直角坐标系中将三重积分化为三次积分ppt课件

1、YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分一、化三重积分为三次积分一、化三重积分为三次积分)(1xyy )(2xyy 如图，如图，,Dxoy面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域在在闭闭区区域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直线线过过点点Dyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zzxyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2zYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算的的函函数数，则则只只看看作作看看作作定定值值，将将先

2、先将将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得是是 x、y 的函数。的函数。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx留意留意相相交交不不多多于于两两点点

3、情情形形的的边边界界曲曲面面区区域域内内部部的的直直线线与与闭闭轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域平平行行于于Sz )1(分分若若干干个个小小区区域域来来讨讨论论相相交交多多于于两两点点时时，把把的的边边界界曲曲面面闭闭区区域域内内部部的的直直线线与与轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域若若平平行行于于 )2(SzYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算三重积分化为三次积分的过程：三重积分化为三次积分的过程：。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( xyzo D )2(轴轴投投影影，得得到到向向 xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直线作直线过

4、点过点Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事实上，事实上， dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( )2(轴轴投投影影，得得到到向向 yD . ),()(:11dycyxxyxD,),( )3(作直线作直线过点过点Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 事实上，事实上， ).,(),(, ),()( :211

5、1yxzzyxzdycyxxyxxyzo Dcd1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdyYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算。面面上上投投影影，得得到到向向yzDyoz )1( )2(轴轴投投影影，得得到到向向 yDyz . ),()(:11byayzzyzD,),( )3(作作直直线线过过点点yzDzy 得到得到).,(),(21zyxxzyx 事实上，事实上， ).()( , ),(),(:2111yzzyzbyazyxxzyxD),(zyabxyzo 1x2x dvzyxf),(

6、.),()()(),(),(2121 bayzyzzyxzyxdxzyxfdzdyYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算211xozy1。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .210, 10 :xyxD, ),(的直线的直线轴轴作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.210yxz 解解D于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydxYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 10021 0 21 xdyxzdxyx 100221)2(xdyxyxxdx 1002221)(dxxyyxxx 1032)2(41dxx

7、xx1 0 4324132241 xxx.481 于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx( , ) ,x yDz 过过点点作作平平行行与与轴轴的的直直线线得到得到.210yxz YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算解解, 122 yxYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算.),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因因此此，YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算oxyz12DYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算于是，于是， dx

8、dydzz 21020 xyzdzdydxoxyz12。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(轴的直线轴的直线作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即 210281xdyydx 213241dxx.325 YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算zzDYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算解解xyzozDYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzz

9、czab222)1( .1543abc 原式原式因此，因此，YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算二、二、 三重积分的变量替换三重积分的变量替换( , , ):( , ,),( , ,),( , ,)(1)( , ,), ( , ,), ( , ,)( , , )(2)( , ,)0;( , ,)f x y zxyzVTxx u v wyy u v wzz u v wuvwVxyzVx u v wy u v wz u v wVD x y zDJ u v wD u v w 定定理理1 1设设在在空空间间上上的的闭闭区区域域上上连连续续，变变换换将将空空间间上上的的闭闭

10、区区域域变变为为空空间间上上的的，且且满满足足在在上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数；在在上上雅雅可可比比式式YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算(3):( , , ) ( , ,), ( , ,), ( , ,)( , ,)VVT VVf x y z dxdydzf x u v wy u v wz u v wJ u v w dudvdw 变变换换是是一一对对一一的的，则则有有 , ,., ,D x y zdVdudvdwD u v w 称称为为体体积积元元素素 , , ,D x y zVD u v w当当雅雅可可比比行行列列式式在在区区域域 的的个个别别点

11、点上上或或某某条条曲曲线线，某某块块曲曲面面上上等等于于零零，而而在在其其它它点点处处非非零零时时, ,换换元元法法则则仍仍成成立立. .YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 2225,0 0,0,0.VIx dxdydzVzayzbyyabzx zxzh h例例 计计算算其其中中 是是由由曲曲面面，所所围围成成的的区区域域解解: :作变换作变换2:,zzT uvwzyx( , ,)|,0,Vu v waubvwh VV则则变变成成：YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算而而所以所以1( , , )( , ,)( , ,)( , , )

12、D x y zD u v wD u v wD x y z 2Ix dxdydz 37422012bhauduv dvw dw 923321111.27hab2322x yz 3221.2wvu 3222212wwdudvdwvvu YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算,0 r,20 . z1、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分 ( , , ), , , M x y zMxoyPrrzM 设设为为空空间间内内一一点点，并并设设点点在在面面上上的的投投影影的的极极坐坐标标为为，则则这这样样的的就就叫叫点点的的柱柱面面坐坐标标规定：规定：xyzo),(z

13、yxM),( rP r简单地说，柱面坐标就是简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标面上的极坐标 + z 坐标坐标YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面r xyzoz),(zyxM),( rP rxyzoYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算从而从而( , , )( , , )xyzrrrD x y zxyzD rzxyzzzz

14、cossin0sincos0 001rr cossinsincosrr r YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算( , , )d d dVf x y zx y z ( cos , sin , ) d d dVf rrz r rz 所以所以V一一般般地地，表表示示为为 1212,rrrzrzzr，YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算( , , )Vf x y z dxdydz ( cos , sin , ).Vf rrzr dr ddz 如图，柱面坐标系中的如图，柱面坐标系中的体积元素为体积元素为, dzddrrdv 于是，于是， dr

15、xyzodzdr rd再根据再根据 V 中中 z，r， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。普通，先对普通，先对 z 积分，再对积分，再对 r ，最后对，最后对 积分。积分。YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算例例6 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分, dxdydzz其中其中所所围围成成的的闭闭区区域域。与与平平面面是是由由曲曲面面 4 22 zyxz解解(1) 画画 图图(2) 确定确定 z，r， 的上下限的上下限将将 向向 xoy 面投影，面投影，得得 4 :22 yxD或或 . 20,20 : rD 过过 (r, )D 做平行于做平行

16、于 z 轴轴的直线，得的直线，得xyzo4xyzo4Ao22 r ),( rYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算xyzo4 ),( r42 zr .,sin,coszzryrx 即即过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 4, 20,20 :2 zrr 于是，于是， dxdydzz . dzddrrz 420202 rdzzrdrd Ao22 r, dzddrrdv YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 dxdydzz dzddrrz 420202 rdzzrdrd 20422022 drzrdr 2052

17、0)(16 21drrrd 202 0 6261821drr2 0 62618221 rr .364 YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算解解 zyxzyx3422222求交线：求交线：xyzo将将 向向 xoy 面投影，面投影，得得 . 3 :22 yxD . 1, 322zyxoA3 r或或 .30,20 : rD YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 dzdrdrzdxdydzzI .413 xyzo 23242030rrzdzrdrd .4322rzr 即即过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 .

18、43,30,20 :22 rzrr ),( r .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 或或 .30,20 : rD YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算例例8 计算三重积分计算三重积分, )(22 dvyx其中其中 是由曲是由曲所围成。所围成。与平面与平面面面 )0( 22 HHzyxz解解将将 向向 xoy 面投影，面投影，得得222 :HyxD 或或 .0,20 : HrD xyzoHxyzoHxyoHHH H .Hzr 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 ),( rYunnanUniversity2. 三重积分

19、的计算三重积分的计算 ,0,20 : HzrHr 即即或或 .0,20 : HrD .Hzr 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得xyoHHH H HxyzoH ),( r dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 HHrdrzrd0 320 HdrrHr043)(2 .10 5H ,0,20 : HzrHr 即即 dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryr

20、x , dzddrrdv YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算( , , ) M x y zMOMOMzzxOPPMxoyM 设设为为空空间间内内一一点点，则则点点可可用用三三个个有有次次序序的的数数， ，来来确确定定，其其中中为为原原点点与与点点间间的的距距离离，为为有有向向线线段段与与轴轴正正向向所所夹夹的的角角，为为从从正正轴轴来来看看自自轴轴按按逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向线线段段的的角角，这这里里为为点点在在面面上上的的投投影影，这这样样的的三三个个数数， ，就就叫叫做做点点的的球球面面坐坐标标0, .20 ,0 规定：规定：xyzo),(zyx

21、MP 2. 2. 球面坐标球面坐标YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 为为常常数数为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sinsin ,cos .xyz 球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxM r zyxAxyzor YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算( , , )( , , )xyzD x y zxyzDxyz 由由sincossinsincoscoscoscossinsinsinsinsincos0 Y

22、unnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算sinsincossinsin cossinsinsincoscos sincos coscossin 2222sinsinsincos 2sin 所以所以( , , )d d dVf x y zx y z 2(sincos ,sinsin ,cos )sin d d dVf YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算( , , )Vf x y z dxdydz2 (sincos ,sinsin ,cos)sin.Vfddd 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为2 sin,dvddd 如图，如图

23、， drxyzodr dsinr rd d d sinr再根据再再根据再 V 中中 ， ， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。普通，先对普通，先对积分，再对积分，再对 ，最后对，最后对 积分。积分。YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算例例9 用球面坐标计算用球面坐标计算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解画画 图。图。确定确定 r， ， 的上下限。的上下限。(1) 将将 向向 xoy 面投影，面投影，得得. 20 (2) 任取一任取一,2 , 0 过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得.0 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, ,

24、 0 过原点作过原点作射线，得射线，得. 10 rxyzoYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算xyzo(3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 过原点作过原点作射线，得射线，得. 10 r即即 . 10,0,20 :r dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算 0220 sin cos51dd 0220)(cos cos5

25、1dd 20 0 33cos51d 20152d.154 dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 YunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算例例10 计算计算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222Rzyx 围成。围成。)0( R将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 任取一任取一,2 , 0 过过 z.40 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 过原点作射线，得过原点作射线，得.0Rr 解解轴作半平面，得轴作半平面，得xyzoRYunnanUniversity2. 三重积分的计算三重积分的计算即即 .0,40,20 :Rr dddrrr 2 2si