多元微分与重积分

1、多兀微分与二重积分.二元微分学概念1. 极限，连续，单变量连续，偏导，全微分，偏导连续(必要条件与充分条件), f 二 f(X0x| y0y), . ：xf 二 f(X0 |x, yc),| ：yf 二 f (X0, % ； y) Ilim,.：ffx =lim xffrlimlx二 yfx 刃 fyLJLJfim-2|)2"(凶+(U)(判别可微性)(°,。)点处的偏导数与全微分的极限定义fx(0,0riimf(x，0) f(0,0)xt,fy(0,0riimf(0,y) f(0,0)2. 特例:f(x,y)(0,°)点处可导不连续;f(x,y)xyx2 y20

2、-(0,0)(0,0)点处连续可导不可微；二.偏导数与全微分的计算1.显函数一，二阶偏导：Z二f(x, y)(3)含变限积分注:(1) Xy型;(2) Zx (x0,y0);2.复合函数的一,二阶偏导(重点):Z = fu( x, yV, (x, y)3.熟练掌握记号fl，f2，fl1,隐函数(由方程或方程组确定22的准确使用)：(i)形式：*Fx ,yz )=°；F(x, y,z) =0G(x,y,z)=0(存在定理)微分法（熟练掌握一阶微分的形式不变性）：Fxdx Fydy F/z = °（要求：二阶导）注：（X0，y°）与z的及时代入（4）会变换方程.三.二

3、元极值（定义?）;1. 二元极值（显式或隐式）：（1）必要条件（驻点）;（2）充分条件（判别）2. 条件极值（拉格朗日乘数法）（注：应用）目标函数与约束条件：z = fX ,）y二（x,）y =°,（或：多条件）求解步骤：L（x,y '二f（x，）y （x，）y ,求驻点即可3. 有界闭域上最值（重点）. zf= （x,yM：D=（x, y）| （x, y）乞 0（2）实例：距离问题四二重积分计算：1概念与性质（“积”前工作）：.d 二（1） D ,（2）对称性（熟练掌握）：* D域轴对称；*奇偶对称；*字母轮换对称；*重心坐标；（3）“分块”积分:*D =DA.D2;* f

4、 （x, y）分片定义;* f （x, y）奇偶2计算（化二次积分）：（1）直角坐标与极坐标选择（转换）：以“ D ”为主；（2）交换积分次序（熟练掌握）.3.极坐标使用（转换）:f(x2 y2)附：D:(xa )2 (yb )2 mR2；双纽线(x2 y2) =aX( 2-y2)2 2D:笃爲叮a2 b2D :|x| +|y| <14. 特例：（1）单变量:f（x）或f（y）! （kx k2y）dxdy利用重心求积分：要求：题型D,且已知D的面积Sd与重心（X，y）5. 无界域上的反常二重积分（数三）f（M）do=, D; J L;丨行五：一类积分的应用（门）:JJdg Sd1. “尺

5、寸”：D;（2）曲面面积（除柱体侧面）;2. 质量，重心（形心），转动惯量；3. 为三重积分，格林公式，曲面投影作准备.第六讲：无穷级数（数一，三）.级数概念1定义:(1)an,Sn二印a2 4 C a*； (3) nm：SnCO (如 2 (n 1)!)注:河* J、丄 n（或 a ）;（3） “伸缩”级数:（an1 一可）收敛=an收敛.lim a* =02性质：（1）收敛的必要条件：n八加括号后发散，则原级数必发散（交错级数的讨论）;r S= Sn S正项级数:（1）定义：an 一°(2)特征:Sn1lnk n' n标准级数:(1) n ,(2) n'审敛方法:

6、(注：2ab _a2 b2lnbIna,a 二b )正项级数1收敛：=SM （有界）1n Ink nk?n _P（1）比较法（原理）： n （估计）,如 0nf(x)dxP(n)Q(n)（2）比值与根值limUll*n i Unlim n Un* n )1（应用：幕级数收敛半径计算）交错级数（含一般项）:、(-1)n1an(an 0)lim加n注:若.an= Pa1寸“审”前考察：（1）an 0?an 0?;绝对（条件）收敛？、(-1)n11Z(-1)n1jp、(-1)n4标准级数:（1）l ;5(2)l ;5in n来布尼兹审敛法（收敛?）(1)前提an发散；（2）条件:an LI,an &

7、#39; 0 ;5（3）结论:' （"G条件收敛补充方法：（1）加括号后发散,则原级数必发散; En ' S, an> 0=时一* S二 SnT S.，则Un发散注意事项：对比' %; '1）an；、9n ； X 9n之间的敛散关系 幕级数：常见形式：瓦 9nXn瓦 K（XXo）1瓦 K（X Xof1.2.3.1.2.3.4.5.四.1.2.阿贝尔定理(1)结论:X=x 敛=RX -X。X = x 散匚X -X。(2)注:当*n R = x xx = x条件收敛时3收敛半径，区间，收敛域(求和前的准备)n a n nnanX ,X 7 a Xnn

8、 与J anX同收敛半径' 9nX与、an(xXo)之间的转换4. 幕级数展开法：(1)前提：熟记公式(双向，标明敛域)ex =1 x 丄x2 丄 x30 H=R2!3!-(ex e) = V x2 丄x404 4 R22!4!-(ex-e»)二 x丄 x3 x5,4 ¥R23!5!1 1遡心-疋24/ U*Rsin x=xx3x5-* ,( * R3!5!11 -x=1 X x2 IIX (1 ,1)X214 (1,1)1 1In(1 x)二 xx2x3 - 0,X (-1,1In(1 -x)二-x -x2 -x3 - h X *-1,1) 2311arctanx

9、=xx3x5 - *,*-1,11ax2 bx c35考察导函数：Xg(x)U f'(x)= f(X jg(Xdx f(0)(4)考察原函数：Xg(x) J f(x)dx= f(x)二 g'(x)分解：f(x二g(xh(X (注:中心移动)(特别:5. 幕级数求和法(注:*先求收敛域，*变量替换):(1)Sx)八、，S'(x)斗| |,(注意首项变化) s(x)=(')',sx ) = "sx )"的微分方程应用:、anXn =S(x)三 an =S(1)6. 方程的幕级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利：A(1 P)"；现值：A(1 P)1.2.傅里叶级数(数一)：(T 二2二)傅氏级数(三角级数)：a。 S(x TCO二 an cosnx bn si n nxn=JDirichlet充分条件(收敛定理)：(1)由 f(x)= S(x)(和函数)1Sx)匕f(x-) f(x ) 23.系数公式：1 二ao 二一_.f (x)dx,n lan1f (x) cosnxdx兀5'丿，n1 二f (x)si nnxdx兀S1,2,3,