简单振子的振动ppt课件

1、 莫尔斯：整个声学可以说就是振动学莫尔斯：整个声学可以说就是振动学 集中参数系统集中参数系统 ，质点，尺度和波长比，质点，尺度和波长比 简单振子，小振幅，线性理论简单振子，小振幅，线性理论 简单振子是研究复杂系统的基础简单振子是研究复杂系统的基础 二、自由振动二、自由振动 质量 m弹性系数 K : 位移 x 从平衡位置算起顺性系数，力顺： fKx 1mCK振动方程 线性常系数齐次常微分方程圆频率(角频率)惯性 和 弹性 200 xx20Km011122mKfmmCdxxdtmxKx mxfx 定解问题 运动方程 初始条件200 xx0(0)xx0(0)xv线性 1x t 2xt 12x txt

2、01x01v02x02v0102vv0102xx200 xx0(0)xx0(0)xv 22000(0)0 xxx 2220002nnnnnd xdxxdtdt 21120021nnndxvdt 2311000026x txtxt xt x 2210000000112!21 !nnnnnnttx txvnntvtxx00000sincos通解 两个任意常数 简谐振动， 位移振幅(常数) ，xa，初相位 振速)cos(sincos000txtBtAxa0000sincosvxAtBt )2cos()sin(000tvtxaa 振速振幅 初相位 固有频率 初始条件 得到特解，两个初始条件 aaxv0

3、200111222mKfmmC0t0 xx 0vv 0 xA 0vB 22BAxaAB1tantvtxx00000sincos能量能量 动能 势能，状态的能量， 状态的函数，位移的函数 总能量 212mvxKxKxdx0221222222001111sin ()cos ()2222aaaamvtKxtmvKx 221cossin2tt弹簧质量的影响 弹簧的长度 l 弹簧的动能 ： 总的能量 三分之一弹簧质量计入总质量2220111226lmxvxm dxvxm vllll 2211232mmvKxE 对时间求导得到 03mmvvKxx2203md xmKxdt2211232mmvKxE弹簧的串

4、联 21111KKK弹簧的并联21KKK例： 摆 sin0mlmg0lg20gl小角度惯性 弹性船舶横摇 重心是G，浮心F 相距l 向右倾斜 F右移d, 浮力力矩dkmg dlmg kl 船舶稳定 200rg kl020g klrkl振动问题的复数解 广泛用于电工分析等领域的简谐波问题 titexpRecostittisincosexpexpxXi tReexpRecosImsinxXi tXtXtexpxXi texpxiXi t 1expxdtXi ti200 xx2200X0expi t 是微分算子和积分算子的特征函数，本征函数 eigenfunctionMxx阻尼运动阻尼运动 衰减 阻

5、尼力 粘滞摩擦 辐射 阻力 阻力系数，力阻 mfR v mR运动方程 衰减因子 20 xxmmvR v 2mRm0exp()vvt001 exp22vxxt201exp42TmvtE2202exp4mfvR vm vt W = 阻尼振动方程 2020 xxx0mmxR xKx通解 复频率0i 220000exp()exp()xXtit0exp()cos()xXttexp()xXi t20mmiRK特征方程 000000exp()cos()sin()vxxtxtt 振幅以负指数衰减 经过时间 幅度衰减到 衰减模量 力学品质因素 )exp(t10.371e0exp)exp(TtQtm21mmR00

6、0mmmmmmKKQRRRT能量221122KxmvE22200001exp( 2)cos ()sin()cos()2axtKtmtt222011exp( 2)exp( 2)22aaKxtmxt 如果质点对外的作用力与位移有关 做功转化为势能 如果质点对外的作用力与速度成正比 做功是正的，消耗能量 在运动方程中位移的一阶导数项与衰减对应。2211222122xxxxkxkxfdxkxdx22112ttmttfvdtR v dt相平面相平面( (空间空间) ) 系统状态由位移和速度确定 用 平面的 点表示 质点运动时满足 是一个椭圆),(xx 221122mvKxE衰减振动的相平面稳态受迫振动稳

7、态受迫振动 振动方程 线性非齐次常微分方程 源项 复振幅F( )exp()f tFi t( )mmxR xKxf texp()mmxR xKxFi t稳态解 语速快，每秒钟10个音，语音频率几百到几千赫兹，每个音有十来个周期 音乐变化更慢 一般的振动是稳态振动的组合exp()xXi t 代入方程得 稳态解 （位移传递函数 特征方程 exp()xXi t 2mFXHFmi RK21mHmi RK通解：对应齐次方程的通解(包括任意常数) +稳态解特解，满足初始条件，瞬态解 0exp()cos()xAtt力阻抗力阻抗 力阻抗力阻抗 力阻，力抗力阻，力抗 ，质量抗，力顺抗，质量抗，力顺抗 exp()e

8、xp()mmFi tFKZRimVi ti X1mHi Z02211aFQvVKQff当 f /f0=1，极大值 Q011FQVKiQff0fff 频率响应 当两频率满足 振速幅度相同 当 幅度下降 倍 这两个频率是 带宽和品质因素成反比 品质因素反映共振性质211ff Qff112QQf2141122, 1Qfff121位移速度加速度222022111FFfAififKKffQQ211FXifKfQ位移速度加速度无阻尼共振 当 假设 这时的方程是 特解 与时间成正比 0mR 0ff 0exp()mxKxFit00exp()2FxtitimmQ 01iFVKffav 能量 振速 外力 外力的功

9、率 exp()cos()aVi tvtexp()exp()Fi tZVi t)sin()cos()(cos222ttXvtRvaa)sin()cos(tXvtRvaa 有功功率 时间平均值 有功功率等于阻尼消耗的功率 无功功率 时间平均为零 )(cos22tRva221aRv)(2sin21)sin()cos(22tXvttXvaa复功率 实部是有功功率平均值的两倍 虚部是无功功率幅度的两倍 *exp()exp()Fi t Vi t*22()aaV RiX VRviXv*2aVVv应用例应用例: :电声器件原理电声器件原理 质量控制： 高频，加速度与频率无关 弹性控制： 低频，位移与频率无关

10、力阻控制： 高频，速度与频率无关 2mFXmi RKmiFVKmiR2mFAiRKm压强式电容传声器 输出电压 选取弹性控制 0XEED1Q动圈式扬声器 质量控制区 声辐射功率与加速度平方成正比 FAm压强式动圈传声器 输出电压 选取力阻控制 低 BlvE Q隔振 00()()0mmxRxxK xx02()()mmi RK XXmi RK当 有隔振效果共振频率时振动扩大消声室 02 ff 主动隔振 和隔振公式雷同 expmxRxKxFi t2expexpmmFi tFi txmi RKi Z0mFR xKx2expmmi RKFi tmi RK拾振 振动测量，固导传声器 与加速度成正比 1mm

11、xR xKxmx 212mmXXmiRK分析力学拉格朗日方程）分析力学拉格朗日方程） 系统的(广义)坐标 x ，(广义)速度 拉格拉日量：动能减去势能 运动方程 x ( , , )TVx x t LEE0ddtxxLL质点振动系统 2211( , , )22x x tmxKxL单摆 221cos2mrmglL2sin0dmrmgldtLL冲激脉冲力作用的受迫振动冲激脉冲力作用的受迫振动 冲激脉冲，冲激相应 0 0( ) 0ttt1 0 ( )0 0SSt dtS -()f ttt dtf t tt1 ()0 tttt dtt -()f ttt dtft 冲量定律 原本静止， 受脉冲 冲量 初速

12、度1 产生位移是格林函数 0t f tmt-( )f t dtm001exp()sin()xtt格林函数 f tmtt00expsin , 0 ttttttg t ttt 格林函数是冲激响应, 满足方程 时间平移不变系统,因果性 不考虑衰减 000sin , 0 ttttgt ttt, , , mmg t tR g t tKg t tmttg tt初始位移、速度和冲激脉冲外力初始位移、速度和冲激脉冲外力 不计衰减自由振动的解 0000 xgt xgt v傅里叶级数傅里叶级数 周期函数可以表示为傅里叶级数周期函数可以表示为傅里叶级数 0122cossinnnnnntntf tabTT 001Ta

13、f t dtT 022cosTnntaf tdtTT 022sinTnntbf tdtTT 指数形式 2expnnintf tcT 012expTnintcf tdtTT例子 mf tttmT12expnintcTT21expmnin ttttmTTT傅里叶变换一般外力激励问题 ( )( )exp()Ff ti t dtf tF11( )( )exp()( )2f tFi t dFF)(F为频谱 /2/22sin2exp()exptti t dti t()exp()tti tF( )1tF11()exp()exp( )22ttittdittd周期函数 周期函数的频谱 ，线谱 脉冲串，梳状谱 2

14、2expexp()nnnnintnf tcci t dTT 222( )expnintnFTTT 12expnintcTT mf tttmT平移 f tif t FF求导()exp( )f tti tf tFF调制 expf titFF 12121( )( )2ft ftFFF 11212( )( )FFftftF调制和卷积高斯信号及其频谱受一般外力作用的受迫振动受一般外力作用的受迫振动两边作傅里叶变换dttitfF)exp()()(dtiFtf)exp()(21)(dttitxX)exp()()(dtiXtx)exp()(21)( )mmxR xKxf t 2mmi RK XF XHF 21

15、mHmi RK 2201Hm不计衰减传递函数 2exp1( )2mf tittx tdt dmi RK 1( )x tHf tFF1xHf FF例: 方波激励 tittiitiRIIRexpexpexp)exp(复频率 ，虚部对应衰减 应用留数定理求瞬态解 220exp()1( )22Fi tx tdmi0i极点 冲击响应方法冲击响应方法 -()f tf ttt dt 1( )x tf tg ttdtm 1( )x tg tf tm()mttg tt频域和时域方法频域和时域方法 XHF 1Hf tFF1gHm = FF g tmHGF 1( )x tg tf tmGmH 1Xg tf tmFF频域和时域方法频域和时域方法 022000sin1exp()ti t dt 022000expsin1exp()2tti t dti 220000