谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程

1、. . . . I / 39硕士学位论文硕士学位论文谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程. . . . 摘摘 要要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以与对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。本文主要是用 Galerkin-Chebyshev

2、 谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。首先运用 Galerkin-Chebyshev 谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。最后利用Matlab 进行数值模拟，给出数值解的图像以与误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev 谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定. . . . III / 39A Ab bs st tr ra ac ct tThe Schrdinger equation is th

3、e basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrdinger equation which the micro systemcorrespond, we can get the wave function and energy, and thuscalculate the probability distribution of the par

4、ticles, further understand the nature of it. In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual. In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrdinger equation wit

5、hcomplex potential function, and explained a lot of important phenomena. Thus solving the Schrdinger equation has veryimportant significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrdinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectralmethod and the boundary value method.

6、First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrdinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field. Then by using the boundary value method to solve the equatio

7、ns, that the numerical solutions is the solutions of the original problem,and thenanalyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation,and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords:Keywor

8、ds:Schrdinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability. . . . 目 录摘要 IAbstractII第 1 章绪论 11.1 课题研究的背景和意义 11.2 国外研究现状 21.3 本文的主要研究容 2第 2 2 章预备知识 42.1 克罗克积的简介 42.2 Chebyshev 多项式介绍与其性质 52.3 Chebyshev 正交逼近的性质 62.4 投影算子的性质 72.5 本章小结

9、 8第 3 章 Galerkin-Chebyshev 谱方法和边界值法 93.1 用 Galerkin-Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程 93.2 用边界值法求解常微分方程 103.3 本章小结 14第 4 章求解二维薛定谔方程 154.1 区域和边界条件的处理 154.1.1 区域的处理 154.1.2 边界条件的处理 174.2 二维薛定谔方程的求解 204.3 误差分析 214.4 本章小结 26第 5 章数值模拟 27结论 32参考文献 33工业大学学位论文原创性声明与使用授权说明 37致 38. . . . 5 / 39第第 1 1 章章 绪绪 论论1.1 课题研究的背景和意

10、义薛定谔方程是一个偏微分方程，它可以清楚地说明量子在物理系统中随时间如何在变化，它是量子力学的一个基本的假设，也是量子力学的基础方程，由物理学家薛定谔提出而得名1。在经典力学和量子力学当中，人们分别是用牛顿第二定律和薛定谔方程来描述物体的运动的，这两者在物理系统当中具有一样的地位。薛定谔方程式可以描述任何的微观系统，通过求解该微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以与对应的能量，从而进一步来了解该微观系统的性质。薛定谔方程可以分为与时间有关和与时间无关两种类型，其中量子系统的波函数随着时间的演化过程是通过与时间有关的薛定谔方程来描述的，而与时间无关的薛定谔方程则描述的是固定状态的量子

11、系统的物理性质，方程的解即是该量子系统固定状态的波函数。本文考虑的是二维与时间有关的薛定谔方程： (1-1)2222( , , )( , , )( , , )( , ) ( , , )uuuix y tx y tx y tw x y u x y ttxy ( , , ),0,x y ta ba bT初始条件为：( , ,0)( , )u x yx y边界值条件为： (1-2)1234( , , )( , ),( , , )( , ),0( , , )( , ),( , , )( , ),0u x a tx tu x b tx ttu a y ty tu b y ty tt其中是任意的势函数，是

12、波函数，且在定义域连续。( , )w x y1i ( , , )u x y t薛定谔方程是反应微观粒子随着时间变化的非相对论波动函数，它仅适用于速度比较缓慢的非相对论粒子。其中波函数可以很好地描述微观粒子的( , , )u x y t状态，在势函数中微观粒子运动的薛定谔方程即为方程(1-1)。我们可以( , )w x y通过给定的初始条件和边界值条件以与波函数所满足的条件，来求解出波函数，进而计算粒子的分布概率。( , , )u x y t薛定谔方程被广泛地应用于化学和物理等领域中，如量子器件的建模2，光纤传播模型3，光电子器件的设计4，电磁波的传播5，天体系统的量子化6，. . . . 轴近

13、似波动方程的水下声学7，量子动力学计算的应用8,9，化学核外电子的运动状态描述10等。它被应用到原子、核等诸多方面问题中，所得到的结果都与实际很相符。近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程所描述的问题11-14，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。1.2 国外研究现状到目前为止，对薛定谔方程(1-1)的求解已经有了很多种数值方法， 大多都是采用的有限差分法15-17，或者是用三角正交函数系或幂级数函数展开的谱方法18,19。Subasi 给出了具有二阶精度的有限差分方法20，Kalita 等人给出了一个隐式的半离散高阶紧凑方法21，Anton

14、ie 等人给出了一个 Crank-Nicolson 隐格式方法22，Dehghan 给出了不同的有限差分方法包括三个全隐式和两个全显示差分方法以与交替方向隐式法和 Barakat 和 Clark 类型的显示方法23，Dehghan 和Shokri 还给出了使用配置和薄板样条径向基函数的数值方法24，此外 Dehghan和 Mohebbi 还给出了求解方程(1-1)的紧凑有限差分法25，Gao 和 xie 还给出了紧凑的交替方向隐式有限差分法26，该方法在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。Li 等人还给出了多元二次（MQ）和薄板样条（TPS）径向基(3)m 函数的 MPS 方法求解薛定谔

15、方程，该方法类似于有限差分法27。Dehghan 和Taleei 还提出了一种紧凑的分布有限差分方法来求解薛定谔方程28，该方法通过使用四阶精度紧致差分格式，来提高分布有限差分方法的准确性，而且还具有无条件稳定的性质。谱方法的思想起源于傅立叶分析，它是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的方法。求解偏微分方程的三种最基本的方法分别是谱方法，有限差分方法和有限元方法。谱方法和另两种方法相比，具有“无穷阶”收敛的特点，即它的收敛速度会随着真解的光滑程度变高而变快，从而谱方法就能用限制自由度的方式来得到较高的精度29，另两种方法在这一点上是无法比拟的。1.3 本文的主要研究容本文主要是用 Galerki

16、n-Chebyshev 谱方法和边界值法求解二维 Schrdinger方程，运用 Galerkin-Chebyshev 谱方法对空间导数进行近似,离散薛定谔方程(1-1)，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组，然后再用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后再进行误差分析，得到误. . . . 7 / 39差分析结果，最后再通过 Matlab 进行数值模拟，给出数值解的图像以与误差曲面图像。谱方法求解偏微分方程具有高精度的性质，边界值法求解常微分方程同样具有高精度和稳定的特点，这样问题即得到解决。在第一章中我们阐述了薛定谔方程在当前科学研究中的应用，表明求解薛定谔方程具

17、有很深远的意义，还介绍了现阶段求解该方程的主要方法，以与本文即将采用的方法。紧接着在第二章中，我们介绍了本论文所需要的一些预备的基础知识，为后面论文的顺利进行做好准备工作。在第三章当中，我们采用 Galerkin-Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程，以与用边界值法求解常微分方程，并给出求解特殊常微分方程组的求解格式，这两个方法求解微分方程都具有很高的精度和很好的稳定性。第四章中，先对原问题进行区域映射处理，以与对边界条件进行齐次化处理以后，然后运用 Galerkin-Chebyshev 谱方法对二维薛定谔方程进行离散，将其转化成常微分方程组，然后对该微分方程组进行求解，得到数值解，接着对

18、该方法进行误差分析，得到误差估计结果。第五章进行数值模拟，根据前面的容，编程得到问题的数值解，并和相应的精确解进行比较，分析其误差，画出误差曲面图像。 最后是本文的一个总结，以与研究此问题的意义和前景展望。第 2 2 章预备知识2.1 克罗克积的简介定义定义 2.12.130：设是一个行列的矩阵，是一个行列的矩Amnm n(a )ijABpq阵，克罗克积可以表示成：()ijp qBbAB111212122212nnmmmna B a Ba Ba B a Ba BABa B aBa B它是一个的分块矩阵。mpnq克罗克积具有如下的一些性质：. . . . 性质 1：满足结合律与双线性的性质：如果

19、矩阵存在，则 ；BC()ABCABAC如果矩阵存在，则；AB()ABCACBC，其中是常数；()()()kABAkBk ABk.()()ABCABC性质 2：，和是四个矩阵，如果矩阵乘积和存在，那么就有ABCDABCD()()AB CDACBD性质 3：是可逆的当且仅当和是可逆的，其逆矩阵是：ABAB111()ABAB性质 4：.()TTTABAB定义定义 2.22.2：设是一个行列的矩阵，那么把矩阵按列将后一列Amnm n(a )ijAA堆在前一列后面，形成的一个新的列的向量记为，即：mn( )vec A1112121231( )(a ,a ,a ,a ,a,a ,a)Tnnmnvec A

20、定理定理 2.12.1：设是一个行列的矩阵，是一个行列的矩阵，是一个AmmBnnU行列的矩阵，也是一个行列的矩阵，那么有：mnFmn()( )( )TAUBFBA vec Uvec F证明：证明：先将矩阵,写成如下的形式：BUF121212 , ,TnnnBb bbUu uuFfff其中,分别是矩阵,第 列的列向量，ibiuifBUFi1,2,in则有：()( )( )BA vec Uvec F1112111212222212nnnnnnnnAbAbAbufAbAbAbufufAbAbAb,1,1,2,nijjijAb uf in12,nAUb AUbAUbFTAUBF从而原题得证。. . .

21、 . 9 / 392.2 Chebyshev 多项式介绍与其性质定义定义 2.32.3：在区间上的权函数以递归的形式定义的正交多项 1,121( )1xx式称为 Chebyshev 多项式，它可写成：。( )cos( arccos ),0,1,nT xnx nChebyshev 多项式具有如下的性质：性质(1) 31：正交性112210,( ),( )( )( )(1),02,0nmnmmnT x TxT x Txxdxmnmn性质(2) 31：递推关系1101( )2( )( )( )1,( )nnnTxxT xTxT xT xx11010211( )2(1)( )( )1( )0,( )(

22、 ),( )4 ( )nnnnTxnT xTxnT xT xT x T xT x性质(3) 31：是阶多项式，是阶多项式，是阶多项式，( )nT xn( )nT x1n( )nTx2n满足：，其中 101( )2( )nnkkkk noddT xnT xc12201( )()( )nnkkkk nevenTxn nk T xc。2,01,0kkck定理定理 2.22.232：设，则:2( )( )( ),( ),( ) ,( ),( )kkkjkkjjkkjxT xTx axxbxx 2 (1)(2),4 (1),2,4,6,0,.jkjjkjajkjjjkj or kjodd1,2,2,22

23、0,kjkckjbkjor kjotherwise 2.3 Chebyshev 正交逼近的性质我们讨论 Chebyshev 逼近问题，需要借助带权的 Sobolev 空间，下面记以. . . . 为权的阶空间为，它112222(1)(1)xymSobolev( 1,1) ( 1,1)( )mmHH 的积和数定义分别为(k)(k),0( , ),mmku vu vdxdy12,( , )mmuu u记。211220,( , )( , )Luu uu u设区间是一个非空集，且是 Lebesgue 可测的，记的数为：nR( )pL1()() , 1ppLffdxdyp 当时，。p ()supLx I

24、fessf 接下来定义空间，设空间是有界的，且，有pLnR1p ()( ):ppLLff 在空间和上的全体次连续可微的函数所构成的集合分别记为和k( )kC。记，( )kC12(,)NNN 12N1212NNDD DD其中是广义导算子，接下来定义弱导数。iiDx定义定义 2.42.433：设，满足上面的式子，称 是的阶弱导数，记为1,( )locu vLvu，如果vD u0( 1),( )uDdxv dxC 有时又称在弱的意义下。vD u下面定义空间，设区域是有界的，是非负整数，,k pWnRk1p ，有：( )ppL,( ):( ),( ),k pppWffLD fLk ,()k ppWLk

25、fD f其中为空间上面的数。,k pWf,( )k pW在空间上的闭包记为，当时，0( )C,( )k pW,0,k pW2P ,2( )kkWH。,20,0,( )kkWH定理定理 2.32.3（GronwallGronwall 不等式）不等式）34：设和是上的非负的连续函数，( ) t( )g t0, T并且在是可微的，如果存在常数满足，使得对任意的，( ) t0, T0(0, )tT. . . . 11 / 39都有：( )( )( )ttg t或者等价的还有：0( )(0)( )( )ttgd 那么就有：()0( )(0)( ),0, ttttegedtT2.4 投影算子的性质记是一个

26、多项式空间，其最大自由度是，是到的正( )NPNNP2( )L( )NP交投影算子，是到的椭圆投110,( )( )()0HHv v 0NP10,( )H( )NP影算子，则有如下的定义和性质定理：定义定义 2.52.535：空间中从到的正交投影算子为：2( )L10,( )H2NVNP2(, )0,NNP vvV 定义定义 2.62.635: :空间中从到的椭圆投影算子为：2( )L10,( )H( )NP0NP02( (),()0,NwNP uuvvV 定理定理 2.42.436：对任意的非负整数 ，都有下面的不等式：s( )sH2()()ssNLHPcN定理定理 2.52.537：对任意

27、的非负整数 ，都有下面的不等式：s10,( )( )sHH1200()()()ssNNHHLPNPcN2.5 本章小结本章给出了完成这篇论文所需要的一些必备的基础知识，首先介绍了克罗克积的定义以与性质，然后介绍了切比雪夫多项式性质以与一些重要的关系定理，之后介绍了 Chebyshev 正交逼近的性质，其中包括积和数的定义，空间的定义和性质，最后还介绍了投影算子的定义和不等式性质，为论文的进行做好准备工作。. . . . 第第 3 3 章章 G Ga al le er rk ki in n- -C Ch he eb by ys sh he ev v 谱谱方方法法和和边边界界值值法法3.1 用 G

28、alerkin-Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程 考虑用 Galerkin-Chebyshev 谱方法来求解如下的椭圆型方程 (3-1)2222()( , )( , )uuw x y uuf x yxy( , ) 1,1 1,1x yI 边界条件是：( 1, )(1, )0,11uyuyy ( , 1)( ,1)0,11u xu xx 由 Chebyshev 多项式的定义和性质，设，01( ),( ),( )NNSspan T x T xTx，则方程(3-1), ( 1)0NNVuSu2( )( ): ,0,1,2NijVspanxyi jN的 Galerkin-Chebyshev 谱

29、方法是求使得对任给的都满足2NNuV2NvV2222( (), )( ( , ), )(, )( ( , ), )NNNNuuvw x y uvuvf x y vxy其中，。( , )u vuv dxdy112222(1)(1)xy 1,1 1,1 令,取2,0( , )( )( )NNkjkjk jux yuxy( )( ), ,0,1,2,lmvxy l mN则有(, )(, )( ( , )( , ), )NNNuvuvw x y uf x y v(,( )( )(,( )( )( ( , )( , ),( )( )NlmNlmNlmuxyuxyw x y uf x yxy将上式用矩阵表

30、示即可写成()BUAAUBBUBF其中：，和满足定理 2.2 中的条件关系，,0,1,2()kjk jNAa,0,1,2()kjk jNBbkjakjb，且。,0,1,2()kjk jNUu,0,1,2()kjk jNFf( ( , )( , ),( )( )kjNkjfw x y uf x yxy 由定理 2.1 有 (3-2)()( )()( )( )ABBA vec UBB vec Uvec F. . . . 13 / 39对方程(3-2)进行求解，就可以求出其数值解，从而得到方程(3-1)的数值解kju。( , )Nux y3.2 用边界值法求解常微分方程边界值法是最近求解常微分方程数

31、值解的常用方法，简称为 BVMs，它是线性多步法的一个推广，和其他常微分初值问题的数值解法相比较，BVMs 具有高精度和无条件稳定的特点38-41，是一个很好的方法。考虑下面的初值问题 (3-3).0( )( , ( ),(0),0y tf t y tyyt用步线性多步法离散上面的方程即可得到k (3-4)00,0,1,.,kkrrjrrjrrytfjNk 其中，为系数。(),( ,)rrrrryy r t tr t ff ty rr由泰勒展开有：23()()2!3!rjjjjjrtrtyyrt yyy 23(4)()()2!3!rjrjjjjjrtrtfyyrt yyy 从而令：(1)( )

32、0100kkqqrrjrrjjjqjrrLytfC yCtyCt y则有： (3-5)0011011011,2,3,!(1)!krrkkrrrrkkqqqrrrrCCrCrrqqq如果有次的连续微商，那么就可以选取和使得( )y t2pk,jj，即选取使其满足010,pccc10pc,rr. . . . (3-6)01111100110!(1)!krrkkrrrrkkpprrrrrrrpp此时就有1(1)21( )()ppppLctytOt,00kkrrjrrjj krrytfR其中为截断误差，略去，就得到了线性多步法(3-4)，该方法的精度是, j kR, j kR阶的。p求解方程(3-4)

33、需要个初始边界条件和个结尾边界条件，即我们需要k和，初始边界条件可以由方程(3-3)得到。个初011,.,yyy1,.,N kNyy 0y1始边界条件和个结尾边界条件则来自于以下等式k (3-7)( )( )00,1,.,1,kkjjrrrrrrytfj 和 (3-8)( )( )00,1,.,kkjjrN k rrN k rrrytfjNkN 其中系数和的选择，要满足使基于最初与最后的边界条件的方法的截断( ) jr( ) jr误差与基于公式(3-6)的方法具有一样的阶。方程(3-4)(3-8)用矩阵形式表示可以写为( ,)eeeeeeA ytB f ty 其中.1(1),NNNeeeety

34、RA BR. . . . 15 / 39(1)(1)(1)01(1)(1)(1)010100(1)(1)0()()0(1)kkkekN kN kkNNkNNA 用代替矩阵中的，即为矩阵，并且.eAeB0101(,.,) ,(,.,)TTeNeNyyyyffff对进行划分,eeeA Bf0000, , , ,TTeeeeAaA yyyBb Bfff(1)(1)(1)(1)00000000,0,0,0,0TTab将第一列分离出来，可以得到的等价式( ,)eeeeeeA ytB f ty (3-9)0( , )AytBf t yg 其中是一个未知量，且有NyR11000000,( ,)TTNNyyy

35、fffga ytb f ty 在这里我们用四阶 BVMs 近似方程(3-3)，并取，由(3-6)得到3,2k012312301231231230230122714902438632求解该方程组，得到其基础解系，取其中的三组解，一组代入到方程(3-4)，另两组分别代入到(3-7)和(3-8)，即可以得到下面的关系式 (3-10)321211(99)()122jjjjjjtyyyyff其中。01230123199111,0,01212121222 其对应的初始边界条件和结尾边界条件分别为. . . . (3-11)3210101(9917)(3)244tyyyyff其中。0123012317991

36、13,0,02424242444 (3-12)32111(9917)(3)244NNNNNNtyyyyff其中。012301231991731,0,0,2424242444 把上面的三个式子化为等式(3-9)的形式，则其中的分别为00, ,A B a b9/ 249/ 241/ 249/129/121/121/129/129/121/121/129/129/121/121/ 249/ 249/ 2417/ 24A3/ 41/ 21/ 21/ 21/ 23/ 41/ 4B, 0171,0,02412Ta 01 ,0,04Tb 如果我们考虑的是特殊的线性常微分方程组 (3-13).0( )( )(

37、 ), (0),0 xy tB y tg tyyt其中是的矩阵,且xBm m1212( )( ),( ),.,( ) , ( )( ),( ),.,( )TTmmy ty ty tytg tg tg tgt那么我们可以将(3-13)化为矩阵形式如下 (3-14)00000()()()mxmxAItBByt BIgt bB ygay 其中是的单位矩阵，且mIm m00( )gg t112111222212( ),( ),.,( ),( ),( ),.,( ),.,(),(),.,()TmmNNmNyy ty tyty ty tyty ty tyt112111222212( ),( ),.,( )

38、,( ),( ),.,( ),.,(),(),.,()TmmNNmNgg tg tgtg tg tgtg tg tgt如果线性常微分方程组可以化为下面的形式. . . . 17 / 39 (3-15).0( )( )( ), (0),0 xxA y tB y tg tyy t其中是的非奇异矩阵, 那么用四阶 BVM 法可以将方程(3-15)化为xAm m (3-16)00000()()()xxmxxAAtBByt BIgt bB ygaA y 3.3 本章小结本章给出了利用 Galerkin-Chebyshev 谱方法求解椭圆型方程的数值方法格式，利用该方法将偏微分方程进行离散以后得到常微分方

39、程组，再利用常微分方程的解法对其进行求解即可达到将偏微分方程进行求解的目的，谱方法精度很高，稳定性也很好，对于求解偏微分方程是一个非常好的方法。还给出了利用边界值法求解微分方程组的过程，并给出了几种特殊形式的微分方程组的边界值法求解的数值格式，边界值法求解微分方程具有很高的精度，对于求解常微分方程组也是一个很好的方法。第 4 章 求解二维薛定谔方程4.1 区域和边界条件的处理由于 Galerkin-Chebyshev 谱方法只能解决齐次边值条件的问题，故针对本文的二维 Schrdinger 方程问题，需要先进行区域的映射处理，对非齐次的边值问题进行齐次化处理，将其转化成方程的一般形式，再进行求

40、解。4.1.1 区域的处理原问题中，我们在这里对其进行一定的变换处理，使区域 ( , ),x ya ba b变成。 1,11,1 令，12Xxaba12Yyaba11, , ,22XYU X Y tu abaabatu x y t, , ,U X Y tu x y ttt. . . . 11, ,2211, ,2222XYu abaabatU X Y txXxXXYu abaabatbabau x y txx222222221, , , ,()244Xu abay tU X Y tbau x y tbaXxx11, ,2211, ,2222XYu abaabatU X Y tyYyYXYu a

41、baabatbabau x y tyy222222221, , , ,()244Xu abay tU X Y tbau x y tbaYyy于是方程(1-1)就转化为 (4-1)222222, , ,44(, , )11(),() (, , )22U X Y tU X Y tUiX Y ttXYbabaXYw aba aba U X Y t (, , )1,11,10,X Y tT 初始条件为：11(, ,0)(),()22XYU X Yaba aba边界值条件为： 123411(, 1, )(), ),(,1, )(), ),02211( 1, , )(), ),(1, , )(), ),0

42、22XXU Xtaba tU Xtaba ttYYUY taba tUY taba tt对方程(4-1)进行简化，可以将其表示为 (4-2)2222(, , ), , ,(, , )UUUiX Y tX Y tX Y tX Y U X Y ttXY. . . . 19 / 39 (, , )1,11,10,X Y tT 初始条件为：(, ,0),U X YX Y边界值条件为：1234(, 1, )(, ),(,1, )(, ),0( 1, , )( , ),(1, , )( , ),0U XtX tU XtX ttUY tY tUY tY tt其中24ba11,(),()22XYX Yw ab

43、a aba11,(,()22XYX Yaaba112211(, )(), ),(, )(), )22XXX taba tX taba t334411( , )(), ),( , )(), )22YYY taba tY taba t4.1.2 边界条件的处理在本文中对边界条件的处理过程，就是一个对边界条件进行齐次化的过程。由方程(4-2)，我们很容易得到，2211221Xx2222221Xx2233221YY2244221YY，11tt32tt33tt44tt于是令，则有11211, ,(, )(, )(, )2YUX Y tX tX tX t111(, )(, ), 1,0X tX tUXt2

44、21(, )(, ),1,0X tX tUXt331( , )( , )1, ,Y tY tUY t441( , )( , )1, ,Y tY tUY t222211212222(, , )12UX Y tYXXXX. . . . 1121(, , )12UX Y tYtttt3311, ,UY tttt4411, ,UY tttt2222333122221, ,UY tYYYY222244142222!1, ,!UnY tYYYYrnr令，即可得到34321, ,( , )( , )( , )2XUX Y tY tY tY t222234322222(, , )12UX Y tXYYYY34

45、32(, , )12UX Y tXtttt343234314131411(, 1, )( 1, )( 1, )( 1, )211( 1, )( 1, )2211( 1, )( 1, 1, )( 1, )(1, 1, )2211( 1, )( 1, )( 1, )(1, )022XUXttttXXttXXtUttUtXXtttt 同理可得2(,1, )0UXt 从而有112(, )(, ), 1,0X tX tUXt222(, )(, ),1,0X tX tUXt332( , )( , )1, ,0Y tY tUY t442( , )( , )1, ,0Y tY tUY t再令，则有12UUUU

46、. . . . 21 / 3912411414(1, , )(1, , )(1, , )(1, , )(1, , )(1, , )( , )(1, , )(1, , )( , )(1, , )(1, , )( , )0Uy tUy tUy tUy tUy tUy tY tUy tUy tY tUy tUy tY t同理有，( 1, , )0Uy t( ,1, )0U xt ( , 1, )0U xt即1, , 1,0Uy tU xt由可以得到12UUUU12UUUUtttt2222122222UUUUXXXX2222122222UUUUYYYY于是方程(4-2)就转化为下面的方程2222121

47、2122222,UUUUUUUiX YUUUtttXXYY22221222221212,UUUUUiX Y UtXYXYUUX YUUitt即可写成 (4-3)2222, ,UUUiX Y UF X Y ttXY (, , )1,11,10,X Y tT 初始条件为：0(, ,0),U X YUX Y边界值条件为：(, 1, )0,0( 1, , )0,0U XttUY tt其中. . . . 012, ,0, ,0UX YX YUX YUX Y2212121222, ,UUUUF X Y tX YUUiXYtt于是原问题就转化成了标准问题。接下来我们需要去复数域，令：,URiQ12FFiF带

48、入方程(4-3)得到2222122222,RQRQRQiiiiX YRiQFiFttXXYY根据复数的性质，即可以得到 (4-4)2222222122,RQQX Y QFtXYQRRX Y RFtXY (, , )1,11,10,X Y tT 初始条件为：0000(, )Re(, ) ,(, )Im(, )R X YUX YQ X YUX Y边界值条件为：(, 1, )(, 1, )0,0( 1, , )( 1, , )0,0R XtQ XttRY tQY tt4.2 二维薛定谔方程的求解对上面的方程组(4-4)进行移项变换，得到 (4-5)2222222122,QQRX Y QFXYtRRQ

49、X Y RFXYt 令， 2,0NNkjkjk jRRtxy 2,0NNkjkjk jQQtxy. . . . 23 / 39， 12,kjNkjFX Y QFxy 21,kjNkjFX Y RFxy 00,kjkjIRRX Yxyd 00,kjkjIQQX Yxyd 000,1,20,1,20,1,2,kjkjkjkjNkjNkjNRRQQRR 12000,1,20,1,20,1,2,kjkjkjkjNkjNkjNFFFFQQ令，由第三章的方法即可以得到解的弱形式 lmvxy (4-6) 2222222122,NNNNIINNNNIIQQRX Y Qv dFv dXYtRRQX Y Rv d

50、Fv dXYt 00, ,0,0, ,0,0NNIIRX YRX Yv dQX YQX Yv d 将(4-6)用矩阵表示即可写成 (4-7)()()BQAAQBBR BFBRAARBBQ BF，0(0)BRBR0(0)BQBQ其中，dRRdtdQQdt 0,1,2kjkjNBb利用定理 2.1，方程组(4-7)等价于 (4-8)()()()( )()()()()( )()BB vec RABBA vec Qvec FBB vec QABBA vec Rvec F 0()( (0)()BB vec Rvec R0()( (0)()BB vec Qvec Q然后利用第三章的边界值法对上面的常微分方

51、程组进行求解，所得的数值解即为原问题的数值解。4.3 误差分析由定理 2.4 可以得到. . . . ， 2H000ssNLRRCNR 2H000ssNLQQCNQ那么问题(4-4)的弱形式是求使得 2210,0, ;0, ;H,R QLT LLT (4-9)21(),(),IIIIIIRQvdX Y Qv dFv dtQRvdX Y Rv dFv dt Galerkin-Chebyshev 谱方法是求,使 2,VNNNRQ 2V,0,NtT 得 (4-10)2100(),(),.NNNIIINNNIIINNNNRQdX Y QdFdtQRdX Y RdFdtRP RQP Q 令，00PPNN

52、NNR RRRRR00PPNNNNQ QQQQQ,，,0PNNNRR0PNRR0PNNNQQ0PNQQ则有，NnR RNNQ Q定理定理 4.14.1：假设，满足上面的关系，那么对任意的都有RNRQNQ0, ,tT22NNsLLRRQQcNM其中 HH1222()()()()02(0)(0) 2( )( )sssssstttHHHHRQR tQ tdMR tQ t证明：证明：由定理 2.5 可以得到 220H( )PssNLLtR tR tCNR t由定理 2.4 可以得到 22000H0,PssNNLLRRRX YRCNR同理可得. . . . 25 / 39 22220H000HP0,Ps

53、ssNLLsNNLLtQ tQ tCNQ tQQQX YQCNQ接下来估计和，令2NL2NL, ,(),IIA t g vgvdX Y gv d 由方程组(4-9)，(4-10)可以得到2(),(),IIIINNNIIIRQvdX Y Qv dv dF v dtRQvdX Y Q v dv dt 从而有()(),()0NNNIIIRRQQvdX YQQv dv dt 2( , , )( , )(, )(, )0,( )NNNA tvA tvvvvVtt 同理得到2( , , )( , )(, )(, )0,( )NNNA tvA tvvvvVtt 由投影算子的性质，我们可以得到00000020

54、0( , )(, )( , )(, )(, )( , )(),(, )( , )(, )( , )(, )()NNNNNNNNNNNNNNNIIIIP RRA tvvA t P QQvvvtttP RRA t P Q vQvdX Y Q v dvv dttP RA t P Q vvF v dtP RA t P Q vvQvdt0000000,(),(, )(),(, )(, )()(),()(, )(, )(NNNNNNNIIIIIIIIIIRX Y Qv dv dtP RP QvdX Y P Qv dvQvdtRX Y Qv dv dtP RRvvP QQvdX YP QQ v dttP R

55、Rvvtt , )vt. . . . 即0( , )(, )(, )0,( )NNNA tvvvvVtt 同理有0( , )(, )(, )0,( )NNNA tvvvvVtt 分别取，分别带入到上面两个式子中，就有NvNv( ,)(,)(,)0NNNNNA ttt( ,)(,)(,)0NNNNNA ttt由于，且22(,)NNLN22(,)(,)(,)2(,)2(,)NNNNNNNNNNNLtttttt故得到221(,)( ,)2NNNLNA ttt 221(,)( ,)2NNNNLA ttt 从而由 Cauchy-Schwarz 不等式有22222222222212221()(,)(,)2

56、()()NNLLNNLLLLLLLLNNtttNtNttt 得到22221222()2()NLtLLNLtt对上面的式子两边同时积分即得到2222122200()2()tttNtNLLLLdd222222112222220()(0)(0)2()NNttNNtLLLLLLd其中. . . . 27 / 3922222200012()()()(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)sssLLLLNNNNNNNssHLsHHP RRP RRRRP RRRRC NRC NRCNR22222200012()()()(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0

57、)(0)(0)(0)(0)(0)(0)sssNLLLLNNNNNNssHHHLsP QQP QQQQP QQQQC NQC NQCNQ220()( )( )( )sLsttNttHLR tP R tCNR t220()( )( )( )sLLsttNttHQ tP Q tCNQ t从而得到2211222222()()()()0()(0)(0) 2( )( )ssssssNHHtssttHHNLLCNRCNQCNR tCNQ td由于22222221( )( )( )( )2NLNNLNLLtttt所以有222212222( )( )( )( )2NNLLLNNLtttt222212222( )

58、( )( )( )NNLLLNLNtttt即有222212221222()()()()0( )( )2( )( )2(0)(0) 2( )( )ssssNNNssHHtssttNLLHHLLttttCNRCNQCNR tCNQ td从而得到最后的误差分析的结果为. . . . 2222222222221222()()()()H0H()2(0)(0) 2( )( )ssssssNLLLLNNLLLNLLLNNNNssHHtssttHLLsHsRRQQCNRCNQCNR tCNCNRQ tdtCNQ t即有22NNsLLRRQQcNM其中 HH1222()()()()02(0)(0) 2( )(

59、)sssssstttHHHHRQR tQ tdMR tQ t从而得证，得到最优误差估计。4.4 本章小结在本章中，首先是对二维薛定谔方程进行区域映射以与对边界条件进行齐次化处理，使其换化成便于 Galerkin-Chebyshev 谱方法进行求解的标准格式，接着利用 Galerkin-Chebyshev 谱方法离散空间变量得到常微分方程组，再利用边界值法对该方程组进行求解，即可以得到问题的数值解。最后再对本文所给出的方法进行误差分析，得到误差分析结果。第 5 章 数值模拟在这一章中，我们列举了两个实例进行数值模拟，通过 Matlab 求出其数值解，然后和精确解进行比较，来验证该方法的精度和稳定

60、性。对于微分方程(1-1)，数值模拟实例 1 当中，我们考虑的是，0a 1b ，相应的初始条件是：22( , )32tanh ( )2tanh ( )w x yxy( , )cosh( )cosh( )ix yxy此问题的精确解是：. . . . 29 / 39 (5-1)exp( )( , , )cosh( )cosh( )iitu x y txy通过精确解(5-1)式即可很快得到此问题的边界值条件，即为，exp( )(0, , )cosh( )iituy ty22exp( )(1, , )(1)cosh( )eiituy tey，exp( )( ,0, )cosh( )iitu xtx22