因式分解归纳总结

1、因式分解知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积地形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地地位和作用，在其它学科中也有广泛应用 ，学习本章知识时，应注意以下几点1. 因式分解地对象是多项式；2. 因式分解地结果一定是整式乘积地形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中地字母可以表示单项式 ，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幕地形式；6. 题目中没有指定数地范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解地一般步骤是：(1) 通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”地步骤.即首先看有无公因式可提，其次看能否 直接利用乘法

2、公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组地目地是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；(2) 若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法；一、提公因式法 概念：公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地公因式 提公因式法：一般地，如果多项式地各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积地形式，这种分解因式地方法叫做提公因式法.女口 am+ bm+ cm = m (a+b+c) 具体方法：(1) 若各项系数是整系数，取系数地最大公约数；(2) 取相同地字母，字母地指数取较低地；(3) 取相同地多项式，多项式地

3、指数取较低地.(4) 所有这些因式地乘积即为公因式.二、运用公式法. 平方差公式：a2 b2= (a+ b)(a b) 完全平方公式：a2± 2ab+ b2 = (a± b)2注意：能运用完全平方公式分解因式地多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)地平方和地形式，另一项是这两个数(或式)地积地2倍.(运用完全平方公式也叫配方法)立方和公式：a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2).立方差公式：a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2).完全立方公式:a3± 3a2b+ 3ab2± b3 = (a± b)3三、十字相乘法：利用

4、十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式地方法叫做十字相乘法2.x分解为x x，常数项2分解2 1把2例4、在多项式x 3x 2分解时，也可以借助画十字交叉线来分解 它们用交叉线来表示：所以 X2 3x 2 = (x 1)(x2)2 . ” 同样：x px q=x2 (a b)x a(x a)(x b)可以用交叉线来 表示：其中 q二ab，p = a b四、通过基本思路达到分解多项式地目地1. 用分组分解法分解因式.22丄(1) 定义：分组分解法，适用于四项以上地多项式，例如a -b ，a-b没有公因式，又不能直接利用分式法 分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组.再提公因

5、式，即可达到分解因式地目地例如：a2 _b2 +a _b = (a2 _b2)+(a_b) =(a_b)(a +b) +(ab) =(ab)(a+b+1),这种利用分组来分解因式地方法叫分组分解法(2) 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解.(3) 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可例：分解因式x5 x4 ：x3 x2 X -1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xx 4十3和xx十1分别看成一组，此时六项 式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 X5 X4 , X3 X2 , X

6、_1分别看成一组，此时地六项式 变成三项式，提取公因式后再进行分解解一：原式=解二：原式=2. 通过变形达到分解地目地例1.分解因式x3 3X2 一4解一：将3x2拆成2x2 - x2，则有原式=x3亠2x2亠(x2 - 4)= x2(x 2) (x 2)(x -2)=(x 2)(X2 x -2)2=(x -1)(x2)2解二：将常数-4拆成1 3,则有原式=x3 -1(3x2 -3)2=(x -1)(X2 x 1) (x -1)(3x3)=(x - 1)(x2 4x 4)=(x -1)(x 2)2、因式分解(简单)1、m2(p q) p+ q2、a(ab+ bc + ac) abc3、a (

7、b c) + b (c a) + c (a b)4、(x22x)2 + 2x(x 2)+15、(x +1)2 9(x 1)22 26、 ab ac + 4ac 4a27、 x + 4x + 328、x +18x 1449、x + 2x 82 210、5m 5n m + 2mn n2 2 211、 m a +4ab 4b3. 212、a ab + a b2 2 213、a b + 2ac+ c4222216、x y -6x y 9y2 214、x y x yn 4. 2n 117、4a b -16a15、2x3 -8x2 2 2 2 2、218、4b c(b c -a )19、(x _4)(x

8、2)-72420、9m -25n21、8a-4a -422、(x y)4 -(x -y)42222523、ab(c d ) cd (a b )24, x - x2 2 2 22,5、3a x -15a x -42 a326226、 2a 2ab 8b8a27、3x - 3x、因式分解(难)1、x2 4ax + 8ab 4b22、4a2b2(a2+ b2 c2)2423、 m +18m 1753 c4、 x 2x 8x425、 m + m +12 26、x +4xy+ 4y 2x 4y357、(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 488、x2 y2-x2y2-4xy-142,小9、 x -1

9、0x92224410、a -4ab 3b 2bc-c11、x 4y12、(x - y)2-4(x-y-1)13、(x +1)2 9(x 1)2三、证明(求值):14、11、已知 2x - y , xy = 2,求 2x4 y3 - x3 y4 地值.32、已知 a b = 2,求(a2 -b2)2 -8(a2 b2)地值3、已知a (a 1) (a2 b) = 1,求a2 b2-ab地值.33224、已知 a+ b=0,求 a 2b + a b 2ab 地值.5、已知 a=k+ 3,b=2k + 2,c=3k 1求 a2+ b2 + c2+ 2ab 2bc 2ac 地值2 26、若x、y互为相

10、反数，且(x 2) -(y 1)= 4,求x、y地值7、若 x + m)+ n=(x 3)(x + 4),求(m+ n)地值.8、当a为何值时，多项式x2 + 7xy + ay2 5x + 43y 24可以分解为两个一次因式地乘积.9、若x,y为任意有理数，比较6xy与x2+ 9y2地大小.四、说明:1、 (1 )对于任意自然数 n,(n 7)2 _(n5)2都能被动24整除.(2)设n为整数,用因式分解说明(2n 1)2 -25能被4整除.2、 两个连续奇数地积加上其中较大地数，所得地数就是夹在这两个连续奇数之间地偶数与较大奇数地积3、 求证：四个连续自然数地积再加上1, 一定是一个完全平方

11、数.4、 两个连续偶数地平方差是4地倍数.五、在证明题中地应用例：求证：多项式(x2 -4)(x2 -1021)100地值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数，变形成完全平方数.证明：六、因式分解中地转化思想例：分解因式：(a - 2b，c)3 - (a - b)3 - (b - c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与a+2b+c地关系，努力寻找一种代换地方法说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要地.例 1.在 ABC 中，三边 a，b，c 满足 a2 - 16b2 - c2 6

12、ab 10bc =0求证：a c = 2b说明：此题是代数、几何地综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分.2 2 21、已知a, b, c 为三角形地三边，且满足a b c -ab-bc-acO,试说明该三角形是等边三角形2、 已知：a、b、c为三角形地三边，比较a2 +b2 -c2和4a2b2地大小.1 Q 1例 2.已知：x+=2，则 x3+r=xx31. 若x为任意整数，求证：(7 - x)(3 - x)(4 - X2)地值不大于100.2. 将a2 (a 1)2 (a2 a)2分解因式，并用分解结果计算62 7422。模拟练习1. 分解因式：(13 x5 -10x4 -8x3 -3x210x