总体参数估计2ppt课件

1、第七章第七章 总体参数估计总体参数估计Population Parameter Estimation 第一节第一节 总体均值与方差的点估计总体均值与方差的点估计 Point estimation of the population mean and variance一、点估计和区间估计一、点估计和区间估计 (point estimation and interval estimation) 1.点估计点估计 点估计：当总体参数不清楚时，用一个点估计：当总体参数不清楚时，用一个特定值普通用样本统计量对其进展特定值普通用样本统计量对其进展估计，称为点估计。估计，称为点估计。2区间估计区间估计 区间

2、估计：是指用数轴上的一段间隔表区间估计：是指用数轴上的一段间隔表示未知参数能够落入的范围。示未知参数能够落入的范围。概括地说： 经常需求对总体进展估计的两个数字特征是：总体的均值和方差。假设将总体的均值和方差视为数轴上的两个点，这种估计称为点估计。假设要求估计总体的均值或方差将落在某一段数值区间，这种估计称为区间估计。 二、用样本平均数、方差和规范差估二、用样本平均数、方差和规范差估计总体平均数、方差和规范差计总体平均数、方差和规范差 1. 用样本平均数估计总体平均数 样本平均数是总体均值的良好估计。公式：X2. 用样本方差估计总体方差用样本方差估计总体方差 同理，用样本规范差估计总体规范差2

3、2211)(nXXiSn1)(21nXXiSn3. 一个好的样本统计量估计总体参数的要求一个好的样本统计量估计总体参数的要求无偏性无偏性 是指假设用多个样本的统计量作为总体参数的是指假设用多个样本的统计量作为总体参数的估计值时，有的偏大，有的偏小，而偏向的估计值时，有的偏大，有的偏小，而偏向的平均数为平均数为0，这时，这个统计量就是无偏估计，这时，这个统计量就是无偏估计量。量。 一致性一致性 是指当样本容量无限增大时，估计值应能越来是指当样本容量无限增大时，估计值应能越来越接近它所估计的总体参数。越接近它所估计的总体参数。 即即: 当当N时时, X, S2n-12。n有效性n 是指当总体参数的

4、无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异性小者有效性高，变异大者有效性低。n充分性n 是指一个容量为n的样本统计量，能否充分地反映了全部n个数据所反映总体的信息，这就是充分性。4举例举例 1一项关于赞同提高汽油税的调查一项关于赞同提高汽油税的调查 用计算机随机从一个投赞同票的人数为用计算机随机从一个投赞同票的人数为60%的总体中抽出的总体中抽出10个样本，每个样本容量为个样本，每个样本容量为500个观测值，算出每个样本中赞同提高汽油税的个观测值，算出每个样本中赞同提高汽油税的人的百分比，其结果如下：人的百分比，其结果如下： 58.0 57.8 61.0 59.4 55.8 63.2 59.0 6

5、0.6 57.4 58.6 2二战中德国人制造了多少辆坦克？二战中德国人制造了多少辆坦克？问题： 在第二次世界大战进展过程中，盟军缴获了一些德军的坦克，并记录了他们的消费编号。怎样用这些号码来估计德军坦克的总数呢？ 处理问题的思绪：n设定总体参数和样本统计量n 在这个问题中，总体参数是未知的消费出的坦克总数N，而样本那么是缴获的坦克编号。n对坦克总数的估计n 首先我们可以一定：制造出来的坦克总数一定大于等于记录中的最大编号。 处理方法： 2种点估计方法：1求出被缴获的坦克编号的平均值，并把它作为全部编号的中点。然后将样本均值乘以2就是总数的一个估计值。 估计坦克总数N的公式： N=全部编号的均

6、值2n前提条件：是先要假设缴获的坦克代表了一切坦克的一个随机样本 n缺陷：不能保证均值的2倍一定大于记录中的最大编号，故经常低估真值。2 估计估计N的另一个点估计公式的另一个点估计公式n用观测到的最大编号乘以因子11/n，其中n是被缴获的坦克个数。n公式： n N=11/n最大编号n n 此种方法的前提是我们以为实践数略大于最大编号。例如，缴获了10辆坦克，其中最大编号是50，那么坦克总数的估计值是： N=11/n50=55 第二节第二节 总体平均值的区间估计总体平均值的区间估计Interval estimation of the population mean一、根本概念一、根本概念总体均值

7、的区间估计，置信度，置信区间：总体均值的区间估计，置信度，置信区间：日常用语表达：日常用语表达： 就是估计总体均值能够在什么范围之内。就是估计总体均值能够在什么范围之内。准确的数学言语表达：准确的数学言语表达： 总体均值的区间估计就是确定总体均值将以特定概总体均值的区间估计就是确定总体均值将以特定概率落入其间的数值界限。率落入其间的数值界限。 这个特定概率称为置信度或称显著性程度，用这个特定概率称为置信度或称显著性程度，用表示，这个数值界限称为置信界限，置信界限上下表示，这个数值界限称为置信界限，置信界限上下限之间的区间，称为置信区间。限之间的区间，称为置信区间。二、总体方差二、总体方差2知，

8、对总体平均数的估计知，对总体平均数的估计1计算公式计算公式 假设一个随机变量假设一个随机变量Z服从规范正态分布服从规范正态分布(=0，2=1的正态分布的正态分布), 那么那么 P-1.96Z1.96=0.95 P-2.58Z2.58=0.99对总体参数进展区间估计的方法： 假设一个随机变量X服从均值为，规范差为的正态分布，那么经过变量交换: 令 ： Z=X-/n 又由于： SEx=/n 所以： Z=X-/SEx将Z=X-/SEx表达式代入下式： P-1.96Z1.96=0.95得： P-1.96Z1.96 = P-1.96X-/SEx1.96整理得出求解总体平均值估计的公式： PX-1.96S

9、ExX+1.96SEx=0.952解释解释 在置信区间X-1.96SEx，X+1.96SEx内，正确估计总体均值所在区间的概率为0.95。但是，做这种区间估计不能够保证完全无误，估计错误的概率大约为0.05。3求解步骤求解步骤1计算样本平均数和规范差2计算规范误 a总体方差知查正态分布表 b总体方差未知查t分布表3确定置信区间或显著性程度4根据样本平均数的分布，确定查何种统计表5确定并计算置信区间6解释总体均数的置信区间。 4课堂练习课堂练习例，某弱智儿童学校的学生智力程度低于正常儿童，假设该校学生的智商分数服从正态分布，抽查10名学生的智力程度，测得智商如下: 85 70 90 81 72

10、75 80 82 76 791试估计该校学生智商分数的平均值2假设知道该校学生智商分数的方差为25，试找出该校学生平均智商的置信区间。二、总体方差二、总体方差2未知时，对总体平均数的估计未知时，对总体平均数的估计1求规范误求规范误计算规范误的公式为：计算规范误的公式为： 样本样本n30那么仍用正态分布。那么仍用正态分布。1nSSEX2利用t分布估计总体平均值的置信区间的解题步骤 条件为：总体为正态分布，XN(,2)，当总体方差2未知时，求总体平均值的置信区间步骤：1由样本容量为n的随机变量X的值X1，X2，X3，Xn求出X，S，自在度df=n-1；2求出SEx=S/n-1；3确定显著性程度，查

11、t值分布表，找出临界值；4由于 P t =0.95， 将公式t=X-)/SEx代入上式，得： P X-)/SEx =0.95 整理得： PX-SEx X+SEx=0.95 分别求出： X-Sn-1/ n和X+ Sn-1/ n5求出总体平均值的置信区间： X-SEx ，X+SEx3课堂练习课堂练习例1：对某校学生的智商程度进展抽样测查，共丈量了20名学生，所得智商分数如下：90，92，94，95，97，98，99，101，101，102，103，104，105，105，106，110，115，120，88，85。 问该校学生平均智商分数在什么范围内? 给出平均数和规范差： X=Xi/n=100.

12、5 S2n-1 =(Xi-X) 2/(n-1)=76 第三节第三节 2分布与总体方差的区间估分布与总体方差的区间估计计一、利用2分布估计总体方差2的置信区间 1样本方差知 知：2=n-1S2n-1/2，置信度为0.05 在横轴上设2个临界点1和2，使： P1 2 2=0.95， 将上式代入，得： P1 (n-1)S2n-1 /2 2=0.95 2边同除(n-1) S2n-1得： 1/(n-1) S2n-1 1/2 2/(n-1) S2n-1 得总体方差2的置信区间： (n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 写成： (n-1)S2/2，(n-1)S2/1 其中：1为2/2，2为21-/2 (

13、n-1)S2/2/2，(n-1)S2/21-/2 2样本方差未知样本方差未知由于：n-1S2=Xi-X2 假设样本方差S2未知，那么用下式估计总体方差2的置信区间： Xi-X2/2 2 Xi-X2/1 那么总体方差2的置信区间： Xi-X2/2，Xi-X2/1 其中： 1= 21-/2 ， 2= 2/2二、课堂练习二、课堂练习 例：根据30名被试的视反响时的实验结果，计算出视反响时的方差为900毫秒，试估计当置信度为0.05时，总体方差的置信区间。 第四节第四节 F分布与二总体方差之比的区间估计分布与二总体方差之比的区间估计一、利用一、利用F分布估计二总体方差之比的置信区间公式分布估计二总体方

14、差之比的置信区间公式 由由F分布知：分布知：F=S2n1-1/S2n2-1，服从，服从F分布，且分布，且df1=n1-1，df2=n2-1。 又知样本方差又知样本方差S2是总体方差的无偏估计，其之比是总体方差的无偏估计，其之比S2n1-1/S2n2-1是围绕总体方差之比是围绕总体方差之比12/22上下上下动摇，故二总体方差动摇，故二总体方差12=22 二个样本的总体方差相等的区间估计那么用下式：二个样本的总体方差相等的区间估计那么用下式： 12/22=1 而不用而不用 12-22=0 由于F分布不是对称分布，假设F分布右侧一端的概率为： F=S2n1-1/S2n2-1， 那么另一侧的概率可用：

15、 F=1/F= S2n2-1/S2n1-11122221212/222121212/21211nnnnSSFSSF212=2221212/21212/212111nnnnSSFSSF二、课堂练习二、课堂练习例：8名男女生在某项心思实验中所得丈量结果的方差分别为1.12和4.98。问男女生丈量值的总体方差能否相等。样本统计量估计总体参数小结：1.点估计用样本平均数、方差和规范差估计总体平均数、方差和规范差公式：X22211)(nXXiSn1)(21nXXiSn2. 区间估计1样本平均数对总体平均数的区间估计样本平均数对总体平均数的区间估计A。总体方差。总体方差2知，对总体平均数的估计知，对总体平

16、均数的估计 规范误：规范误： SEx=/n Z值：值： Z=X-/SEx 求解总体平均值估计的公式：求解总体平均值估计的公式： PX-1.96SExX+1.96SEx=0.95B。总体方差。总体方差2未知时，对总体平均数的估计未知时，对总体平均数的估计求规范误公式：求总体平均值的置信区间： X-SEx ，X+SEx其中，查t分布表得出临界值1nSSEX2利用2分布估计总体方差2的置信区间A。样本方差知 得总体方差2的置信区间： (n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 写成： (n-1)S2/2，(n-1)S2/1 其中： 1为2/2，2为21-/2 B。样本方差未知。样本方差未知总体方差总

17、体方差 2的置信区间：的置信区间： Xi-X2/ 2， Xi-X2/ 1 其中：其中： 1= 21-/2 ， 2= 2/23利用利用F分布估计二总体方差之比的置信区间分布估计二总体方差之比的置信区间A。1222B。12=2221212/222121212/21211nnnnSSFSSF21212/21212/212111nnnnSSFSSF 小学生说：我的意思是这个值是11，但误差在2之间。Gudmund R. Iversen说： ZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C

18、1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUi

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25、OdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZ

26、oWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v

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