对“重力机械能守恒定律在各惯性系都成立”的修正

1、对“重力机械能守恒定律在各惯性系都成立”的修正刘明成（河北师范大学 河北 石家庄 050091）刘文芳（吉林师范大学 吉林 四平 136000）赵文桐（河南师范大学 河南 新乡 453007）前言：文献1发表后,收到两篇批评文章,我们非常高兴,这说明两位作者认真审阅了我们的文章.富兰克林先生说过：“谁批评我们,谁就是我们的朋友,因为他们指出我们的缺点”.为了对已发表的文章负责,对自己的观点负责,我们接受文献2的批评意见,把这两个例题重做一遍,本文假设地球的质量充分大,从而稳定地保持为惯性系,按照外场处理.“坚持真理,修正错误.”这是讨论问题的正确态度.例1 一质量为m的小球（视为质点）,自地面

2、以上高h处t=0时开始下落,t=T时落到地面.求证：在地面坐标系小球（质点）在自由降落过程中机械能守恒.有一相对于地面匀速u上升的电梯,求证：在电梯坐标系小球在自由降落过程中机械能守恒. 23证明: 在地面系考察小球的机械能.势能零点选择地面.当t=0时,y(0)=h,v(0)=0,于是Ep（0）=mgh, Ek（0）=0.则Ek(0)+ Ep(0)= mgh （1）12gT=0,v(T)=-gT,于是Ep（T）=mgy(T)=0, 2111Ek（T）=mv2(T)= mg2T2=mg(gT2) = mgh,即Ek(T)+ Ep(T)= mgh （2） 222当t=T 时,y（T）=h-这即在

3、两端点机械能相等.12gt, v(t)=-gt,则有 212122 Ep（t）=mgy(t)=mg(h-gt)=mgh-mgt22111Ek（t）=mv2(t)= mg2t2=mg2t2,于是有Ek(t)+ Ep(t)= mgh （3） 222当t0,T时,y(t) 0,h, y(t)= h-这即说明t0,T,y(t) 0,h过程中小球的机械能守恒.在电梯系考察小球的机械能按伽利略坐标变换关系,y为地面系,y为电梯坐标系 +utv=v+u = -g当t=0时,两坐标系原点重合,小球开始下落,y(0)= y(0)=h,v（0）= v（0）-u=-u,则Ep（0）=mgh,Ek（0）=1m v(0

4、)2 2121mu ,于是Ek(0)+ Ep(0)= mgh+mu2 （4） 22当t=T 时,y（T）= y（T）-uT=-uT,v(T)= v(T) -u =-gT-u1122121Ep(T)= - mg uT,Ek(T)= m v(T)=m (gt+ u)2=mgT+mu2 + mg uT 222212211211于是Ek(T)+ Ep(T)= mgT+mu2=mg(gT) +mu2 =mgh+mu2 （5） 2222212当t0,T时,y(t) 0,h, y(t)= y(t) -ut = h-gt -ut , v(t)= v(t) -u =-gt-u, 212122 Ep（t）=mgy

5、(t)=mg(h-gt-ut)=mgh-mgt- mg ut,221111Ek（t）=m v(t)2= m(gt+ u)2=mg2t2+mu2+ mg ut, 22221于是有Ek(t)+ Ep(t)= mgh+mu2 (6) 2这即证明了小球在下落过程中机械能在电梯系也守恒.几点说明：1.在本题中地面系和电梯系都按照惯性系处理,小球的运动对于地球的影响忽略不计,否则在地面系和电梯系计算的结果只是近似守恒,而不是守恒；2.在地面系和电梯系开始时势能零点重合,其他时刻电梯系的势能零点是地面系势能零点的伽利略像点,不是始终重合,两个惯性系不存在所谓公共势能零点；3.重力势能Ep=mgh对于任何惯性

6、系都成立,Ep（t）=mgh-122122mgt- mgut,E（t）=mgh-mgt,p22二者只是在初始时刻相等,说明重力势能不具有伽利略变换的不变性；4.无论是地面系还是电梯系,重力都按照恒力处理,不是显含时间的力；Ep（t）=mgy(t),Ep（t）=mgy(t)说明势能都是位置的函数,不显含时间；伽利略变换只研究质点的速度、坐标的变换,不研究力源重力场的变化；5.按照外场处理势能属于质点,一个保守力的功等于势能的减少；按照内场处理,势能属于系统,一对保守力的功等于势能的减少；6.由于在这个问题中质点受到的重力是恒力,运动轨迹又是直线,根据数学的对称性原理,只需研究两个端点的机械能相等

7、即可,文献1的论证方法是正确的,文献2的作者没有认识到这一点,所以我们补上这个过程.例2也存在这个问题不再说明,弹簧振子和单摆问题不存在这个问题,不能只检验端点机械能相等.弹簧振子和单摆也是质点在外场中的运动，只不过力的大小和方向不断变化而已.例2.在地面一堵墙边固定一光滑斜面,斜面高h,倾角为,斜面顶端有一个光滑的滑块（视为质点）,其质量为m,当t=0时滑块开始下滑,t=T时滑到地面.求证：在下滑过程中滑块机械能在地面坐标系守恒；同时有一辆小车沿x轴正方向匀速直线运动,求证：在小车系滑块的机械能守恒.证明：首先证明在地面系滑块的机械能守恒.势能零点选在地面.当t=0时,y(0)=h, v(0

8、)=0,于是Ep（0）=mgh, Ek（0）=1m v2(0)=0.则Ek(0)+ Ep(0)= mgh （7） 2当t=T时,y（T）=0,v(T)=aT,a为质点沿斜面方向的加速度,a=gsin,即有Ep（T）=mgy(T)=0, Ek（T）=12111mv(T)= ma2T2= mg2T2sin2= mg(gsin2) T2 2222= mg(12ayT) = mgh,其中ay=gsin2为沿斜面加速度在y轴方向的分量, 2Ek(T)+ Ep(T)= mgh (8) 这即在两端点的机械能守恒.当t0,T时,y(t) 0,h, Ep（t）=mgy(t)=mg(h-121ayt)=mgh-m

9、gayt222Ek（t）=12111mv(t)= ma2t2=mg2t2sin2=mgayt2，Ek(t)+ Ep(t)= mgh （9） 2222式（9）说明在地面系滑块的机械能在下滑过程中守恒.证明在小车系滑块下滑过程中机械能守恒.文献4给出了一个证明方法,下面再给出一种简短的证明在地面系看来滑块在斜面上无论如何运动,当滑块回到原点时支持力的功都等于0,所以斜面的支持力是保守力,又由于力是伽利略变换的不变量,因此在小车系看来支持力也是一个保守力.只要是保守力就可以引入势能,但是注意是滑块的支持力势能,不是斜面的支持力势能,因为斜面没有形变.又因为重力也是一个保守力,因此它们的合力也是一个保

10、守力.由于力的保守性具有伽利略变换的不变性（参照下面的例3）,因此在小车系看来滑块受到的合力也是一个保守力.当t=0时,两坐标系原点重合,滑块开始下滑,y(0)= y(0)=h,v（0）= v（0）-u=-u,则Ep（0）=mgh,Ek（0）=111m v(0)2=mu2 ,于是Ek(0)+ Ep(0)= mgh+mu2 （10） 222当t0,T,y(t) 0,h时,根据动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量 W= Ek（t）- Ek（0） (11) 根据势能定义：保守力对质点做的功等于势能增量的相反数W= Ek（t）- Ek（0） （12） 由式（11）和式（12）可以得到Ek(

11、t)+ Ep(t)= Ek(0)+ Ep(0)= mgh+12mu （13） 2式(13)表明在小车系看来滑块的机械能也是守恒的.说明：当观察者相对于斜面静止时,利用重力机械能守恒定律得出的结果等效,以至于人们发生误解斜面问题中的机械能守恒问题就是重力机械能问题；当观察者相对于斜面匀速运动时,斜面的支持力做功,只是和重力在垂直于斜面方向上分力的功正负抵消,所以只需考虑重力沿斜面方向的分力即可,因此斜面机械能不是重力机械能,直接利用重力机械能守恒定律是错误的,应当利用势能定义（保守力所做的功等于势能的减少）来计算，这个问题由于与重力势能类似，所以在文献1中研究.单摆问题与斜面问题类似,本文不再推

12、导；忽略斜面上的摩擦力,它就是只考虑重力沿斜面分量的封闭系统！例3 定理：在两个相对匀速运动的惯性系o,O1中,如果o系中的力f是保守力,那么在O1系中的该力F=f且也是保守力证明：设0时刻惯性系o,O1完全重合,且O1系相对于o系以正常数u的匀速开始运动设t时刻,质量为m的质点在惯性系o的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r,v,a,f,w,在O1系中分别为：R,V,A,F,W,则据微分运算有R=r-ut,V=v-u,A=a-0=a,F=mA=ma=f；dR=Vdt=vdt-udt=dr-udtdW=FdR=f(dr-udt)=fdr-umadt=dw-mudv=dw-md(uv)

13、, （14） WwuvdW=dw-md(uv),W=w-muv+muv （15） 000uv0由dv=adt和dr=vdt知,W=w-muv+muv0=w1(t)-muq(t)+muv0=j(t),由于R=r-ut= r(t) -ut=(t)是关于时间t的连续函数,质点在任何时刻的速度都是唯一存在的,因此R=(t)也是可导函数,该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间,设D是该函数的任意一个单调区间,根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=(R),在区间D上W=j(t)=j1(R)是位置的函数,F是保守力.由于上面的结论在任意单调区间上成立,所以该结论在整个定义域上也成立,F=mA=ma=f

14、是O1系中的保守力因此保守力经过伽利略变换不可能变成显含时间的力，文献56认为保守力经过伽利略变换可以变成非保守力，显然是错误的，例3明确解答了这个问题. -1结语：1.我们再次对文献2的作者表示感谢,由于他的批评,我们重新作了这两道习题,使我们对于机械能守恒定律有了更清楚的理解；2.文献2开头即说：“他们的论证有错误,进而得出的结论也是错误的.”这句话是错误的,没有亲自做这两个习题,怎么就知道我们是错误的呢？作者了解这场争论过程,知道并相信文章711的结论；3.文献3对于我们的批评我们是无法接受的,但是我们对他的批评表示感谢.我们认为文献3的题目就是错误的.经典力学中的功能定理和机械能守恒定

15、律是研究宏观物体的机械运动的定理,在牛顿力学的中常见的保守力有重力、万有引力和弹力,这三种力都不是与时间有关的系统.文献3说,在地面系力场与时间无关,而在电梯系和小车系同一个力场与时间有关，这样力就不是伽利略变换的不变量，例3就是针对这个问题给出的.文献3不仅批评文献1,还批评文献1213,他的批评我们是无法接受的.作者的观点实际是文献1415观点的继承和发展,作者从参加这场讨论一开始就站在中国力学教学界著作711的力场上,也不做具体计算,只是定性的抽象论说,自我“约定”、“定义”、“定理”批评别人,这不16是理论物理的研究方法.这场讨论的问题确实比较复杂,国际上也比较纠结,我国力学教学界如果

16、解决了这个问题,便走在了世界的前沿.4.牛顿力学的机械能守恒定律中的势能对应于所有的有势力,包括主动力和约束反力,而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广义力,广义力只包含主动力,故两种势能不同文献17证明了约束反力是一个保守力.由于牛顿力学的机械能守恒定律中的势能对应于所有的有势力,包括主动力和约束反力,因此牛顿力学的机械能守恒定律势能包括约束反力势能,不能仅仅考虑主动力.机械能守恒定律是质点动力学规律,由牛顿第二定律推导而来,牛顿第二定律指的是质点受到的合力,因此机械能守恒定律中的保守力应该是保守力的合力,考虑了势能就不能再计算保守力的功了.质点所受到的合外力在两个惯性系中

17、相同,在一个惯性系中机械能守恒,在另一个惯性系中机械能一定守恒.严格讲斜面和单摆问题中的机械能不是重力机械能问题,因为此时质点受到的合力不等于重力,不过在相对于斜面和单摆悬挂点静止的坐标系里计算的结果和重力机械能计算结果相同,因为另外一个保守力不做功（因此很多人误认为是重力机械能问题）,但是在相对于该坐标系匀速运动的坐标系里这个保守力做功,同时改变了质点的动能和势能,不改变质点的机械能,因此分析力学计算机械能时不考虑约束反力.如果看做是重力机械能问题必须把另外一个保守力的做功去掉1（即把这个力看做外力）,否则就不满足力学相对性原理了,重力机械能不守恒不代表机械能不守恒.参考文献：1. 赵文桐,

18、刘文芳,刘明成重力机械能守恒定律在各惯性系都成立J物理通报,2015(3)：96982. 李伟铎.对“重力机械能守恒定律在各惯性系都成立”的商榷.物理通报（增刊1）,2016：110112,115.3.4.5.6.7. 朱如曾.力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理,2016（10）：1116. 张翠斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解物理通报,2016(9)：115117. 李卫平,罗洁.注意力的保守性和参照系的关系.中学物理,2013年3月第5期：4243. 刘瑞金.机械能相关问题的讨论.淄博学院学报（自然科学与工程版）,2001（12）：4750. 蔡伯濂.大学物理编辑部.关于力学相对性原理与机械能守恒的来稿综述.大学物理,1994（1）：2022.8. 高炳坤.大学物理编辑部.机械能守恒定律和相对性原理.大学物理,1999（1）：1821,24. 9. 喀兴林.编者的话.大学物理,2000（2）：2729,34.10. 赵凯华.编者的话.大学物理,2002（3）：11. 赵凯华,罗蔚茵新概念物理教程 力学M北京：高等教育出版社,2000：12412. 李学生,师教民. 对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷. 物理通报,2014（9）：119120.13. 刘明成,刘文芳,赵文桐弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立J物理通报,2015(12)：10911114. 高炳坤,