2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题〔此题总分值42分，每题7分〕1.设，那么〔〕A.24.B.25.C..D..【答】A.由，得，故.所以.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，那么BC＝〔〕A..B..C..D..【答】C.延长CA至D，使AD＝AB，那么，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以.3．用表示不大于的最大整数，那么方程的解的个数为〔〕A.1.B.2.C.3.D.4.【答】C.由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值.当时，，解得；当时，，没有符合条件的解；当时，，没有符合条件的解；2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页〔共8页〕当时，，解得；2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页〔共8页〕当时，，解得.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为〔〕A..B..C..D..【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：〔1〕等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为；〔2〕等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，那么只能都取自第〔1〕类或都取自第〔2〕类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，那么CBE＝〔〕A..B..C..D..【答】D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.又CE⊥BE，所以，故CBE＝.6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是〔〕A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.设，那么，它为完全平方数，不妨设为〔其中为正整数〕，那么.验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页〔共8页〕因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2024.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页〔共8页〕二、填空题〔此题总分值28分，每题7分〕1．是实数，假设是关于的一元二次方程的两个非负实根，那么的最小值是____________.【答】.因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以解得.，当时，取得最小值.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，△ADE、△DBF的面积分别为和，那么四边形DECF的面积为______.【答】.设△ABC的面积为,那么因为△ADE∽△ABC，所以.又因为△BDF∽△BAC，所以.两式相加得，即，解得.所以四边形DECF的面积为.3．如果实数满足条件，，那么______.【答】.因为，所以.由可得，从而，解得.从而，因此，即，整理得，解得〔另一根舍去〕.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页〔共8页〕把代入计算可得，所以.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页〔共8页〕4．是正整数，且满足是整数，那么这样的有序数对共有_____对.【答】7.设〔为正整数〕，那么，故为有理数.令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以.同理可得〔其中为正整数〕，那么.又，所以，所以.〔1〕时，有，即，易求得或〔3,6〕或〔6,3〕.〔2〕时，同理可求得.〔3〕时，同理可求得或〔1,2〕.〔4〕时，同理可求得.因此，这样的有序数对共有7对，分别为〔240,240〕，〔135,540〕，〔540,135〕，〔60,60〕，〔60,15〕，〔15,60〕，〔15,15〕.第二试〔A〕一．〔此题总分值20分〕二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.〔1〕证明：⊙P与轴的另一个交点为定点.〔2〕如果AB恰好为⊙P的直径且，求和的值.解〔1〕易求得点的坐标为，设，，那么，.设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，那么.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页〔共8页〕因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).…………………10分2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页〔共8页〕〔2〕因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，那么C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即.…………………15分又，所以，解得.…………………20分二．〔此题总分值25分〕设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，、分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求.解作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.…………………5分因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以＝.…………………10分连接D、D，那么D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.…………………15分同理，可求得，.…………………20分所以＝.…………………25分三．〔此题总分值25分〕为正数，满足如下两个条件：①②2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页〔共8页〕证明：以为三边长可构成一个直角三角形.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页〔共8页〕证法1将①②两式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分所以或或，即或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………25分证法2结合①式，由②式可得，变形，得③………10分又由①式得，即，代入③式，得，即.…………………15分，…………20分所以或或.结合①式可得或或.因此，以为三边长可构成一个直角三角形.……………25分第二试〔B〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔A〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF∥AB.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页〔共8页〕解因为BN是∠ABC的平分线，所以.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页〔共8页〕又因为CH⊥AB，所以，因此.…………………10分又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四点共圆.…………………15分又，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上.…………………20分同理可证，点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.…………………25分三．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A〕卷第三题相同. 第二试〔C〕一．〔此题总分值20分〕题目和解答与〔A〕卷第一题相同.二．〔此题总分值25分〕题目和解答与〔B〕卷第二题相同.三．〔此题总分值25分〕为正数，满足如下两个条件：①②是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法1将①②两式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页〔共8页〕所以或或，即或或.2024年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页〔共8页〕因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.……………25分解法2结合①式，由②