常见的勾股数及公式

1、常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果/ C=90, a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2;反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边.与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,则称a、b、c为勾股数，记为(a, b, c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数(3, 4, 5 )是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为( X1, x, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1) 2+x2=

2、(x+1 ) 2,解得x= 4或x =0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3,4,5);类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是勾股数。二、后两数为连续整数的勾股数易知：(5,12,13), ( 9,4 0,4 1 ),( 1 1 3,6 3 3 8,6 3 8 5 )，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为 1).分别取 n= 1,2,3,就得勾股数组(3,4,5 ), ( 5,1 2,1 3 ), ( 7,2 4,2 5 )，三、前两数为连续整数的勾股

3、数你知道(2 0,2 1,2 9 ), (119,120,169),(4059,4060,5741)，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：(x, x+1, , 2x2 2x 1 ) (X为正整数)。设前两数为连续整数的勾股数组为(x, x+1, y), y=2x2+2x + 1则x2+(x+1)2 = y2 (*)整理，得 2x2 2x 1 = y2，化为 2x 1 2 - 2y2 = -1，即 2x T2y 2x T -2y =1, 又 1，2 1 - 2 =1,二 1 . 2 1 1 - 2 1 =1(n N),故取2x 1 血y = G+血严,(2x+1y =(1运严,解之，得

4、 x=丄1 . 2 1 + 1 22，y=- 11 1 -1，44故前两数为连续整数的勾股数组是(1(1+72亍十 +(1一72十一2，1(1+ 72严 +(1J2 严44-2 2n 1 2n 12+1, 1 2 1 - . 2).4四、后两数为连续奇数的勾股数如(8 , 15, 17), (12 , 35, 37)其公式为：4(n+1),4(n+1) 2-1,4(n+1) 2+1(n 是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m2 1,c=m2+1 (m大于1的整数).2.a=丄(吊一n2) ,b=mn,c= 丄(吊+n2)(其中mn且是互质的奇数).2 23.a=2m,b=m2

5、 n2,c=m2+ n2 (mn,互质且一奇一偶的任意正整数)下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5 ;5 12 13 ;6 8 10 ; 7 24 25;8 15 17;9 12 15;9 40 41 ;10 24 26;11 6061;12 1620 ;123537; 138485; 14 4850; 152025;15 3639;15 112113; 16 3034 ; 16636517 144145; 18 2430; 188082; 19180181 ;20 2129;204852 ; 2099101; 212835217275; 21220 221 ; 22

6、 120122 ; 23 264 265 ;24 3240;244551 ; 247074 ; 24143 1452560 65；25 312 313 ；26 168 170 ；27 36 45；27 120123；27 364 365 ；28 45 53；28 96 10028195 197 ；29 420 421 ；30 40 50；30 72 78；30 224 226 ；31 480 481 ；32 60 68；32 126 13032255 257 ；33 44 55；33 56 65；33 180 183 ；33 544 545 ；34 288 290 ；35 84 91；35 1

7、20 12535612 613 ；36 48 60；36 77 85；36 105 111 ；36 160 164 ；36 323 325 ；37 684 685 ；38 360 3623952 65；39 80 89；39 252 255 ；39 760 761 ；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104；40 198 20240399 401 ；41 840 841 ；42 56 70；42 144 150 ；42 440 442 ；43 924 925 ；44 117 125 ；44 240 24444483 485 ；45 60 75；45 108 117 ；45 20

8、0 205 ；45 336 339 ；46 528 530 ；48 55 73；48 64 804890 102；48 140 148 ；48 189 195 ；48 286 290 ；48 575 577 ；49 168 175 ；50 120 130 ；50 624 6265168 85；51 140 149 ；51 432 435 ；52 165 173 ；52 336 340 ；52 675 677 ；54 72 90；54 240 24654728 730 ；55 132 143 ；55 300 305 ；56 90 106； 56 105 119 ；56 192 200 ；56 3

9、90 394 ；56 783 7855776 95；57 176 185；57 540 543 ；58 840 842 ；60 63 87；60 80 100 ；60 91 109；60 144 15660175 185 ；60 221 229 ；60 297 303 ；60 448 452 ；60 899 901 ；62 960 962 ；63 84 105；63 216 22563280 287 ；63 660 663 ；64 120 136 ；64 252 260 ；64 510 514 ；65 72 97 ；65 156 169 ；65 420 4256688 110；66 112 1

10、30 ；66 360 366 ；68 285 293 ；68 576 580 ；69 92 115 ；69 260 269 ；69 792 79570168 182 ；70 240 250 ；72 96 120；72 135 153 ；72 154 170 ；72 210 222 ；72 320 328 ；72 429 43572646 650 ；75 100 125 ；75 180 195 ；75 308 317 ；75 560 565 ；75 936 939 ；76 357 365 ；76 720 72477264 275 ；77 420 427 ；78 104 130 ；78 160 1

11、78 ；78 504 510 ；80 84 116 ；80 150 170 ；80 192 20880315 325 ；80 396 404 ；80 798 802 ；81 108 135 ；81 360 369 ；84 112 140 ；84 135 159 ；84 187 20584245 259 ；84 288 300 ；84 437 445 ；84 585 591 ；84 880 884 ；85 132 157 ；85 204 221 ；85 720 72587116 145 ；87 416 425 ；88 105 137 ；88 165 187 ；88 234 250 ；88 480

12、 488 ；88 966 970 ；90 120 15090216 234 ；90 400 410 ；90 672 678 ；91 312 325 ；91 588 595 ；92 525 533 ；93 124 155 ；93 476 48595168 193 ；95 228 247 ；95 900 905 ；96 110 146 ；96 128 160 ；96 180 204 ；96 247 265 ；96 280 29696378 390 ；96 572 580 ；96 765 771 ；98 336 350 ；99 132 165 ；99 168 195 ；99 440 451 ；99

13、540 549100105 145 ；100 240 260；100 495 505 ；100 621 629.以下是大于 100 的勾股数：第 223 组：102 136 170第 224 组：102 280 298第 225 组：102 864 870第 226 组：104 153 185第 227 组：104 195 221第 228 组：104 330 346第 229 组：104 672 680第 230 组：105 140 175第 231 组：105 208 233第 232 组：105 252 273第 233 组：105 360 375第 234 组：105 608 617第

14、 235 组：105 784 791第 236 组：108 144 180第 237 组：108 231 255第 238 组：108 315 333第 239 组：108 480 492第 240 组：108 725 733第 241 组：108 969 975第 242 组：110 264 286第 243 组：110 600 610第 244 组：111 148 185第 245第 246第 247第 248第 249第 250第 251第 252第 253第 254第 255第 256第 257第 258第 259第 260第 261第 262第 263第 264第 265第 266第

15、 267第 268第 269第 270第 271第 272第 273第 274第 275第 276第 277第 278第 279第 280第 281第 282第 283第 284第 285第 286第 287第 288第 289第 290第 291组：111 680 689组：112 180 212组：112 210 238组：112 384 400组：112 441 455组：112 780 788组：114 152 190组：114 352 370组：115 252 277组：115 276 299组：116 837 845组：117 156 195组：117 240 267组：117 5

16、20 533组：117 756 765组：119 120 169组：119 408 425组：120 126 174组：120 160 200组：120 182 218组：120 209 241组：120 225 255组：120 288 312组：120 350 370组：120 391 409组：120 442 458组：120 594 606组：120 715 725组：120 896 904组：121 660 671组：123 164 205组：123 836 845组：124 957 965组：125 300 325组：126 168 210组：126 432 450组：126 56

17、0 574组：128 240 272组：128 504 520组：129 172 215组：129 920 929组：130 144 194组：130 312 338组：130 840 850组：132 176 220组：132 224 260组：132 351 375第 292第 293第 294第 295第 296第 297第 298第 299第 300第 301第 302第 303第 304第 305第 306第 307第 308第 309第 310第 311第 312第 313第 314第 315第 316第 317第 318第 319第 320第 321第 322第 323第 324

18、第 325第 326第 327第 328第 329第 330第 331第 332第 333第 334第 335第 336第 337第 338组：132 385 407组：132 475 493组：132 720 732组：133 156 205组：133 456 475组：135 180 225组：135 324 351组：135 352 377组：135 600 615组：136 255 289组：136 273 305组：136 570 586组：138 184 230组：138 520 538组：140 147 203组：140 171 221组：140 225 265组：140 336

19、 364组：140 480 500组：140 693 707组：140 975 985组：141 188 235组：143 780 793组：143 924 935组：144 165 219组：144 192 240组：144 270 306组：144 308 340组：144 420 444组：144 567 585组：144 640 656组：144 858 870组：145 348 377组：145 408 433组：147 196 245组：147 504 525组：150 200 250组：150 360 390组：150 616 634组：152 285 323组：152 345

20、377组：152 714 730组：153 204 255组：153 420 447组：153 680 697组：154 528 550组：154 840 854第 339第 340第 341第 342第 343第 344第 345第 346第 347第 348第 349第 350第 351第 352第 353第 354第 355第 356第 357第 358第 359第 360第 361第 362第 363第 364第 365第 366第 367第 368第 369第 370第 371第 372第 373第 374第 375第 376第 377第 378第 379第 380第 381第 38

21、2第 383第 384第 385组：155 372 403组：155 468 493组：156 208 260组：156 320 356组：156 455 481组：156 495 519组：156 667 685组：159 212 265组：160 168 232组：160 231 281组：160 300 340组：160 384 416组：160 630 650组：160 792 808组：161 240 289组：161 552 575组：162 216 270组：162 720 738组：165 220 275组：165 280 325组：165 396 429组：165 532 5

22、57组：165 900 915组：168 224 280组：168 270 318组：168 315 357组：168 374 410组：168 425 457组：168 490 518组：168 576 600组：168 775 793组：168 874 890组：170 264 314组：170 408 442组：171 228 285组：171 528 555组：171 760 779组：174 232 290组：174 832 850组：175 288 337组：175 420 455组：175 600 625组：176 210 274组：176 330 374组：176 468 50

23、0组：176 693 715组：176 960 976第 386第 387第 388第 389第 390第 391第 392第 393第 394第 395第 396第 397第 398第 399第 400第 401第 402第 403第 404第 405第 406第 407第 408第 409第 410第 411第 412第 413第 414第 415第 416第 417第 418第 419第 420第 421第 422第 423第 424第 425第 426第 427第 428第 429第 430第 431第 432组：177 236 295组：180 189 261组：180 240 30

24、0组：180 273 327组：180 299 349组：180 385 425组：180 432 468组：180 525 555组：180 663 687组：180 800 820组：180 891 909组：182 624 650组：183 244 305组：184 345 391组：184 513 545组：185 444 481组：185 672 697组：186 248 310组：186 952 970组：189 252 315组：189 340 389组：189 648 675组：189 840 861组：190 336 386组：190 456 494组：192 220 292

25、组：192 256 320组：192 360 408组：192 494 530组：192 560 592组：192 756 780组：195 216 291组：195 260 325组：195 400 445组：195 468 507组：195 748 773组：196 315 371组：196 672 700组：198 264 330组：198 336 390组：198 880 902组：200 210 290组：200 375 425组：200 480 520组：200 609 641组：201 268 335组：203 396 445第 433第 434第 435第 436第 437第

26、438第 439第 440第 441第 442第 443第 444第 445第 446第 447第 448第 449第 450第 451第 452第 453第 454第 455第 456第 457第 458第 459第 460第 461第 462第 463第 464第 465第 466第 467第 468第 469第 470第 471第 472第 473第 474第 475第 476第 477第 478第 479组：203 696 725组：204 253 325组：204 272 340组：204 560 596组：204 595 629组：204 855 879组：205 492 533组

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28、217 744 775组：219 292 365组：220 231 319组：220 459 509组：220 528 572组：220 585 625组：222 296 370组：224 360 424组：224 420 476组：224 768 800组：224 882 910组：225 272 353组：225 300 375组：225 540 585组：225 924 951组：228 304 380组：228 325 397第 480第 481第 482第 483第 484第 485第 486第 487第 488第 489第 490第 491第 492第 493第 494第 495第

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