以展开为：可以展开为：2212231121213sKsK) 1s (K) 1s (K1sK) s (F23s1)

31、s (F) 1s (故：3s1dsd21K2|s1dsdK1|s1K222131s2121s21132) 1s (1) s (Fs3|) 1s (1dsdK1|) 1s (1K0s3220s321tetteetfssssssFttt32123)(13) 1(1) 1(213)(2232从而：67例例：求的原函数。) 1()2(3)(2ssssF解解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFdsdA21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF

32、68)0(2)2()()(21teetsFLtftt于是：8、 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 69原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程70 实例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：若xi (t) =1(t)，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求xo(t)。解解：对微分方程左边进行拉氏变换： )0()

33、0()()(222ooooxsxsXsdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL71)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL即：)(6)(6sXtxLoostLsXtxLii1)( 1)()(对方程右边进行拉氏变换：sxxssXssooo1)0()0()5()()65(2从而：323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooo7261065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxs

34、B)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB73) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXooooo所以：查拉氏变换表得：当初始条件为零时：74q 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏 变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。 由上述实例

35、可见：q 系统响应可分为两部分：零状态响应和零输 入响应 75五、传递函数1、传递函数的概念和定义、传递函数的概念和定义 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件：q t0时，输入量及其各阶导数均为0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；76 传递函数求解示例 q 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数 )()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo)()()()(2sFsKXsCsXsXmsioooKCsmssFsXsGio21)()()(所有初始条件均为零时，其

36、拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：77q R-L-C无源电路网络的传递函数 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：78q 几点结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入输出特性来描述

37、系统的内部特性。 79 一般有nm 同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。80 传递函数的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：81mmmmbsbsbsbsM1110)(nnnnasasasasN1110)

38、(令：)()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。2、特征方程、零点和极点、特征方程、零点和极点 特征方程式中，K称为系统的放大系数或增益。当s=0时： G(0)=bm/an=K82从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K 反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 零点和极点 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG将G(s)写成下面的形式： N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=p

39、j (j=1, 2, , n)，称为传递函数的极点；决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性83系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j84时间常数形式时间常数形式853、传递函

40、数的几点说明、传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 86 传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出 的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 4、脉冲

41、响应函数、脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：)()()()(sGsXsGsY即：)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特性的相同信息。875、典型环节及其传递函数、典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。 典型环节示例 q 比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。88其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、

42、xi(t)分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。KsXsXsGio)()()(比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(89q 惯性环节 )()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： T时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关式中，K环节增益（放大系数）；90)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：弹簧

43、-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC91q 微分环节 输出量正比于输入量的微分。dttdxtxio)()(运动方程为：ssXsXsGio)()()(传递函数为：式中，微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。92RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节，只有当|Ts|1时，才近似为微分环节。 除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：93) 1()()

44、()(sKsXsXsGio微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。q 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。 tiodttxTtx0)(1)(运动方程为：TssXsXsGio1)()()(传递函数为：式中，T积分环节的时间常数。94AtTAdtTtxto11)(0积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。95如：有源积分网络

45、 +CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(96液压缸 Aqi(t)xo(t)dttqAtxio)(1)(AssQsXsGio1)()()(97q 振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为： 10),()()(2)(222tKxtxtxdtdTtxdtdTiooo12)()()(22TssTKsXsXsGio传递函数：式中，T振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，对于振荡环节，0 1 K比例系数98TsssGnnnn1,2)(222振荡环节传递函数的另一常用标准形式

46、为（K=1）：n称为无阻尼固有频率。)()()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo如：质量-弹簧-阻尼系统12/11)(222TssTKKCsmssG传递函数：mKCKmT2,式中，99mkC2当时，为振荡环节。q 二阶微分环节 式中，时间常数 阻尼比，对于二阶微分环节，01 K比例系数 10,)()(2)()(222txtxdtdtxdtdKtxiiio运动方程：12)(22ssKsG传递函数：01100q 延迟环节 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；)()(txtxio运动方程：sesG)(传递函数：式中，为纯延迟时

47、间。 延迟环节从输入开始之初，在0 时间内, 没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：101ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测量vLththio)()( 小结 q 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件；102q 一个环节往往由几个元件之间的运动特性 共同组成；q 同一元件在不同系统中作用不同，输入输 出的物理量不同，可起到不同环节的作用。 六、系统传递函数方框图1、系统传递函数方框图、系统传递函数方框图 系统传递函数方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。注意：即使描述系统

48、的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。103 方框图的结构要素 q 信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。X(s), x(t)信号线q 信号引出点（线） 表示信号引出或测量的位置和传递方向。 同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)104q 函数方框(环节) G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框具有运算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) 传递函数的图解表示。q 求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“ ”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的“+”或“-

49、”表示加上此信号或减去此信号。 105相邻求和点可以互换、合并、相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。律、结合律和分配律。 X1(s)X2(s)X1(s)X2(s) ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。 106R1Cs1求和点函数方框函数方框引出线Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框图示例任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。 107 系统方框图的建立 q 步骤 建立系统各元部件的微分方程,明确信号 的因果关系（输入/输出）。

50、 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部 件的方框图。 按照信号在系统中的传递、变换过程，依 次将各部件的方框图连接起来，得到系统 的方框图。 108q 示例 RCui(t)uo(t)i(t)无源RC电路网络 无源RC网络 )()()(tututRioidttiCtuo)(1)()(1)()()()(sICssUsUsUsRIooi拉氏变换得：)(1)()()(1)(sICssUsUsURsIooi109从而可得系统各方框单元及其方框图。 R1Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)()(1)(sUsURsIoi(a)Cs1Uo(s)I(s)(1)(sICssUo(b)R1Cs1Ui(s)U(s)

51、I(s)Uo(s)无源RC电路网络系统方框图110 机械系统 m1fi(t)K1C x(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC)()()()(11tftftftxmKCi )()()(11txtxKtfoKdttdxdttdxCtfoC)()()()()()()(212tftftftxmKCKo )()(22txKtfoK111)()()()()(1)()()()()()()()()()(1)(22212122111sXKsFsFsFsFsmsXsXsXCssFsXsXKsFsFsFsFsmsXoKKCKooCoKKCi112211smFi(s)X(s)FC(

52、s)FK1(s)(a)()()(1)(121sFsFsFsmsXKCiK1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)()()(11sXsXKsFoK)()()(sXsXCssFoC113221smXo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s) (c)()()(1)(2122sFsFsFsmsXKCKoK2Xo(s)FK2(s)(d)()(22sXKsFoK114211smFi(s)X(s)FC(s)FK1(s)221smXo(s)FK2(s) K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2机械系统方框图115 系统方框图的简化 q 方框图的运算法则 串联连接 G1(s)G2(s)Gn(s)

53、Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s) G2(s) Gn(s)Xi(s)Xo(s)116 并联连接 Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+ G2(s)+ + Gn(s)117 反馈连接 G(s)H(s)Xi(s)Xo(s) B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio)()(1)()()()(sHsGsGsXsXsioXi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG118q 方框图的等效变换法则 求和点的移动 G(s)ABC求和点后移G(s)ABC求和点前移G(s

54、)ABCG(s)G(s)ABC)(1sG119 引出点的移动 引出点前移G(s)ACC引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA120一般系统方框图简化方法：1)明确系统的输入和输出。对于多输入多输出系统，针对每个输入及其引起的输出分别进行化简；2)若系统传递函数方框图内无交叉回路无交叉回路，则根据环节串联，并联和反馈连接的等效从里到外从里到外进行简化；3)若系统传递函数方框图内有交叉回路有交叉回路，则根据相加点、分支点等移动规则消除交叉回路，然后按每2）步进行化简；注意：分支点和相加点之间不能相互移动。注意：分支点和相加点之间不能相互移动。121例：求下图所示系统

55、的传递函数。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A解解：1、A点前移；H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)1222、消去H2(s)G3(s)反馈回路)()()(1)()()(232321sHsGsGsGsGsGH1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)()()()()()(1)()()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsGH3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s) 反馈回路123)()()()()()()()()()(1)()()(3321232121321sHsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGXi(s)Xo(s)4、消去H3(s) 反馈回路例：系统传递函数方框图简化124125例：系统传递函数方框图简化1262、梅逊公式、梅逊公式 1)()()(递函数每一反馈回路的开环传积前向通道的传递函数之sXsXsGiob 在相加点，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。条件：1）整个方框图只有一条前向通道；2）各局部回路存在公共的传递函数方框。127例：系统传递函数方框图简化321GGG前向通道：232312123211相加点处、：相加点处、：相加点处、