从《对数》探讨数学史在中学数学教育中的作用

1、以对数为例探讨数学史在中学数学教学中的作用冉立娟（长江师范学院数学与计算机学院重庆涪陵408000）摘要：对数产生于17世纪中叶，对数的发明是计算技术的一次重大的进步。本文首先对对数的发展历程进行了简要的概述，主要从对数思想的萌芽，纳皮尔与比尔吉引入对数的方法，对数的进一步完善这几个方面来概述对数的发展历程的。接着分析中学教材中的对数知识及学生的学习状况，以对数知识为例分析了数学史知识对于中学教育的重要作用。本文旨在通过对数的例子，说明数学史融入中学教学能更好的促进教学，能使学生更好的学习数学知识。关键词:对数；纳皮尔；数学史；中学数学教学对数的发明是计算技术的一次重大的进步。16世纪初，欧洲

2、人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更高的要求。特别是以精确测量为基础的天文学的兴起，使得人们遇到了繁杂的数值计算，人们由衷地希望能简化计算。而对数的发明，给他们带来了希望，它的出现让那些需要计算的学者、尤其是天文学家欣喜如狂，拉普拉斯曾经赞誉说：“对数的发明一节省劳力而延长了天文学家的寿命。”伽利略甚至说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。”这些都足以见得，对数的发明是多么的伟大啊！1对数的发展历程对数思想的萌芽对数的基本思想可以追溯到古希腊时代。早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：1,10,1

3、02,103,104,105,；0,1,2,3,4,5,他发现了它们之间有某种对应关系。利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是施蒂费尔。他在其著作整数算术中讨论了几何级数与其整数之间的关系，指出：几何数列1,r,r2,r3,的各项与其指数数列0,1,2,3,的各项相互对应，几何数列中两项相商所得的项，其项的指数等于对应的指数数列中两项的和（差）。他甚至还把两个数列之间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形。由于当时指数概

4、念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17X63,1025+33等情况就感到束手无策了。在这种情况下，施蒂费尔无法继续深入研究下去，只好停止了这一工作。因此，最终并没有提出对数的概念，但他的发现为对数的产生奠定了基础。纳皮尔与比尔吉引入对数的方法1.2.1纳皮尔引入对数15、16世纪，天文学得到了较快的发展。为了计算星球的轨道和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和开方运算。由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月的时间。繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？数学家们在探索、在思考。如果能用简单的加减运算来代替复杂的乘除运算那就太好了！这一梦想终于被

5、英国数学家纳皮尔实现了。纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了解决平面和简化天文问题的球面三角的计算。1614年，他在题为奇妙的对数定理说明书一书中，阐述了他的对数方法。虽然施蒂费尔已经提出了级数的思想，但纳皮尔并没有从离散级数的比较出发，而是借助于运动概念与连续的几何量的结合来引人对数。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此基础上，纳皮尔借助运动概念与连续的几何量的结合来引入对数。他的思想方法是：如图1,假定质点P沿着

6、一有限直线AZ运动，另一质点Q沿着一无限长直线AZ'运动。两个质点开始运动时的初速度相同，Q的速度保持不变，而P的速度则以如下方式变化：在其路径上任意一点B的速度与该点到终点的距离即BZ成对比，设比例系数为1.如果当P点位于B是，Q点位于B',则将AB'称为BZ的对数。P一A1B二Q*1i|IA，B，Z，图1抛开纳皮尔繁琐发描述，我们借助于微积分的方法来介绍纳皮尔这一精湛的数学思想。dt令AZ=a,BZ=y,A'B=x,于是有AB=a-y.因此质点P在B点的速度可由d(ay)给出,这里的t为时间。由定义有_y,解之可得-lny=c+t.但在A点有t=0,y=a,

7、所以c=-lna.dt此外，因为Q沿着AZ'做匀速运动，即dxa,所以x=at.因此，上述关系变为：dtlnyx，或xa(lnalny)aln(a).aInay1纳皮尔称x为y的对数，这实际上是以1为底的对数。但纳皮尔并没有“底”的概念，e这是因为当时，还没有完善的指数概念，他把对数称为人造的数。对数这个词是纳皮尔创造的，原意为“比的数”。对数的概念的建立先于指数，这也是数学发展过程中的一个趣闻。1.2.2比尔吉发明对数的方法与纳皮尔一起分享发明对数方法殊荣的还有瑞士人比尔吉(，1552-1632)。比尔吉是瑞士的一位工程师，他曾担任著名天文学家开普勒的助手，因此经常接触复杂的天文计算

8、，于是产生了化简数值计算的强烈愿望。他受施蒂费尔工作的影响，考虑等差数列0,10,20,，10n,和与之对应的等比数列由此建立了一种对数体系，于1620年发表在等差数列和等比数列表中。不难看出，比尔吉所造的对数表，把对数的底取为，与现在自然对数的底e相差甚小。比尔吉发明对数的时间大约在1610年，他用了8年时间编出了世界上最早的对数表，但他长期不发表它。直到1620年，在开普勒的恳求下才把算术和几何级数表发表出来了。而纳皮尔的对数表在1614年公诸于世，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了，早比尔吉6年。1.2.3比较纳皮尔和比尔吉引入对数的方法纳皮尔和比尔吉两人都致力于对数的研究，只不过纳皮尔用的

9、是几何方法，比尔吉用的是代数法。纳皮尔并没有根据施蒂费尔已经提出了级数的思想去进行对数的引用，也并没有从离散级数的比较出发，而是借助于运动概念与连续的几何量的结合，用几何的方法来引入的对数。然而，比尔吉却是受施蒂费尔工作的影响，考虑等差数列，属于算术性质而略异于纳皮尔的做法，运用的是代数的方法来引入对数的。这是两人在引入对数的方法最本质的差别。虽然他们引入对数的方法不同，但都是对数的伟大发明者，对我们的数学发展都作出了重要的贡献。对数的进一步完善纳皮尔的对数著作引起了广泛的注意，伦敦的一位数学家布里格斯于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔，建议把对数作一些改进，使1的对数为0，10的对数为1等等

10、，这样计算起来更简便，也将更为有用。次年纳皮尔去世，布里格斯独立完成了这一改进，就产生了使用至今的常用对数。1617年，布里格斯发表了第一张常用对数表。1620年，哥莱斯哈姆学院教授甘特试作了对数尺。当时，人们并没有把对数定义为幂指数，直到17世纪末才有人认识到对数可以这样来定义。1742年，威廉斯把对数定义为指数并进行系统叙述。现在人们定义对数时，都借助于指数，并由指数的运算法则推导出对数运算法则。可在数学发展史上，对数的发现却早于指数，这是数学史上的珍闻。解析几何与微积分出现以后，人们在研究曲线下的面积时，发现了面积与对数的联系。比如，圣文森特的格雷果里在研究双曲线xy=1下的面积时，发现

11、面积函数很像一个对数，后来他的学生沙拉萨第一个把面积解释为对数。但当时并没有认识到对数和双曲线下面积之间的确切关系，更没有认识到自然对数就是以e为底的对数。后来牛顿也研究过此类问题。欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式，以作为满足ayX的指数y,并对指数函数和对数函数作了深入研究。而复变函数的建立，使人们对对数有了更彻底的了解。2 数学史与数学史教育数学史数学史主要研究数学学科的发生、发展及其规律，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探究影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学史是一门与

12、社会政治、经济和一般文化相联系的学科，它是数学学科体系中重要的一个组成部分。古人云：“以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以知得失。”然而，以史为镜，可以明事理。因此，数学史的教育价值也就不言而喻了。数学史对于揭示数学知识的现实来源和应用，对于引导学生体会真正的数学思维过程，创造一种探索与研究的数学学习气氛，对于激发学生对数学的兴趣，培养探索精神，对于揭示数学在文化史和科学进步史上的地位与影响进而揭示其人文价值，都有重要意义。数学史教育只有懂得历史，才能深刻理解数学。近几年来，我国数学教育改革强调数学的文化价值，致使数学史知识得到广泛的关注。普通高中数学课程标准明确提出要使

13、学生“初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用”，而把“数学史选讲”作为一门选修课加以开设，大力推动数学史和数学教学的融合。在课堂上适当渗透一些数的发展历史，能使数学活起来。另一方面，适当学一些数学史能使学生学得更富有趣味性和探索意义，从而极大地调动学生的积极性，提高他们学习数学的兴趣。数学史教育是中学数学教学中不可缺少的组成部分。尤其在全面推进素质教育，实施课程改革的今天，对发展学生综合素质提出了更高的要求，数学史的教育功能则更加显现。教育部2003年颁布的普通高中数学课程标准（实验）中也指出：高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求

14、，设立“数学史选讲”等专题。由此可见，数学史教育对于中学数学教育的重要性。但是由于长期应试教育的影响，很多教师重数学知识的传授，而忽视了它在发展高中学生综合素质方面的作用，影响了中学数学教学质量的提高。3 以对数知识为例探讨数学史在中学数学教育中的作用中学教材中的对数知识及学生的学习状况对数知识也是中学知识中非常重要的知识点，在高考中也占了一定的比例。在中学课本中，主要学习和探讨了对数的概念，对数的基本性质，对数函数的定义以及图像的特征。这些对数的知识，都是在纳皮尔与比尔吉引入的对数的基础之上，经过后人不断的改进完善而得到的。比如说：纳皮尔当时在发明对数的时候，那时并没有明确的指数概念，也没有

15、指数符号。本来指数相关的概念应该在对数概念之前建立，然而却没有，因此对数的发明当时也是数学发展过程中的一个趣闻。后来，欧拉在1748年引入了以a为底的x的对数logax这一表示形式，以作为满足ayx的指数y，并对指数函数和对数函数作了深入研究。现在，中学的教材中，就修改了这一点，先讲解了指数的相关定义及其性质以后才开始讨论对数的相关知识。然而，我们发现现在学生在学习对数这一节知识时，只是机械的知道了对数的概念，学生永远都不知道学习对运算法则，通过进行大量的练习，学会了对数的简单运算。但是，数的目的是什么？它能解决哪些问题，更别说对数式与指数式之间的关系。也就是说，学生只知道运算，别的一无所知。

16、我们只是把学生教成了能进行对数运算的计算器。其实，学生并没有真正的学好对数一节的知识。在中学教学中渗透数学史的知识的作用在平时的教学活动中适当渗透一些数学史的内容，往往能起到事半功倍的效果。下面以对数这一节的知识为例，探讨在中学教学中渗透数学史的知识的作用。3.2.1 激发学生对数学的热爱，更激发学生的求知欲和创造欲案例一：课时的引入阶段教师主要应该谈的是对数是怎样产生的，这时候教师可以以对数的发展引入新课。在讲对数概念时，简单介绍一下对数的发明者苏格兰数学家纳皮尔编制对数表的历程，即：今天，我们用电子计算机可以很容易求对数，但是在以前是通过对数表来查的。对数的发明者是苏格兰数学家纳皮尔，公元

17、1594年，纳皮尔开始精心编制可供实用的对数表，公元1614年，纳皮尔发表了关于奇妙的对数法则的说明一书，书中论述了对数的性质，给出了有关对数表的使用规则和实例。纳皮尔为了发明对数，用了20年的计算，最终换来了人世间无数寿命的延续！后经人们不断改进完善，形成了我们今天学习的对数知识。在历史上大概没有比“对数”的发现，更能使人意识到数学发现的意义和对人类文明的贡献。在教学中引用这样的例子，能使学生深深感受到数学发现的重要，激起学生对数学的热爱，更激起了学生的求知欲和创造欲。在高中数学新课程改革中，数学史被认为是学生认识数学、理解数学的一种途径。学习对数的知识首先要弄清楚对数是怎么来的，新教材中明

18、确提出要使学生“初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用”。在课堂上适当渗透一些数的发展历史，能使数学活起来，能使学生学得更富有趣味性，从而极大地调动学生的积极性，提高他们学习数学的兴趣。3.2.2 解数学知识发生、发展的过程，促进学生对数学概念、定理和公式的理解案例二：在讲对数相关知识时，应该穿插对数的发展历程：苏格兰数学家纳皮尔为了简化在研究天文学过程中的计算而发明了对数，他的朋友布里格斯在研究“奇妙的对数定律”时，与其商定，使1的对数为O，10的对数为1，这就是现在所用的以10为底的常用对数，x18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，首先使用ya来定义x=l

19、ogy，并指出“对数源出于指数”任何一门学科的发展都有着知识发生、发展的过程，也只有了解了知识产生的现实背景和问题背景，我们才能明确学习的目标。如果我们在学习对数的时候不告诉学生对数产生的问题背景，只是机械的告诉学生对数的运算法则，然后进行大量练习，在这种情况下，学生可能会学会对数的简单运算。但是，学生永远都不知道学习对数的目的是什么，它能解决哪些问题。这样学生只知道运算，别的一无所知。然而，如果穿插一些对数的发展史的知识，就能让学生理解对数的发展历程。同时，也让学生能够认识到对数是源出于指数的，教材中先安排我们学习指数的知识，也是非常正确的。同时，也让学生能够更加深刻的理解到指数函数与对数函

20、数之间的关系。这样，才能使学生真正地学好用好对数的知识。3.2.3 树数学家榜样，彰显数学作用案例三：如果在讲对数一节知识时，老师讲诉纳皮尔发明对数的目的以及多么艰苦：自古以来，人们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对计算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展。为了让天文学家从繁琐的计算中解脱出来，纳皮尔发明了对数，而为了计算对数表他自己却整整花费了20年的时间。公元1594年，纳皮尔开始精心编制可供实用的对数表，在经历了7300个日日夜夜之后，一本厚达200页的8位对数表终于诞生了！所以，纳皮尔对我们现在对数知识的发展作出了十分重大的贡献，在历史上得到了很多人的赞美。法国大数学家拉普拉斯说：“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量，那么对数的发明，等于延长了人类的寿命！”对数表后经别人更改完善，解决了星体的轨道计算，船只的位置确定，大地的形貌测绘，船舶的结构设计等一系列课题。通过讲杰出数学家的故事对于今天的学生来说，无疑有着巨大的激励作用。学习数