第3章 积分学

1、 第3章 积分学【学习目标】积分学部分介绍的是在理论和实践中都极为重要的另一个数学工具-积分，积分学和上一章我们学习的微分学有着密切的关系，它们被统称为微积分，是高等数学的基本也是核心内容. 通过对积分学的学习，能使我们学会定积分的重要思想方法-微元法，初步了解到积分的意义和计算，为积分应用打下扎实基础.【基本要求】要求通过学习，掌握定积分的概念和性质，理解原函数和不定积分的概念，掌握微积分基本定理和定积分的计算公式，熟练掌握不定积分的直接积分法和凑微分法，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法，掌握广义积分的计算，了解定积分的简单应用. 3.1 定积分的概念 3.1.1 曲边梯形的面积 我们

2、在高中已经学习了较为规则形状的平面图形的面积，如矩形、三角形、梯形、圆的面积等，那么一般的平面图形面积如何计算呢？比如有一块如下形状的湖泊水域面积需要帮着计算一下，你将如何考虑呢？ 图3.1如图3.1所示，我们可以先用水平方向和竖直方向上的几条直线将其分割若干块面积之和，发现其中除了我们熟悉的矩形外，其它都是如下形状的曲边形：图3.2 图3.2中左边的图形叫曲边三角形，右边的图形就是所谓曲边梯形，显然，曲边三角形也只是曲边梯形的特例（即曲边梯形的其中一条平行边退化成一个点）. 事实上，矩形也可以看成是曲边梯形的特例（想想为什么？）. 于是，一般平面图形的面积计算问题就归结为如何计算曲边梯形的面

3、积了.1. 曲边梯形的概念所谓曲边梯形就是由三条直边和一条曲边所围成的平面图形，其中有两条直边相互平行，且与第三条直边（也称曲边梯形的底边）垂直.2. 一个特殊曲边梯形面积的算例例1 求由曲线及轴所围成的曲边三角形的面积.求法：采取“分割”、“近似”、“求和”和“取极限”四个步骤.1) “分割”如图3.3所示，在区间0，1内插入个分点：，将区间0，1等分成个小区间，如果令，则这个小区间分别为：，我们把第i个小区间记为,且还表示相应的小区间的长度，于是有.这样一来，这个长度相等的小区间就都有各自的小曲边梯形与之对应了. 如果将这些小曲边梯形的面积依次记为，那么，所求曲边三角形的面积A就被分割成了

4、个小曲边梯形面积之和了，即. y = x2 图3.32) “近似”当然，这样还是没法求出面积，因为那些小曲边梯形面积的计算问题依然没能解决. 但我们可以考虑去求出它们的近似值：以每个小区间的长度作底，区间的右端点的函数值作高，就可得到个小矩形，如果把它们的面积分别记作，用来近似小曲边梯形的面积，则有：.3) “求和”把个小矩形的面积加起来，当然也就近似等于所求曲边三角形面积，即4) “取极限”上一步骤仅求出了所求曲边三角形面积的近似值，当然两者之间存在误差. 但我们通过观察可以发现，这个误差与等份数的取值有关. 显然，在区间0，1内插入的分点越多，分割就越密，上述的误差也就随之越小. 如果当等

5、份数趋于正无穷大时，所有小区间长度会趋于0，这时，曲边三角形面积就被分割成无数个小矩形面积之和了，也就是说，当时，就精确等于个小矩形面积和的极限，即有：这个算例中的四个步骤体现的就是一种无限求和的思想，也称无限累加或有限和的极限.3.1.2 定积分的定义如果把无限求和的思想，一般地用于定义在上的连续函数时，就是定积分的定义了.定义3.1设函数在区间上连续(如图3.4)，我们在内均匀地插入个分点，如果记，这样就把区间等份成个小区间. 将每个小区间的长度记为，显然所有，又在每个小区间内任取一点，作有限和，如果存在且为，并且与的取法无关，则称函数在上是可积的，并称极限值为在区间上的定积分，记为：其中

6、称为积分符号，称为积分函数，称为积分变量，称为积分表达式，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限. y = f (x)图3.4根据定积分的定义，例1中的面积就可表示为：. 实际上，区间上的定积分的几何意义就是：当时，定积分的数值表示由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积；当时，定积分的数值表示由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形面积的负值；而在一般情况下，在上既有大于零又有小于零时，定积分的数值表示由曲线，直线及轴所围成的若干个曲把边梯形面积的代数和.用定积分的几何意义，很容易得到，其几何解释为：因，它在区间上的定积分就是一个宽为，高为1的矩形面积.注：1. 定积分的本质是无限求和，即有限和的极

7、限，因而定积分的结果是一数值.2. 当积分函数在积分区间上连续时，定积分必定存在. 3. 定积分的结果是一个数值，它仅与积分函数与有关，与积分变量用什么字母无关，即.4. 为了方便定积分的计算，我们规定：.3.1.3 定积分的性质下面介绍定积分几个常用性质，它们在定积分的计算中是很有用的.性质1 （为常数）性质2 以上两个性质可以较容易地由定积分定义推出. 根据这两个性质立即可得：并能推广到如下任意有限个积分函数的情形：例2 计算解：由例1知，得：性质3 （为任意实数）当，为区间内分点时，用定积分的几何意义很容易得到解释. 而当为外分点，比如时，因为此时为的内分点，应有，这时，我们通过移项容易

8、得成立.性质3被称为定积分的区间可加性.例3 求的值，其中解：因为积分函数是一分段函数，根据定积分的区间可加性得性质4 在区间中至少存在一点，有如下关系成立或该性质的几何意义是：当时，定积分所对应的曲边梯形面积必定与某个以为高，区间长为宽的矩形面积相等. 而则被称为函数在区间上的平均值，它的几何解释是曲边梯形的平均高度，实际上它是有限个数的平均值概念的推广，反映的是区间上连续函数所取一切值的平均值. 如后面积分应用中所例举的交流电平均值和有效值就是这一概念的实际应用. 3.2 微积分基本定理 定积分在工程技术中有着广泛的应用,但如果每次都用定积分的定义来计算定积分的值，显然是很麻烦的一件事情.

9、 在十七世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹发现了一种简单的定积分计算方法，只要求出积分函数的原函数在积分上下限处函数值的差即可. 那么什么是原函数呢？原函数又是怎样求出的呢？3.2.1 不定积分的概念1. 原函数和不定积分的定义先看一个例子，我们知道：，显然是的导函数，那么我们就把称为的一个原函数. 很容易想到，的原函数并不唯一，因为，也是的一个原函数，事实上，都是的原函数，且为的一切原函数，其中为任意常数.定义3.2 若，则称是的一个原函数.定义3.3 的一切原函数称为的不定积分，记为，其中称为积分符号，是积分函数，称为积分变量，而被称为积分表达式.如果是的一个原函数，那么例如：，可见

10、，原函数和导函数是两个相对的概念，而原函数和不定积分又有着密切的联系，它们仅相差一个任意常数. 我们一般将求原函数的问题归结为求不定积分的问题. 如果把求不定积分称为积分运算的话，那么易得积分运算与求导、求微分运算是互逆的. 并且有如下关系：， ， 如果仔细观察上面四个式子，我们就会发现，积分运算的结果是可以用求导的方法来检验其正确与否的. 因而大家对求导公式要掌握得非常熟练.例如：2. 不定积分公式和性质根据不定积分的定义以及不定积分与求导运算的互逆关系，那么前面我们学习过的求导公式反过来也就是不定积分公式了.(1)(2)(3)(4)，特别地(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(1

11、2)注意，这12个积分公式中的积分变量如果换成另一个字母，比如也是成立的，例，另外它们在求不定积分运算中经常要用到，因此务必记熟.不定积分作为一种积分运算，它的性质很简单，只有如下两个：(1)(2)（为常数）根据这两个性质，很容易推出：并能推广到一般不定积分的线性性质（也称逐项积分）：我们有了以上积分公式和积分性质，就能求出一些初等函数的不定积分来.例4 求出下列不定积分（1）（2）解：（1）（2）注意，上面两例中对任意常数的处理方法是：依此求出每项积分的一个原函数，再在最后加上一个任意常数即可. 3.2.2 微积分基本定理现在我们已经知道如何求不定积分，也就是如何求出原函数了. 这时，定积分

12、就可基于如下定理进行计算了.定理3.1（微积分基本定理） 设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，则有如下公式： （3-1）定理结论中的公式（3-1）就是著名的牛顿-莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式，它以一个简单的等式表示了定积分与不定积分（积分函数的原函数）之间的密切关系，也就是表示了微分与积分之间的基本关系，因而该定理被人们称为微积分基本定理.牛顿-莱布尼兹公式实际上给出了计算连续函数的定积分的一种简单方法，为了方便，公式也常被简写为如下形式： （3-2）下面我们用公式（3-2）再来计算一下例1中的面积就会觉得非常简便了：.例5 计算下列定积分（1） （2） （3）解：先运用相应的积分公式

13、求出原函数，再利用牛-莱公式计算它在上、下限处函数值的差.（1） （2） （3） 3.3 定积分的计算在上一节里，我们学习了定积分计算的基本公式，已经可以计算出许多简单的定积分了. 但由于积分函数的复杂性，实际上定积分的计算还是较为繁琐的，在这节中我们将介绍一些基本的积分方法.3.3.1 不定积分的积分法由牛顿-莱布尼兹公式可知，定积分的计算关键在于计算积分函数的原函数，即求出积分函数的不定积分. 我们先学习一种求不定积分的方法-直接积分法.1. 不定积分的直接积分法所谓不定积分的直接积分法是指最多对积分函数进行一定的整理变形就直接利用积分的线性性质和积分公式计算不定积分的一种方法.例6 求不

14、定积分解：先把积分函数整理为指数函数，再利用积分公式得：例7 求不定积分解：因积分函数是一个分式，可先将它拆成几个分式之和，在逐项积分.例8 求不定积分解：因积分函数并没有积分公式，但与之有三角函数平方关系的却有积分公式，于是可以将原积分转化为的积分得试用类似方法，求出不定积分例9 求不定积分解：利用三角函数的二倍角公式对积分函数进行整理变形试用类似方法，求出不定积分2. 不定积分的凑微分法对于积分函数是复合函数情形的不定积分，仅用直接积分法是不行的. 例如. 根据积分运算与导数运算互为逆运算的关系，我们从复合函数求导法推出求不定积分的另一种重要而有效的方法-凑微分法.因为，所以是函数的一个原

15、函数，由不定积分的定义知：. 如果记其中，则,于是有 （3-3）公式（3-3）告诉我们，可以对积分表达式作适当变形，将不定积分凑成某一个积分公式的形式，从而套用积分公式得到积分结果，至于过程中的和并不是问题的本质，只需将视为一个整体变量同样可以套用积分公式. 因而公式（3-3）也可改写为如下形式： （3-4）公式（3-4）则反映了这种求解不定积分方法的核心思想，即如何对积分表达式进行变形，凑成，而使之成为某积分公式的形式. 这既是凑微分法名称的由来，又是该积分方法的难点，需通过大量练习才能较好地掌握. 例10 求不定积分解：因为可以凑成，于是我们不妨对积分结果进行求导来检验一下，例11 求不定

16、积分解：因为可以凑成，所以有例12 求不定积分解：因为，所以有从上面几个例子可知，凑微分法为解决复合函数积分提供了一个很好的思路，实际上，这种思路也适合其它简单函数的不定积分. 我们再看看下面几个例子.例13 求不定积分解：同理可得：例14 求不定积分解：同理可得：3.3.2 定积分的积分法上面我们已经学会了两种求不定积分的方法：直接积分法和凑微分法. 在用上述求不定积分的方法求出原函数后，只要运用牛-莱公式就可以计算定积分了. 然而，由于定积分自身的特点，我们还需学习两种定积分的积分法，将定积分先作一定的处理再进行计算可使其简便一些.1. 定积分的换元积分法所谓定积分的换元积分法，就是通过变

17、量换元，将一个较难计算的定积分转化为另一个数值相等的较简单定积分的计算. 其原理如下： （3-5）公式（3-5）被称为定积分的换元公式，其中通过换元转化后的新定积分上、下限由式子确定，通俗地讲即上限对上限，下限对下限，同时转化后的定积分的积分变量也就由原来的代换为新的变量了.换元积分法一般是用于积分函数中含有根式的定积分计算问题，我们的目的是想通过换元去掉根号从而转化为一个简单的定积分计算问题. 根据换元函数是幂函数或三角函数又分为代数换元或三角换元.下面先看一个例子，比较其中两种不同的解法，供大家了解定积分换元积分法的意义和用法.例15 计算解法1：先用不定积分的凑微分法求出原函数，再利用牛

18、-莱公式计算出定积分的值解法2：用定积分的换元法，设代数换元，则，且当时，；当时，. 于是有例16 计算解：设代数换元，则，且当时，；当时，. 于是有例17 计算解：设三角代换，则，且当时，；当时，. 于是有利用定积分换元积分法还可以推出一个对称区间上定积分的重要结论，即至于推导过程，有兴趣的同学不妨一试，这里略去. 有了这个结论，如果遇到奇函数在对称区间上的定积分，其结果即为零. 例如2. 定积分的分部积分法在化简定积分计算时，除了可以用前面介绍的换元法将其转化为另一个较简单的定积分进行计算，还可以用分部积分法实现这种转化.所谓分部积分法就是依照下面一个可由乘法求导法则出发推出的公式来简化定

19、积分计算的一种方法. （3-6）公式（3-6）被称为定积分的分部积分公式. 分部积分法一般用于解决积分函数为幂函数与其它基本初等函数乘积、三角函数与指数函数乘积形式的定积分计算问题. 其关键在于如何凑成一个函数的微分，才能使公式右边的定积分比公式左边的定积分容易求出.例18 计算解：将积分表达式中的凑成，再利用分部积分公式有例19 计算解：将积分表达式中的凑成，再利用分部积分公式有例20 计算解：这里要将积分表达式中的凑成，然后再利用分部积分公式有例21 计算解：直接利用分部积分公式，得 至此，我们已经学习了四种积分方法：求不定积分的直接积分法和凑微分法，求定积分的换元积分法和分部积分法. 在

20、具体求定积分时，如何选择合适的方法，有时还可能需要同时用到多种积分方法才能求解，这都需要一定量的练习逐步去熟练掌握它们. 最后要说明的是，上述定积分计算的基础是牛-莱公式，然而在利用定积分解决实际问题时，人们发现由于有时积分函数可能不能用解析式表达，有时积分函数的原函数很难求出或是原函数不能用初等函数表示，这时候牛-莱公式无法用得上. 怎么办呢？考虑到许多工程问题中实际上只要求具有一定精确度的近似值，人们根据不同的近似方式又找到许多计算定积分的数值解法，比如矩形法、梯形法和抛物线法等，这里就不再赘述了，有兴趣的同学可参看相关的其它书籍. 3.4 广义积分和定积分应用3.3.1 无穷区间上的广义

21、积分在电子电工技术里，经常会遇到形如的积分式子，如后面要讲到的拉氏变换，它与我们前面学习的定积分的不同之处在于积分区间不再是一个有限区间，而是一个与时间有关的无限区间. 事实上，无限区间还有和两种形式，我们把函数在这样一些无穷区间上的积分称为广义积分. 其几何意义是当时，广义积分的值是一“开口曲边梯形”的面积，下面我们先看一个例子.例22 求由曲线、轴和轴所围成的“开口曲边三角形”的面积.o1图3.5解：设所求面积为. 如图3.5所示，先任取实数，那么对应于有限区间上的部分是一曲边梯形，因为，根据定积分的几何意义，其面积为定积分显然该面积是“开口曲边三角形”面积的一部分，且与实数有关，记为.

22、越大，就越接近所求面积. 如果考虑时，那么的极限也就是了，即很自然，我们将记为，这就是无穷区间上的广义积分.类似地，也可以用极限来定义如下一般的广义积分：定义3.4 ，为任意实数其中，若上述极限存在，则称相应的广义积分收敛，否则，称广义积分发散.例23 判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值（1） （2）解：（1）此广义积分发散. （2）例24 设有信号函数，试计算广义积分解： 3.3.2 微元法及积分应用1. 微元法定积分的思想是十七世纪人类最伟大的成果之一，它对于解决那些不规则、非均匀、非恒定的整体量计算问题非常有用，下面我们先将定积分的思想归纳为一种方法-微元法，再介绍用

23、微元法去解决一些应用问题.回忆一下本章例1求面积时所采用的无限累加思想的四个步骤：“分割”、“近似”、“求和”、“取极限”，然后将它们概括简化为如下两个步骤.（1）有限分割并近似得面积微元：将区间任意分成许多个小区间，每个小区间对应的曲边梯形面积用其左端点处函数值为高，区间长度为宽的矩形面积（即微元）来近似替代，即（2）将有限和变为无限累加：先将上式求和得，再取区间长度趋于零的极限，这时将无限多个矩形面积微元从到累加也就成了所求面积了，即有定积分的微元法是一种实用的变量分析方法，它在生活和工程技术领域有着广泛的应用价值，只要所求的整体量具有如下两个特征：一是在区间上的分布是不规则、非均匀、非恒

24、定的；二是具有可加性. 我们就可以用“以直代曲”、“以常代变”等方法找到部分量的近似值也就是微元，最后求其在上的定积分即可.2. 积分应用下面举出一些用定积分微元法求解的简单应用问题，供大家学习和熟悉.例25 求由曲线与所围成的平面图形面积. O1 图3.6解：先画出所求平面图形的草图3.6，并求出两曲线的交点即解方程组，得平面图形在轴上的投影区间即为定积分的积分区间，按微元法“以直代曲”的思想，在区间内任取一个很小区间,其对应的面积可以选用高为，宽为的窄条状矩形面积微元近似，即然后，在上求定积分就可得该平面图形面积例26 设导线在时刻（单位:s）的电流强度为，试用定积分表示在时间间隔s内流过

25、导线横截面的电量(单位：A).解：在时间内任取一很小的时间区间，“以常代变”，用时刻的电流近似为该小时间区间内的恒定电流，由电量与电流关系易得其电量微元为，然后对微元求整个时间区间的定积分就可求出电量(A)例27 在电力需求的电涌期间，假设电能的消耗速率为，试求前2个单位时间内消耗的总电能.解：在时间段内任取一很小区间，将小区间内的电能变化率近似为恒定，可得电能微元，于是总电能为它在上的定积分：例28 在交流电机、电器上常标有功率、电流、电压等数值，如果不加特别说明，通常指的是有功功率及电流、电压的有效值. 所谓有功功率就是功率在一个周期内的平均值，而电流、电压的有效值则是一个周期内均方根电流、电压的平均值. 设电流为，电压为，电阻为，则它们的定积分表达式分别为：，如变压器电流经单项半波整流后为，其副边电流的有效值为例29 在原点有一个带电量为的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力