武汉大学线性代数-02 第二章ppt课件

1、1第二章 矩阵及其运算21 矩矩 阵阵979634226442224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx97963422644121121112线性方程组与矩阵的对应关系线性方程组与矩阵的对应关系3)2121( 1njmianmij,;, 个数个数由由定义定义列的数表，列的数表，行行排成的排成的nm.列矩阵列矩阵行行称为称为nm.mn 简简称称矩矩阵阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaa4 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 记作记作简记为简记为 ijm nAa nmA 或或其中数其中数ija称为称为m nA 的第的第 i 行第

2、行第 j 列的元素列的元素, nmA 或或的的( i, j ) 元素。元素。5 420134081zyx同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。.),()(, )(BABAnjibabBaABAijijijij相等，记作相等，记作与与则称矩阵则称矩阵若若是同型矩阵，是同型矩阵，与与设矩阵设矩阵21矩阵相等：矩阵相等：823 zyx,6一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵零矩阵零矩阵(Zero Matrix):(Zero Matrix):留意：留意： .0000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的. .元素全为零的矩阵称为零矩阵，

3、元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作零矩阵记作 或或 . .nm m nO O7行矩阵行矩阵(Row Matrix):列矩阵列矩阵(Column Matrix):只需一行的矩阵只需一行的矩阵 ,21naaaA 称为行矩阵称为行矩阵( (或行向量或行向量).)., naaaA21只需一列的矩阵只需一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵( (或列向量或列向量) )8方阵方阵(Square Matrix): 302234163是是 3 阶方阵阶方阵.行数与列数都等于行数与列数都等于n 的矩阵，的矩阵，称为称为 n 阶方阵阶方阵(或或 n 阶矩阵阶矩阵), 记作记作An9对角阵对角阵(Diagonal M

4、atrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。主对角线以外的元素都为零的方阵。nn 2121),(diag10数量矩阵数量矩阵(Scalar Matrix):nn nkkkEk 主对角元素全为非零常数主对角元素全为非零常数 k，其他元素全为零，其他元素全为零的方阵的方阵 。11单位矩阵单位矩阵(Identity Matrix):(Identity Matrix):)(jinnnE 111主对角元素全为主对角元素全为1 1，其他元素都为零的方阵。，其他元素都为零的方阵。记作记作: :EEn 或或 jijiji01 12例例3：11111221221122221122nnnnmmmmnnya xa

5、 xa xya xa xa xyaxaxax 从变量从变量nxxx,21到变量到变量myyy,21的线性变换的线性变换.其中其中ija为常数为常数.称为系数矩阵称为系数矩阵nmijaA )(13线性变换与矩阵之间的对应关系线性变换与矩阵之间的对应关系. . nnxyxyxy,2211 100010001恒等变换恒等变换单位阵单位阵 nnnxyxyxy 222111 n 21142 矩阵的根本运算矩阵的根本运算一、一、 矩阵的加法矩阵的加法 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那么矩阵那么矩阵

6、 A与与B 的和记作的和记作A+B，规定为，规定为nm ijijAaBb(),(),定义定义215留意：只需当两个矩阵是同型矩阵时，留意：只需当两个矩阵是同型矩阵时， 才干进展加法运算才干进展加法运算. 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 16负矩阵：负矩阵：)( BABA mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211 ijija a ),(jiaA 设设称为矩阵称为矩阵 A的负矩阵。的负矩阵。17矩阵加法满足的运算规律矩阵加法满足的运算规律: .1ABBA 交换律：交换律： . 2CBACBA 结合律：结合律：

7、.4OAA 3 AOA18二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAA 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA定义定义3191101013213131303) 1(3031333231333030396320 ;1AA ;2AAA .3BABA 数乘矩阵满足的运算规律：数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来矩阵相加与数乘矩阵运算合起来, ,又称为矩阵的又称为矩阵的线性运算线性运算. .设设 A,B A,B为为m mn n 矩阵，矩阵，l,m l,m 为数为数 AAA11421定义定义4 4 skjkkijss

8、ijijijibabababac12211),;,(njmi2121 并把此乘积记作并把此乘积记作 C = AB C = AB三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 m ms s 矩阵，矩阵， 是是ijAa() ijBb() 一个一个 s sn n 矩阵，那么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 A A与矩阵与矩阵 B BijCc () 的乘积是一个的乘积是一个 m mn n 矩阵矩阵 ，其中，其中221331654321635241321 33 1124563 3 34568101212151823例：例：222263422142 22 1632 8164331200311210142

9、102111241321013212432133322211111111111111111111132132132132125nnnnnnbbbaaa 2121nnnnbababa 2211261. 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律.BAAB留意：留意：11111111AB1111A1111B000011111111BA2222设A 左乘左乘 BB 右乘右乘 A272. 矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律OAACAB,1111A1111B设0000C11111111AB000000001111AC0000CB 但留意：留意：28nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxa

10、xaxay2211222212121212111112(,)myyyy12(,)nxxxx利用矩阵的乘法表例如利用矩阵的乘法表例如3的线性变换的线性变换29 mnmnm mm mn nn na aa aa aa aa aa aa aa aa aA A1 11 12 2222221211 112121111yAx30矩阵乘法满足的运算规律：矩阵乘法满足的运算规律： ; :1BCACAB 结合律结合律 , :2ACABCBA 分配律分配律 ;CABAACB BABAAB 3 ;4AEAAE 31假设假设 A是是 n 阶方阵，阶方阵， 那么那么 为为A的的 次幂，即次幂，即 kAk 个个kkAAAA

11、 ,klklAAA.klklAA方阵的幂：方阵的幂：并且并且, 时时但当但当BAAB .BAABkkk 32方阵的多项式：方阵的多项式：0111)(axaxaxaxkkkk EaAaAaAaAkkkk0111)( 1011A52)(3xxx 10015101121011)(3A 401433例例. 设设332313322212312111bababababababababaA321321332313322212312111bbbaaabababababababababa求求nAnn34321321321321321321bbbaaabbbaaabbbaaa3213211332211)(bbba

12、aabababan35四四. . 矩阵的转置矩阵的转置定义定义: : 把矩阵把矩阵 A A 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 A A 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . . A例例: :,854321A;835241A36转置矩阵满足的运算规律：转置矩阵满足的运算规律：;)()1(TTAA;)()2(TTTBABA;)()3(TTAA .)()4(TTTABAB37例例5 5：知：知,102324171,231102 BAT)(AB求求38解解1： 102324171231102AB,1013173140 .1031314170T AB39解解2 2

13、：TTTABAB 213012131027241.1031314170 40对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵对称阵: 设设 A 为为 n 阶方阵，假设满足阶方阵，假设满足 ，即，即那么那么 A 称为对称阵称为对称阵.njiaai jj i, 2 , 1,AA T304021411A41反对称阵反对称阵: 设设 A 为为 n 阶方阵，假设满足阶方阵，假设满足 ，即，即那么那么 称称 A 为反对称阵为反对称阵.njiaaijj i, 2 , 1,AAT024201410A显然显然, 反对称阵的主对角元都是零。反对称阵的主对角元都是零。42例例 。与反与反对对反

14、反对对阶矩阵，证明阶矩阵，证明是是设设对称矩阵之和称矩阵可表示为对称矩阵是称矩阵是AAAAAnA2,1:TT 注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵31112111110000101031111112143五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：由定义：由 n n 阶方阵阶方阵 A A 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式， 叫做方阵叫做方阵 A A 的行列式，记作的行列式，记作|A|A|或或 det A det A110101321: A例例110101321A则则244运算规律：运算规律： ;1TAA ;2AAn BAAB 3.ABBA 注：虽然注：虽然

15、,ABBA 但但45定义：定义：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 A A 的伴随矩阵的伴随矩阵. .T)(j iA46 110101321 12 11 1 332313322212312111AAAAAAAAA11 42 47jiAAA 故故jiA EA ninjijijAaAaAaAA 2211同理同理EA性质：性质：EAAAAA,jiaA 设设,jibAA记记jninjijijiAaAaAab 2211则则,jiA 483 逆矩阵逆矩阵定义：定义：设

16、设 A是是 n 阶矩阵，假设存在阶矩阵，假设存在 n 阶矩阵阶矩阵 B 使使AB = BA = E那么称那么称 A是是 可逆的，并称可逆的，并称 B 是是 A的逆矩阵，的逆矩阵， 111121,1111BA49CCEABCBCAEBBECAACEBAABACB )()(从而从而，的逆矩阵，则的逆矩阵，则都是都是、设设假设假设 A是可逆矩阵，那么是可逆矩阵，那么 A的逆矩阵是独一的逆矩阵是独一的。的。记记 A的逆矩阵为的逆矩阵为1A50定理定理1:证明：证明：当当 A A可逆时可逆时, , AAA|11 A可逆可逆, 存在存在B, 使得使得 AB = E 于是于是 |A|B| = |E|=1,

17、即即|A| 0 51假设假设|A|A| 0, 0, 那么称那么称 A A为奇特矩阵为奇特矩阵 ( (退化矩阵退化矩阵) ) 假设假设|A| 0, |A| 0, 那么称那么称 A A为非奇特矩阵为非奇特矩阵 ( (非退化非退化矩阵矩阵) ) |A| 0,|A| 0, AAAAEAAAAAAEAAAAA|1)|1()|1(,1并且并且可逆，可逆，于是于是故故由由2022-1-2952推论：推论：ABBABAEABBA 11，都可逆，且都可逆，且和和则则，为同阶方阵，若为同阶方阵，若、设设1111)()(,01 BABAABABAABAABAABEAB可逆，且可逆，且同理，同理，且且可逆可逆即即，故

18、，故，则，则若若证明：证明：53方阵方阵 A 的逆矩阵的求法的逆矩阵的求法: AAA1)1(1利用公式利用公式EABB 使得使得寻找矩阵寻找矩阵,)2(54时，有时，有当当设设0, bcadAdcbaA1111111121 1 acbdbcadAAA111例如例如, ,55 AA|11101013211 21141121121例例56112.3AA 设设求求例例57123因因11213111 1123 故故1121358可逆矩阵的运算规律可逆矩阵的运算规律: :且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,)3(ABBA.)()1(111AAAA 且且也可逆，也可逆，则则可逆，

19、可逆，若若111)(, 0)2( AAAA 且且也可逆，也可逆，则则数数可逆，可逆，若若 1)(AB1 B1 A.)()()4(T11TT AAAA且且也可逆，也可逆，则则可逆，可逆，若若59注：注：111)( BABA11110020002200110011001 )(,CACACACABABACBA但但可逆，可逆，可逆，可逆，不可逆不可逆可逆，但可逆，但，例如：例如：60 为整数为整数 ,AAAAA :, 0 规定规定当当 A,0EA 为正整数为正整数kAAkk,)(1 61,130231,3512,343122321 CBA设设例：例：.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵62解解, 0

20、2343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A,25131 B63CAXB 由由1111 CBAAXBBA.11 CBAXE64.41041012 于是于是11 CBAX 25131302311112532323165; ;4 41 12 23 34 41 15 51 1 X X例：解方程例：解方程66 412341514151415111X得得 41231154.642817 解：解： 4 41 12 23 34 41 15 51 1X X方程两端左乘矩阵方程两端左乘矩阵,41511 412341511X67例：设例：设解方程解方程2AX

21、AX310220004A 解：解：2AXAX22()AXXAAE XA12()XAEA6841031012102202001004510200002 1110310240220002004X 69, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例：例：1 A 11.2AAE 所以所以 A可逆，且可逆，且证：证：70022 EAA又由又由 2340AEAEE 1234AEAEE 11234AEAE 12 EA所以所以 可逆，可逆，2AE 71例：例：bAx1 bAA |1设设

22、Ax = b , A是是 n 阶可逆阵阶可逆阵, T21),(nbbbb nnnnnnnbbbAAAAAAAAAA21212221212111|1 nnnnnnnnnAbAbAbAbAbAbAbAbAbA221122221211212111|1724 矩阵的分块法矩阵的分块法 矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。手段。 详细做法是：将矩阵详细做法是：将矩阵 A 用假设干条纵线和用假设干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为为 A 的一个子块，以子块为元素的矩阵称的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵为分块矩阵

23、.73例：例： A 001a1Aba1100002Ab1103AA1a1A002A10010a3Abb11004A 74,21 AEOA AAaa0100001001bb11010a101a100bb100),(4321 75 有有相同的分块法相同的分块法并采用并采用列数相同列数相同的行数相同的行数相同与与设矩阵设矩阵,1BA则则列数相同列数相同的行数相同的行数相同与与其中其中,ijijBA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,分块矩阵的运算规那么分块矩阵的运算规那么76.11111111 srsrssrrBABABABABA77 那么那么, ,为数为数, ,设设2 21 1

24、1 11111 srsrs sr rA AA AA AA AA A.1111 srsrAAAAA 78 分块成分块成矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那么那么, ,的行数的行数, , , ,的列数分别等于的列数分别等于, , , ,其中其中2 21 12 21 1j jt tj jj jt ti ii ii iB BB BB BA AA AA A79 srsrCCCCAB1111 11221, ;1,.ijijijitt jCA BABA Bis jr其其中中80 ,411 rsAAA设设rA11sATsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则81 即即, ,其余子块都为零矩阵其余子块都为零矩阵, ,上有方的非零子块上有方的非零子