基本初等函数讲义(超级全)(2)

1、、一次函数一次函数k , b符号图象性质y随 x 的增大而增大y随 x 的增大而减小、二、二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：2f (x) = ax bx c(a屮0)顶点式：f (x)二a(x -h)2k(a = 0)两根式：f (x)二a(xxj(xx2)(a = 0)(2) 求二次函数解析式的方法1已知三个点坐标时，宜用一般式.2已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.3若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(X)更方便.(3) 二次函数图象的性质图像定义域对称轴顶点坐标值域1 co -b| 递减 oo b| 递增1 2a

2、丿1 2a丿单调区间,2 1递增1, + 1递减1 2a丿1 2a丿2b.二次函数f (x)二ax bx c(- 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x,顶ax时，fmin(x)=-；当a : 0时，抛物线开口向下，函数在卫上递2a4a2a三、幕函数(1) 幕函数的定义般地，函数y二X叫做幕函数，其中x为自变量，:是常数.(2) 幕函数的图象四、指数函数(1) 根式的概念：如果xn二a,a R, x，R, n 1，且n，N.，那么x叫做a的n次方根.(2) 分数指数幕的概念Vm!一一正数的正分数指数幕 的意义是：an=n am(a 0,m, n，N ,且n1). 0 的正分数点坐标是(舟4ac

3、 -b24a当a 0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在右七)上递増，当增，在一上递减，当x 时,2a2afmax( x)=4ac -b24a过定点：所有的幕函数在义，并且图象都通过点(1,1)指数幕等于 0._m1mn正数的负分数指数幕 的意义是：an=()n=：.n( )m(a . 0,m, nN .,且n .1).0a Y a的负分数指数幕没有意义.(3 )运算性质3(ab)r= arbr(a 0,b 0,r R)(4 )指数函数函数名称指数函数定义_x函数y=a (an。且a1)叫做指数函数1、图象y小xL? /口Xy-yy = a y = i( (o,i) )ox=ay/y0X定义域

4、值域过定点图象过定点(0,1)，即当x= 0时，y=1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1ar= ar s(a 0, r, s R)r. s rs ,2(a ) = a (a 0, r,s R)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越咼；在第二象限内，a越大图象越低.五、对数函数(1)对数的定义若aN(a - 0,且a )，则x叫做以a为底N的对数，记作x =JogaN，其中a叫做底数，N叫做真数.2负数和零没有对数.3对数式与指数式的互化：x=logaNu ax= N(a .0,a=1,N 0).(2 )几个重要的对数恒等式loga1 =0,logaa=1

5、,logaab=b.(3) 常用对数与自然对数常用对数：lg N，即iog10N；自然对数：In N，即logeN(其中e = 2.71828).(4)对数的运算性质如果a .0,a,M 0,N . 0，那么加法：logaMlogaN =loga(MN )减法：logaM - logaloga N数乘：n logaM =logaMn( n R)alogaN=N5log b M -logaM (b0, n R)ab6换底公式：logaN =logb N(b 0,且b=1)logba(5 )对数函数函数名称对数函数定义函数y = logax(a a 0且a式1)叫做对数函数X =1x = 1yy=

6、 lOga Xy= lOgaX图象*）（1,0） O（1,0）X/Ox定义域值域过定点图象过定点(1,0)，即当x= 1时，y = 0.奇偶性非奇非偶单调性在（0,4-oc)上是增函数在（0,+=c)上是减函数函数值的变化情况a变化对图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数y二f (x)的定义域为A，值域为C，从式子y二f (x)中解出x，得式子x(y) 如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x二(y)，x在A中都有唯一确定 的值和它对应，那么式子x二(y)表示x是y的函数，函数x二(y)叫做函数y二f(x)的 反函数，记作x = f，

7、(y)，习惯上改写成y二f (X).(7)反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式y二f(x)中反解出x二f，(y)；将x二f4(y)改写成y二f *(x)，并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质原函数y = f(X)与反函数y二f(x)的图象关于直线目二X对称.2函数y = f(X)的定义域、值域分别是其反函数y = f(x)的值域、定义域.3若P(a,b)在原函数y = f(x)的图象上，贝V p(b,a)在反函数yfx)的图象上.一般地，函数y = f (x)要有反函数则它必须为单调函数.例题一、求二次函数的解析式例 1抛物线y rx?_4x _4的顶点坐标是()A

8、. (2, 0)B . (2, -2)C. (2, -8)D. (-2, -8)例 2.已知抛物线的顶点为(-1 , - 2),且通过(1, 10),则这条抛物线的表达式为()2A .y =3 x _1-22B .y二3 x 1亠22C y二3 x 1；-22D.y二七x 1 i一22例 3抛物线 y=x -2mx m 2的顶点在第三象限，试确定 m 的取值范围是()A.mv1 或 m2 B.mv0 或 m1 C. 10的是（）2323A. y =x3B. y =x2C. y=x3D. y = x22例 10.讨论函数 y =X5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.例 10.已

9、知函数 y=4 152xx.（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间.四、指数函数的运算1例 11 计算|-2）22的结果是（）A、. 2B、耳、一 2 D、一-2 2例 12. -等于（）16842A、aB、aC、aD、aba/b例 13.若3a=8,3b=5，则33=_五、指数函数的性质例 14.M二yy =2x，P二yy “x-u，则MPP（）A.y|y1B.3|八1C.y|yD.y|y0例 15求下列函数的定义域与值域:42（1）八2心（2）八（彳）凶3例 16.函数 y 乜心3 a 0 且 a 胡的图像必经过点（）A （0, 1） B （1 , 1）

10、 C （2 , 3） D . （2, 4）x .例 17 求函数 y=2_z2 的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性2x十 1五、对数函数的运算a例 18.已知3 =2，那么log38-2log36用a表示是（）五、对数函数的性质例 22.下列函数中，在0,2上为增函数的是（y =logL(x 1)B、y =log2. x2-12a -25a-22c、3a_(1 + a)3a - a2例 19.2loga(M -2N) =logaM logaN，则M的值为（）N1、A、B、4 C、1 D、4 或 14例 20.已知log7【log3(log2x) =0,那么1x2等于（）1A、一 B、3

11、111-=C、= D、=2、32,23,3例21loga：1,则a的取值0，1c、2!3，D、12C、y =log2D、y =log1(X _4x 5)x灵例 23.函数y =|g -1的图像关于（）U+x丿A、X轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线y=x对称 例 23求证函数f （x） =lgx2 1 -x是 （奇、 偶）函数。课下作业1.已知二次函数 y=ax2+bx+c,如果 abc，且 a+b+c=O,则它的图象可能是图所示的B 抛物线的顶点相同D 抛物线的开口方向相反23. 二次函数 y= X 2x 1图像的顶点在（）A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .4. 如图所

12、示，满足 a O,bv0 的函数 y=abx的图像是（）5 .如果抛物线 y=x? 6%的顶点在 x 轴上，那么 c 的值为（）A . 0B . 6C . 3D . 96. 次函数 y = ax+ b 与二次函数 y= ax2 + bx + c 在同一坐标系中的图象大致是p7.在下列图象中，二次函数y=ax2 + bx + c 与函数 y=（a）x 的图象可能是& 若函数 f（x）= （a 1）x2+ （a2 1）x+ 1 是偶函数，则在区间0，+m）上 f（x）是（A .减函数B .增函数C.常函数2.对抛物线 y=2(X-2)2一 3 与 y=2(X-2)2+ 4 的说法不正确的是（）A.

13、抛物线的形状相同C.抛物线对称轴相同第四象限( )()D .可能是减函数，也可能是常函数9.已知函数 y = x2 2x + 3 在闭区间0 , m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是（）3,-A.1,+s) B.0,2C.1,2 D.(s, 2A.( s,1 B.(3,+s)C.(s,3) D.5,+s)15、设集合S =y|y =3：x R, T二y |y -1,x R，则Sp|T是()D、有限集16、函数y =27og2x（x1）的值域为（）a 0丄a 0丄a： ： ：丄a：0b 0B. lbx3 成立的x 的取值范围是A、xv1 且 x 工00vxv1C、x 1xv111、

14、若四个幕函数 y =c、d 的大小关系是cd,y= x , yd c b aa b c dd c a bD、a b d c12.若幕函数f x二在(0,+s上是减函数，则A.m1m力丫3C 5八3X2D、22八318、 在b =log（2）（5 -a）中，实数a的取值范围是（）A、a5或ac2B、2 caC3或3 caV5C、2a 5D、3ac42 219、计算（Ig2）（Ig5） 2lg2也5等于（）A、0B、1C、2D、320、 已知a=log32，那么log38-2log36用a表示是（）2A、5a_2B、a2C、3a_（1a）D、3a-a2_i21、 已知幕函数 f（x）过点（2,亞）

15、，贝 V f（4）的值为（）21A、B、 1C、2D、82二、填空题1.抛物线 y= 8x2 （m 1）x+ m 7 的顶点在 x 轴上，则 m =_ .3_ 22函数y= X的定义域为 _ .3.设f（x） = （m-2用十，如果 f（X）是正比例函数，则 m=_ ,如果 f（x ）是反比例函数，则 m=_ ,如果 f（x）是幕函数，则 m=_.14若（X -1）4有意义，则 X=_.5当3xc5y时，J25y2-30 xy+9x2=_.26 若旷 F=25，则y的最小值为_.2m:：.n7、右loga2二m,loga3 = n, a8、函数y =log（x-1）（3- x）的定义域是。9、Ig 25 Ig 2_lg 50 (Ig 2)1 2二。2x ；x_210. 不等式61的解集是 _ .11. 不等式 3x的解集是 _ .丿12._ 若二3，1/-4，则iox=_ .13、 已知函数f(x)=lOg2x：；：0)O)，则ffG)的值为 _14、_ 函数f(x)g(3