添辅助线构造全等三角形(1)

1、全等三角形综合一、添辅助线构造全等三角形 常见的辅助线有: 如下图,ABC 中,BD=DC ,延长AD 到E ,使DE=AD ,连结CD 或BE 则有结论CDE BDA 或BDE CDA 题中有三角形角平分线的条件时,常作如下辅助线:如图(1,1=2,AB>AC ,则在AB 必有结论ADE ADC.如图(2,若延长AC 到E ,使AE=AB ,连结DE ,必有结论ADE ADB. 如图(3,若作DE AB 于E ,DF AC 于F ,必有结论DE=DF. 例1 已知:如图,AB=DE ,BC=EF ,CD=FA ,A= D 。求证:B= E 。分析:要证B=E ,通常的思路是要证ABC

2、DEF ,但如果连结AC 、DE 就会破坏A=D 的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现:ABF DEC ,于是可证ABF= DEC ,进一步即可证明ABC= DEF证明: 如果直接证明线段或角相等比较困难时,可以将线段、角扩大(或缩小或将线段、角分解为几部分,再分别证明扩大(或缩小的量相等;或证明被分成的几部分对应相等,这是证明线段、角相等的一个常用手段。例2 如图AB AE =,B E =,BC ED =,点F 是CD 的中点,AF CD 吗?试说明理由。分析:分析题目结论假定AF CD ,可转化为AFC AFD =,需证它们所在的两个三角形全等;解:E B A例3:已知:如图,AD B

3、C ,AE 、BE 分别平分DAB 和CBA ,DC 过点E 。求证:AB=AD +BC 分析:从要证明的结论AB=AD+BC 上看,显然是两条线段的和与另外一条线段相等,可以考虑,能否在长的AB 边上截一段等于AD (或BC ,利用角平分线的条件证全等。证明(一:在AB 上截AF=AD ,连结EF 证明(二:延长AE 、BC 交于点F 。 例4:已知:如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD 、CE AB 于E ,且B+D =180。求证:AE=AD+BE分析:从上面例题,可以看出,有时为了证明某两条线段和等于另一条线段,可以考虑“截长补短”的添加辅助线,本题是否仍可考虑这样“截长补短”

4、的方法呢?由于AC 是角平分线,所以在AE 上截AF=AD ,连结FC ,可证出ADC AFC ,问题就可以得到解决。证明(一:在AE 上截取AF=AD ,连结FC 。 证明(二:在线段EA 上截EF=BE ,连结FC (如右图。例5:四边形ABCD 中AC 平分BAD , 且ADC 与B 互补, 求证: CD = CB分析: 图中CD 与CB 虽然位于两个不同的三角形中, 但从图形直观看就不全等, 因此需要构造全等三角形, 而已知中AC 平分BAD 的条件提示我们, 可在角平分线的两旁构造全等三角形, 由于已有了一组等角与公共边, 则只需在AB 上截取AE = AD 即可, 从而构造出ADC

5、 AEC , 得到CD = CE , 下面只需在CBE 中证明CB = CE 。证明: 在AB 上截取AE = AD , 连接EC 例6:如图在ABC 中AD BC 于D , AE 是BAC 的平分线, AB > AC 。求证: (=-EAD C B 12 分析: 要证(=-EAD C B 12, 可想办法构造出(12-C B 然后证明与EAD 相等, 又由已知AB > AC , 则有C > B , 所以可在C 上作出两角之差。证明: 过C 点作CN AE 于N 交AD 于M 交AB 于P 通过例5和例6可以看到可在角平分线两旁构造全等三角形,方法之一如例5采用的截取法,方法

6、之二过角边上一点向角平分钱引垂线交另一边于一点,若已有和角平分线垂直的线段,可延长这条线段和角的一边,这两种情况都可在角平分线两旁构造全等三角形。小结:在几何证明过程中,如果现成的三角形不可以证明,则需要我们选出所需要的三角形,这就需要我们恰到好处的添加辅助线。如例:已知:ABC 中,AD 是BC 边上的中线。 求证:(AD AB AC <+12 分析:求证(AD AB AC <+12,即可变形为2AD AB AC <+,其结构恰好为中线的2倍。小于原三角形的两边之和,如果添加辅助线,造出一个三角形,使其两边恰与AB 、AC 相等,而另一边正好为AD 的2倍,问题就迎刃而解了

7、。证明:延长AD 至E ,使DE=AD ,连结BE 。又如前面的例3、例4,证明某两条线段的和等于另一条线段,往往考虑“截长补短”,有时为了达到某种证明目的,可以考虑“平行移动”即过某点作一直线平行于某已知直线。遇到中线时往往考虑到倍长,达到旋转180,有时遇有角平分线,还可以考虑添加平行线,能得出等腰三角形。当然,目前由于我们学的知识还不够,有些题目不可能一下子就会遇到,但随着学习的深入,添加辅助线在几何证明过程中,经常要遇到,所以从现在起,遇到类似的问题,就要不断的总结,不断的积累。 下面再分析一下下面的例题,以便逐步养成分析问题解决问题的良好的逻辑思维习惯。例:已知:如图,在ABC 中,

8、D 是BC 的中点,E 、F 分别在AC 、AB 边上,EDF=90。求证:BF CE EF +>分析:从要证的结论BF CE EF +>来看,它们没构成一个三角形,不能利用我们学习过的三角形三边的关系加以证明,D 是中点,可考虑延长,又考虑到EDF 是直角,所以可以达到把EF 用EG 代换,而BF 可以用CG 代换,问题可以得到解决。证明:延长FD 到G ,使DG=FD ,连结EG 、CG 。 三、练习1、已知:如图,ABC 中,=B 60,AD 、CE 是ABC 的角平分线,相交于点O 。求证:AE+CD=AC2、已知:如图,CD=AB ,BDA=BAD ,AE 是ABC 的中线。求证:AC=2AE 3、已知ABC 中ACB = Rt ,