初中数学定义、定理、公理、公式证明汇编

1、初中数学定义、定理、公理、公式直线、线段、射线七上P1281.过两点有且只有一条直线.（简：两点决定一条直线）七上pl322.两点之间线段最短七上P1423.同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.七下p44 .过一点有且只有一条直线和已知直线垂直七下p65 .直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.（简：垂线段最短）平行线的判断七下P13L平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.七下P136 .如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：平行于同一直线的两直线平行）七下pl47 .同位角相等，两直线平行.七下pl48 .内错角相等，两直线平行.七

2、下pl59 .同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质七下p201 .两直线平行，同位角相等.2 .两直线平行，内错角相等.3 .两直线平行，同旁内角互补.三角形三边的关系七下p641.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边.三角形角的关系七下p731 .三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.2 .直角三角形的两个锐角互余.已知：RtAABC,ZC=9°0求证：ZA+ZB=90°证明：VZC=90°,ZA+ZB+ZC=18°0/.ZA+ZB=90°七下p753 .三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.4 .

3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.全等三角形的性质、判定八上P31 .全等三角形的对应边、对应角相等.八上p92 .边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.八上P113 .角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.八上P124 .推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.八上P75 .边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等.八上pl46 .斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.角的平分线的性质、判定八上p20性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.八上p21判定

4、：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.等腰三角形的性质八上p501 .等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）.2 .推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.已知：AABB,AB=AC,A>NBAC勺角平分线求证：AD平分BC,ADJ_BC.证明：？?？AB=AC.A>NBAC勺角平分线?'AD平分BGAD_LBC.（三线合一）八上p503 .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.八上p544 .推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.等腰三角形判定八上p521 等腰三角形的判定定理

5、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）八上p542 .三个角都相等的三角形是等边三角形.八上p543 .有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.线段垂直平分线的性质、判定八上p331 .定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.八上p332 .逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3 .线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合.轴对称、中心对称、平移、旋转八上p301 .关于某条直线对称的两个图形是全等形八上P32八上p322 .如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线八

6、上P333 .两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上八上p324 .若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.九上p645 .关于中心对称的两个图形是全等的.关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.九上p646 .若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称.九上p57p627 .平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。八下p65勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.八下P73勾股定理的逆定理如

7、果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b：=c2,那么这个三角形是直角八上p55直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半.八下P95直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半.n边形、四边形的内角和、外角和七下p821 .四边形的内角和等于360°.七下p832 .四边形的外角和等于360°七下p823 .多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）180°.七下p834.推论任意多边的外角和等于360。.平行四边形性质八下p841 .平行四边形的对角相等.八下p842 .平行四边形的对边相等.3 .夹在两条平行线间的平行线段相

8、等.已知：直线ab,线段ABCD.求证：AB=CD.证明：ab,ABCD,?四边形ABD奠平行四边形AAB=CD:b八下p85D4 .平行四边形的对角线互相平分.平行四边形判定八下p831 .两组对边分别平行的四边形是平行四边形.八下P872 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形.八下P873 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形.八下P874 .对角线互相平分的四边形是平行四边形.八下p885 .一组对边平行相等的四边形是平行四边形八下p94矩形性质1 .矩形的四个角都是直角.2 .矩形的对角线相等.矩形判定八下p951 .有一个角是直角的平行四边形是矩形.八下p962 .有三个角是直角

9、的四边形是矩形.八下p963 .对角线相等的平行四边形是矩形.八下P98菱形性质1、菱形的四条边都相等.2.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3、菱形面积二对角线乘积的一半，即s=-ab2证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形，且菱形对角线互相平分设菱形对角线长为x,y则S菱形=4X1/2X(x/2Xy/2)=1/2Xxy所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半八下P99菱形判定1 .有一组邻边相等的平行四边形是菱形2 .四边都相等的四边形是菱形3 .对角线互相垂直的平行四边形是菱形.八下plOO正方形性质1 .正方形的四个角都是直角，四条边都相等.2 .正方形的两条对角

10、线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.正方形判定八下plOO1 .四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形2 .对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.证明：对角线互相平分一平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形一菱形；对角线相等的平行四边形一矩形形；菱形+矩形一正方形八下P107等腰梯形性质1 .等腰梯形在同一底上的两个角相等.2 .等腰梯形的两条对角线相等.等腰梯形判定八下pl081 .同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2 .对角线相等的梯形是等腰梯形.已知：梯形ABCD中，ADBC,AC=BD.求证：梯形ABCD等腰梯形。证明：过D点作DEAC交BC延长线与E点，?A

11、DBC四边形ACE0平行四边形/.AC=DE,ZACB=ZDEB?/BD=AC/.BD=DE/.ZDBC=ZDEB/.ZDBC=ZACB?/AC=BD,BC=CB 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：梯形 ABCB, AD BC EF,其中E是AB 中点。求证：F是CD中点? AD | BC/. ZG=ZDAG,ZD=ZDCG/. AADF 三 AGCF/. AD=CG=a,AF = FG.? .EF是AABG勺中位线连接AC交EF于点G/. EF|BG,EF=-BG2；./ = 1（6； +/?）5AA G=5AABCD= | BGx/?:.S = -Lh2? AD BC

12、EF .,. AEG八AABC? IE是AB中点? AG _1AB- AC" 2CG1?AC2CFCG1同理可证=CDAC2?F是CD中点.经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.(证法参照上题)八下p89三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第边，并且等于它的一半.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半/=g(a+)，S=Lh已知：梯形ABCB,ADBC,EF是梯形的中位线，设AD=aBC=b,EF=l,梯形高为鼠求证：/=gg+)S=Lh证明：连接AF交BC延长线与G点九下p36比例的基本性质如果a:b=c:d<=>ad=be相似三

13、角形判定九下M21 .定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.九下p462 .两角对应相等，两三角形相似.九下p443 .两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似九下P434 .三边对应成比例，两三角形相似九下P475 .如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.已知：RTAABCRTADEF,AC!DF为斜边，AB:DE=ACDF求证：RTAABC-RTADEF?跖是中位线DF=CF证明：由勾月定理得：BC=7AC-AB2径.径对的EF=V2-EF2设AB:DE=ACDF=k/.AB:AC=D

14、E:DF=k(AB:AC)=(DE:DF)=k/.AB=kAC,DE=kDF/.BC=>/AC2-k2AC2=A/bk“ACEF=ADIF-k2DF=y/l-kTDFBC:EF=7bpACy/i-kADF=AC:DF=ABDE/.三边对应成比例/.RTAABC-RTADEF相似三角形性质九下p521 .相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.2 .相似三角形周长的比等于相似比.3 .相似三角形面积的比等于相似比的平方.九下p59-604 .位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。以三角形为例：比为1:k圆九上p791 .圆是到定点的距离等于定长的点的集合

15、九上P902 .圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半的点的集合.3 .圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半的点的集合.九上P794 .同圆或等圆的半径相等.九上P925 .不在同一直线上的三点确定一个圆。垂径定理九上P811.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所两条弧.推论1平分弦(不是直径)的直径垂直于n已知：A45C与£)£下是以O为位似中心的位似图形，位似比为1:k求证：人8%/£>£?的相似比为1:kA45C与是以O为位似中心的位似图形/.BCEF.'.AOBC&OEFOBOCBC理可得出二丝=生上1OEODEtkOCOAA

16、C®一访一而一EACBABCOA一而一而一斤一历一1/.AABC?GEF,AABC与ADEF的相似的两条弧.5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等.以下是等弦推出等弦心距的情况,其他的类似已知：AB,CD为圆0的两条等弦，OE1AB,OF1CD求证：0E=0F证明：？.？区4=COOELAB,OFLCD,AE=-AB,CF=-C22AE=CF在和RtziOCF匚AE=CFOA=OC/.二 RtAOCF(. OE = OF己知：。为圆心，CE是直径，AC=BC求证：AE=BE,CE1AB,AD=BD?:AC=BC弦

17、，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对已知：AB为圆0的一条弦,CE垂直平分AB,垂足为D求证：CE是过点0,AC=BC,AE=BE证明：假设CE不过点0连接0A,0D,0B.OA=OB,AD=BDOD1AB又？CO_LA3过点D有两条直线与AB垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立/.CE是过点0,即CE是圆0的直径根据推论1,可得AC=3C,AE=5£平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并九上p85且平分弦所对的另一条弧/.ZAOC=ZBOC.,r0A二OB?/AOB为等腰三角形，CE平分它的顶角。从“三线合一定理:

18、CE1AB,AD=BD又？ZAOE=180-ZAOC=180-ZBOC=ZBOE.?AE=BE九上p823 .圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.九上p834 .在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.半圆（或直径）所对的圆周角是宜角；90°的圆周角所对的弦是直径.九上P87如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等.如图

19、，三种中，/1为AB的垂直平分线,4为BC的垂直平分线，/1与，2交于点0,连接0A、OB0C,?/1是AB的垂直平分线，？OB=OA乂/2是BC的垂直平分线？加=0C故0A=OB=0C?。在BC的垂直平分线上，即AC的垂直平分线过点0oL已知，I是三角形ABC中NABG口NACB勺角平分线的交点求证：AI平分NC4B,I到三边的距离相等?四边形CDO星矩形，又0E=0D,矩形CDOE1正方形，.'.EC=CD=r由切线长定理可得:BD二BF二a-rAF=AE=b-rAF+BF=ca-r+b-r=c2九上p94直线和圆的位置关系直线L和。相交d<r直线L和。0相切d=r直线L和。

20、0相离d>r证明：作IDLBC,IE1AC,IF1AB?I是三角形NABCF口ZACB勺角平分线的交点:.ID=IF,ID=IE:.IF=IE.?.点I在NC4B勺角平分线上，即AI平分/CABBJD=IF=IE直角三角形三边为a、b、c,c为斜边，则外接圆的半径H=内切圆的半径2a+b-c已知例2:如图，RtAABC,ZC=90,两直角边a,b,斜边为c,它的内切圆。0分别与BC,AC,AB相切于点DE、F(1)求这个三角形外接圆半径R和内切圆的半径r.尸土一.解：做出如图辅助线，几?ZC=90。/.A3为外接圆直径I|I.?直角三角形的外接eJ圆的圆心是斜边的中点?外接圆半径R=3B

21、九上p95切线的判定：经过半径的外端且垂立于这切线九上P96切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切占/、?已知：直线1是圆0切线，A01)为切点，0B11,垂足为B、J求证：直线0B不经过A点王(B)I证明：假设直线OB不过A点?.，直线1是圆0切线，A为切点？/0A1/又？OB11,过点0有两条直线0A和0B与直线1垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立?,?直线OB过A点b1经过切点且垂直于切线的直,线必经过圆心./n.已知：直线1是圆0切线，AJ为切点，AB11,AB与圆O交乂丁于点B求证：直线AB过圆心0证明：假设

22、直线AB不经过圆心O? . ?直线1是圆0切线，A为切点? ? 0A1 /(2)?RtZkABC的内切圆。0分别与BC,AC,AB相切于点DE、F?a+b-c?r=:.OE1AC,OD=BC过点A有两条直线0A和AB与直线1垂直，这v AB = BC=CD = DE = EA求证：五边形ABCDE 是。的内接正五边的切线，观察以相邻切线的交点为顶点的五边与“过一点有且只有一条直线与己知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立?,?直线AB过圆心0九上p97切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.圆和圆的位置关系如果两个圆相切，那么切点一定在连心线

23、上证明：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，两圆组成的图形也是轴对称图形，连心线是它的对称轴，假设切点不在连心线上,则它关于连心线的对称点也不在连心线上，而是两圆的另一个公共点，这跟两圆相切只有一个公共点矛盾，所以切点一定在连心线上九上plOO两圆外离d>R+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r<d<R+r(R>r)两圆内切d=R-r(R>r)两圆内含dVR-r(R>r)正多边形和圆依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形n(n八3):以五边形为例一一已知：圆。中，AB=BC=CD=DE=EAAB=BC=CD=DE=EA,BCE=CDA=3AB

24、ZA=ZB同理=又五边形ABCDE勺顶点者口在圆O上，?五边形ABCD既圆0的内接正五边经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。已五边形为例，经过圆的五等分点作圆是不是正五边形？已知，PQQRRSST分别是经过分点AB、C、DE的。0的切线.求证：五边形PQRS>?0的外切正五边形.证明：“peT?/OA=OB=OE、ZAOB=ZAOE'口、一一JR二MEO,ZABO=卜、0九ZBAO,ZAEO=ZEAOZABO'-_/=ZBAO=ZAEO=ZEAOLR?:PQ、QRRSST分别是经过分点AB、CDE的。的切线./.0A1PT/.Z0A

25、P=Z0AT/.Z0AP-Z0AB=Z0AT-Z0AE即NPAB=NTAEPA=PBTA=TEZPAB=/PBA,ZTAE=ZTEAZPAB=ZPBA=ZTAE=Z.TEAvAB=AE"AB三SEpSA)/.PA=PB=TA=TE,ZP=ZT同理，RC二CQTQB二BP,ES=SD二DRXRC,ZT=ZS=ZR=Zg=ZP:.pa=PB=TA=TE=RC=CQ=QB=ES=SD=DR/.PQ=QR=RS=ST=TP,五边形PQRSTI。0的外切正五边形定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.以五边形为例一一证明：如果正五边形ABCD由外接圆，则A、B、C、DE五

26、点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等.不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE勺顶点AB、C作。O,连结OAOBOCODOE.则OA=OB=OC图 7-1270B=0Cn/l=N2'/ABC=/BCDOABAAODCZ3=Z4jOB = OC J=>BA = CDnOA=QDn点D在00上n正五边形同理点E在0。上nABCDEF一个外接圆。O.既然正五边形有一个外接。O,那么正五边形的五条边也就应是。O的五条等弦.根据弦等、弦心距相等，证明参见p4,可知点。到五边的距离等.以该弦心距为半径作圆，可得该圆与各边都相切，所以同样，正n边形也应有一个内切。O,且两

27、圆同心.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.以五边形为例成十个全等的直角三角形.证明：？正五边形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距OPLAE,OT1AB:.PA=-AE,AT=-AB22,/AE=AB:.PA=AT,OP=OT(弦等推出弦心距等证明参见p4)/.在AOPA和4047中(PA=ATOP=OTOPA三OAT(HL)?.,在尸4和aOP即jOA=OTOP=OPOPA三式)PE(HL):AOPA三AOAT三AOPE同理其他直角三角形也全等，每条边和圆心以及对应半径一共组成5个三角形，每个三角形可以分割成两个直角三角形，所以一共有1

28、0个全等的直角三角形。正三角形面积s=Xia?,a表示边长.4已知，正ABC边A长为aA求证：正三角形面积证明：作AD1BC20C于D,?.?正5c边长a已知：正五边形 ABCDE, OQ, OP, OS, OT, OR,为五边形各边的边心距求证：正五边形的半径和边心距把正五边形分?AB=AC=BC=a1aJBD=-BC=22.t.AD=BD=Ja，-上=V421415/3褥2SarcAD?BC?cicicim2224九上pllO扇形弧长：7=180九上pill扇形面积：s=-"r=-lr36021802圆拄的侧面积s=2m7?圆柱展开图是矩形，长和宽中其中一条是圆柱的高h,另一条是

29、圆柱底面周长27广，所以面积为27所圆拄的表面积s=2r%+2/zr2九上pH3圆锥的侧面积s=-.2r/=7rrl2圆锥的表面积S=7Trl+寨的运算：八上P160aWO时a0=l,八下pl91aP=aD八上142a"'alaAn;(am)I八gmn0的0次累没有意义A±pl51平方差：a"-b"=(a+b)(a-b)八上P154完全平方：a"+2ab+b"=(a+b)"a"-2ab+b"=(a-b)"推广：a2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab证明：a+b

30、y-2ab=a2+lab+-2ah=a2+b,+by-4ab=a2+lab+b?4ab=a2-2ab+-by八上p27一次函数y=kx+b(kWO)八上p30k>0,y随x的增大而增大k<0,y随x的增大而减少八上p23正比例函数产kx(kWO)八上p25k>0,y随x的增大而增大，直线产kx经过(0,0),(1,k),经过第一、三象限k<0,y随x的增大而减少，直线厂kx经过(0,0),(1,k),经过第二、四象限八下P39反比例函数(kWO)X八下p43k>0,双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x的增大而减少.k<0,双曲线在第二、四象限，在每个象限内，随x的增大而增大当九上P36一元二次方程ax?+bx+cR(b°-4ac20)根为-+Jb?-4ac-b-yjb2-4acXj=x,=2a'2a九上p41-b+y/b2-4ac-b-y1b2-4acb1 -la2aa-b+ylb2-4ac-b-ylb?-4accX1?x,=?=2alaa九上p36一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.b：-4ac=0<=>方程有两个相等的实根.b