【2019-2020年度】中考数学黄金知识点系列专题16直角三角形

1、1 / 12 【2019-2020 年度】中考数学黄金知识点系列专题 16 直角三角形 聚焦考点温习理解 一、 直角三角形 1. 定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2. 性质 （1） 直角三角形两锐角互余. （2） 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于 斜边的一半； （3） 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 . 3. 判定 （1） 两个内角互余的三角形是直角三角形. （2） 三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角 形 二、 勾股定理及逆定理 1. 勾股定理： 直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2

2、=c2; 2. 勾股定理的逆定理 2 / 12 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三 角形. 三、直角三角形全等的判定: 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方 法，还有HL定理（斜边、直角边定理）： 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直 角边”或“ HL” 四、互逆命题、互逆定理 1. 互逆命题 如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命 题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题 . 2. 互逆定理 若一个定理的逆命题是正确的， 那么它就是这个定理的

3、逆定理， 称这两个定 理为互逆定理. 名师点睛典例分类 考点典例一、直角三角形的判定 【例1】 （2016湖北鄂州第15题）如图，AB= 6, O是AB的中点，直线I经 过点QZ 1 = 120 P是直线I上一点。当厶APB为直角三角形时，AP= . 【答案】3或3或3. 3 J 【解析】 考点：分类讨论思想. 【举一反三】 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（） 3 / 12 A. 4,5,6 B. 1.5,2 , 2.5 C. 2,3,4 D. 1, , 3 2【答案】B. 【解析】 考点：勾股定理的逆定理. 考点典例二、直角三角形的性质 【例2】（2016湖北随州第13题）如图，在

4、ABC中，/ ACB=90 , M N分 别是AB AC的中点，延长BC至点D,使CD=BD连接DM DN MN若AB=6则 DN= 【答案】3. 【解析】 试题分析：连接CM,根据三角形中位线定理得SH NM=1CB, MN/ BC,又CD=1BD.可得WNHD,又由MN/BC, 2 3 可得四边形是平行四边形，所叹DPC町根据直角三角形的性质得到CM= 1加勺 即可得DN=3 . 1 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质. 【举一反三】 1. （2016贵州铜仁第9题）如图，已知/ AOB=30 , P是/ AOB平分线上一 点，CP/ OB交OA于点C,

5、 PD! OB垂足为点D,且PC=4则PD等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B. 4 / 12 【解析】 试题分析：过点P作PEL 0A于点E,TOP是/ AOB勺平分线，二PE=PD v PC/ OB, / POD$ OPC / PCE=/ POCy OPC2 POCy POD$ AOB=30，二 PE=PC=2 PD=2 故选 B.丄 2 考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形. 考点典例三、直角三角形斜边上的中线 【例3】（2016辽宁葫芦岛第9题）如图，在厶ABC中，点D, E分别是边AB, AC的中点，AFLBC垂足为点F,/ ADE=30 , DF=

6、4则BF的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D . 4、3 3 【答案】D. 【解析】 试題分析：在RTAAEF中，ZAFB=90 ；皿DBDIM,利用直角三角形料边中线性质可得AB=2DF8J再由 - 1 . - AD=DB, AE=EC,可得 BE / BC, ZADE=ZABF30C ,所以 A* 上 AB=4由勾股定理可得 BF4 -故选 D . 考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线. 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上的中线的 性质，解题的关键是据图找出规律. 【举一反三】 （2016四川达州第9题）如图，在厶ABC中, BF平分/ ABC

7、AFL BF于点F, D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=1Q BC=16则线段EF的长为 （ ） 【答案】B. 5 / 12 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】试题分析:已知AF丄BFjABhSD为AB中点， 根抿直角三角形抖边上中线是斜边的一半可得DF AB=AI)=BD=5 士 且ZABFZEFD又因BF平分ZABC,可得ZCBFZDFB即DE；/BC可判定AADEVAAEC?根1S相似三角 形的对应边成比例可求得EE=8,由EF=DE - DF=8S=3.故答素选B 考点：直角三角形斜边上的中线；平行线的判定；相似三角形的判定与性质. 考点典例四、命题 【例

8、4】(2016年福建龙岩第4题)下列命题是假命题的是( ) A 若 |a|=|b| ，贝卩 a=b B. 两直线平行，同位角相等 C. 对顶角相等 D. 若b2- 4ac0,则方程ax2+bx+c=0 (a0)有两个不等的实数根 【答案】A. 【解析】 试题分析：选项A：若a=1, b=-1，则|a|=|b| ，但ab,此命题为假命题； 选项B:两直线平行，同位角相等是真命题；选项 C:对顶角相等是真命题；选 项D:若b2- 4ac0,则方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不等的实数根是真命题. 故选A. 考点：命题与定理. 【点睛】本题考查了命题与定理的有关问题，对于假命题举出反例证明即

9、可. 【举一反三】 【答案】D. 6 / 12 （2016内蒙古包头第10题）已知下列命题：若ab,则a2b2;若a 1，则（a- 1） 0=1;两个全等的三角形的面积相等；四条边相等的四边形 是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 4个B . 3个C . 2个D . 1个 【答案】D. 【解析】 试题分析：当a=0, b=- 1时，a2v b2,所以命题“若ab,则a2b2” 为假命题，其逆命题为若a2b2;,则ab “，此逆命题也是假命题，如a二-2, b=- 1;若a 1,则（a - 1） 0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a- 1） 0=1,则a 1,此逆命题

10、为假命题，因为（a- 1） 0=1,则a 1;两个全等的 三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等， 此逆命题为假命题；四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命 题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题.故答案选 D. 考点：命题与定理. 课时作业能力提升 一、选择题 1. （2016贵州铜仁第6题）下列命题为真命题的是（ ） A. 有公共顶点的两个角是对顶角 B. 多项式因式分解的结果是x3 -4x x（x2 -4） C. a a 二 a2 D. 元二次方程无实数根x2 - x 2 = 0 【解析】 7 / 12 考点：命题与定理. 2. （2016湖南岳

11、阳第7题）下列说法错误的是（ ） A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C. 菱形的对角线相等 D. 平行四边形是中心对称图形 【答案】C. 【解析】 试题井析：根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等，选项A正确；根据直角三 角形斜边上的中线的性际 可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半选项B正确；根据菱形的性质， 菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，选项匚不正斷 根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对 称图形有：平行四边形、圆形、正方形、长方形选项D正确.故答案选 B 考点：中心对称图形；角平分线的性质；直角三角形斜边

12、上的中线；菱形的性质. 3. （2016黑龙江绥化第6题）如图，小雅家（图中点 O处）门前有一条东 西走向的公路，经测得有一水塔（图中点 A处）在距她家北偏东60方向的500 米处，那么水塔所在的位置到公路的距离 AB是（ ） A. 250米 B.米 C.米 D.米 250、匕500 3 5002 3 【答案】A. 【解析】 试题分析：由题意 / AOB=90 - 60 =30 , 0A=500, v AB丄OB,/ ABO=90，二 AB=AO=25米.故选 A. 1 8 / 12 2 考点：解直角三角形的应用-方向角问题. 4. （2016四川南充第7题）如图，在Rt ABC中，/ A=3

13、0, BC=1点D, E分别是直角边BC AC的中点，贝 S DE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 1+ 3 3 【答案】A. 【解析】 试题分析：如图，T在 Rt ABC中，/ C=90，/ A=30,A AB=2BC=2 又 点D E分别是AC BC的中点，二DE是厶ACB的中位线， DE=AB=.1故选A.丄 2 考点：三角形中位线定理；含 30度角的直角三角形. 5. （2016广东广州第7题）如图2,已知三角形 ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是AC的垂直平分线，DE交AB于D,连接CD CD=（） A、3 B 、4 C 、4.8 D 、5 【答案】D. 【

14、解析】 试题分析：已知AE=1O, ACS.眈詣,根据勾股定理的逆定理可判定AABC为直角三角形又因DE为AC边的 1 中垂线可得加丄曲，AE-CEM,所OE为三角形ABC的中位线，即可得DE-BC=3J再根据勾股定理求 出故答秦选D. 考点：勾股定理及逆定理；中位线定理；中垂线的性质. 二、填空题 6. （2016黑龙江哈尔滨第17题）在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , 9 / 12 AC=3点P为边BC的三等分点，连接AP则AP的长为 【答案】或13、10 【解析】 试题分析：如图 1,vZ ACB=90 , AC=BC=3 丁 PB二BC=,1 二 CP=2 二， 1 AP

15、 二.AC2 PC2 二 13 3 如图 2,vZ ACB=90 , AC=BC=3 v PC=BC=, A, AP的长为 或.1 AP “AC2 PC2 二 10 .13、10 3 考点：1分类思想；2等腰直角三角形. 7. （2016湖北武汉第16题）如图，在四边形 ABCD中, Z ABC= 90, AB =3, BC= 4, CD= 10, DA=，贝卩 BD的长为 _ . 5j5 【答案】2. .41 【解析】 试題分析：连接如过点刀作西边上的高，交圧延长线于点乩在毗磁中，血=3, 又DA= 5J5 ;可知国必为直角三角形且,易证 ABCACHD,则CH= DH=Sj, 考点：相似三

16、角形判定及性质；勾股定理 8. 在厶ABC中, Z B=30, AB=12 AC=6 贝卩 BC= 【答案】.6、.3 【解析】 10 / 12 试题分析：T/ B=30, AB=12 AC=6 :. ABC是直角三角形，二 BC= 故答案为：.AB2 AC2 122 -62 6.3 6.3 考点：1.含30度角的直角三角形；2.勾股定理. 9. 如图，在 Rt ABC中, Z ABC=90 , AB=3 AC=5 点 E在 BC上，将 ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为 【答案】.？ 2 【解析】 考点：1.折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用. 10. （

17、2016福建莆田第16题）魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚， 出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”， 证明了勾股定理.若图中 BF= 1, CF= 2,则AE的长为 _ . 【答案】.3帀 【解析】 试题分析：二FC, /.3： C=l： 2彷 3+（5H二卫N JQ： + DE：二J于+9：二弭仍.故答案为：3 価. 考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质. 11. （2016福建泉州第14题）如图，在Rt ABC中, E是斜边AB的中点， 若 AB=10 则 CE= . 【答案】5. 【解析】 试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可

18、得CE二AB=54 11 / 12 考点：直角三角形斜边上的中线. 三、解答题 12. （2016贵州贵阳第18题）（10分）如图，点E正方形ABCD外一点， 点F是线段AE上一点， EBF是等腰直角三角形，其中/ EBF=90，连接CE CF. （1） 求证： ABFA CBE （2） 判断 CEF的形状，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）4CEF是直角三角形. 【解析】 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 13. （2016湖北襄阳第19题）（本小题满分6分） 如图，在 ABC中. AD平分/ BAC且BD=CD DEL AB于点E, DF丄AC于点 F. （1） 求证：AB=AC （2） 若 AD=2 / DAC=30，求 AC 的长.屈 【答案】（1）详见解析；（2） 4. 【解析】 试题分析：（1）根据角平分线的性质可得 DE=DF再根据HL证明；根据全等 三角形的性质可得，即可证得AB=AC （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得， 在Rt?ADC中，AD=2 / DAC=30，即可求得 AC的 长.Rt BDE 三 Rt CDF B =/C AD _ BC 3 试题解析：（1）证明：T AD平分/ BAC DEI AB, DFL AC /. DE=DF 在 Rt?ADC中， DAC =30 ,A