计算机数学基础(下)数值分析部分辅导(2)

1、 计算机数学基础(下)数值分析部分辅导(2) 中央电大 冯 泰第10章 线性方程组的数值解法一、重点内容1. 高斯顺序消去法解线性方程组AXb,对增广矩阵Ab顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解.要求作初等行变换消元过程中，.注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性.2.高斯列主元消去法在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元，(k=1,2,3,n-1)把第r行作为主方程，做第k次消元.把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解.3. 雅可比迭代法(简单迭代法)解线性方程组AXb的雅可比迭代法公式为 (k=0,1,2,)4. 高斯&

2、#190;¾赛德尔迭代法解线性方程组AXb的高斯¾¾赛德尔迭代法公式为 (i=1,2,n k=0,1,2,)5. 超松弛迭代法 迭代公式任给 6解的收敛性定理【定理1】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0. 【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组XBXf对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式 X(k+1)B(k)X+f收敛的充分必要条件是其中为迭代矩阵B的特征根. 当li为复数时，½li½表示li的模. 【定理6】(迭

3、代法收敛的充分条件)设线性方程组AXb，(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯¾¾赛德尔迭代法收敛；(2) 若A为对称正定矩阵，则高斯¾¾赛德尔迭代法收敛.注：设矩阵A，若则称矩阵A是严格对角占优矩阵.二、实例例1 用顺序消去法解线性方程组解 顺序消元 于是有同解方程组回代得解x3=1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X(1,1,1)T.例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组解 建立迭代格式(k=1,2,3,)第1次迭代, k=0X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T,第2次迭代，k=1X(2)

4、(5,3,3)T第3次迭代，k=2 X(3)(1,1,1)T第4次迭代，k=31. X(4)(1,1,1)T例3 用超松弛迭代法求解线性方程组 取初始向量X(0）(1,1,1,1)T，松弛因子w1.46, 求三次迭代值.解 建立迭代格式第1次迭代，k=0, X(0)=(1,1,1,1)T 第2次迭代，k=1, X(1)=(1,1,1.73,0.8029)T 第3次迭代，k=2, X(2)=(1,1.5329,1.6393,0.8274)T X(3)=(1.3890,1.5055,1.6790,0.8531)注：本题的精确解为(1.2,1.4,1.6,0.8)例4 填空选择题： 1. 用高斯列主

5、元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为 .解 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容.2. 用选主元的方法解线性方程组AXb，是为了( )(A) 提高计算速度 (B) 减少舍入误差 (C) 减少相对误差 (D) 方便计算答案：选择(B)3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k=0,1,2,)答案：解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值.4. 当a ( )时，线性方程组 的迭代解一定收敛.(A) >6 (B) =6 (C) <6 (D) >½

6、6½答案：(D)解答：当½a½>6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛.三、练习题1.用高斯列主元消去法解线性方程组2. 用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67,7.62,9.05)T,求二次迭代值.3. 证明线性方程组的迭代解收敛.4. 用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是 .5. 用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( ) .(A) 3 (B)4 (C) 4 (D)9四、练习题答案 1.X(4，1，2)T 2.(4.666 19,7.618 97,9.074 5

7、2)T3.提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵. 4. 线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0. 5. (C)附录：教材中练习与习题答案练习10.1 (A)1. (2,1,-1)T, 2. (1,2,3)T, 3. (1,-1,2)T,4. (B)1. C 2. 系数矩阵的各阶主子式均不为0. 3. B 4. 矩阵A是严格对角占优矩阵 5. 见教材第10章公式(1.6) 6. 见教材第10章公式(1.8)练习10.2 (A)1.(1,2,-1,3)T, 2. 3. Y=(14,-10,-72)T,X=(1,2,3)T. 4. Y=(2.4493,11.247,85.254)T,X=(1,0,

8、23)T.5. X=(5,4,3,2)T. 6. X=(2,2,1)T.7. Y=(3,0.5,-1)T,X=(2,1,-1)T. (B)1. 初等矩阵 上(下) 2.单位下三角形 上三角形3. A* 4.D 5. 三对角线矩阵6. ，7.C 8. 对称正定矩阵练习10.3(A)1. 2. 精确解(1,2,3) 雅可比迭代法：X(9)=(0.9998, 1.9998, 2.9998)T 高斯¾¾赛德尔迭代法：X(5)=(0.9997, 1.9999, 2.9999)T3. 精确解(-3,3,1) (B)1.X=B0X+f X(k+1)=B0X(k)+f k=0,1,2, 2.¹0 3.B 4.B D5.A 6.D习题101. 顺序消去法X(1.000015,1.00001,1.000006,0.9999858)T 列主元消去法X(1.000000,1.00000,1.00000,1,0000000)T2. X(1.9272,-0.69841,0.90038)T3. Y(3.77,-3.06,4. 66,4.22)T X(-0.329,0.322,2.37,1