2019-2020学年河南省南阳市高二下学期期中数学试卷(理科)(解析版)

1、2019-2020学年河南省南阳市高二第二学期期中数学试卷（理科）、选择题（共12小题）-3+1的值为（）C. 1D. i_？B . J？ （？+ ？）？D.琮？乃?？x）的图象，则下面判断正确的是（）1,已知？= 1+J? i为虚数单位，则 小A. - 1B. 02,下列值等于2的是（）3A. /? ?，？C. /？ 2 ？ 33.如图，是函数 y=f （x）的导函数f'（A.在区间（-2, 1）上f （x）是增函数B.在（1, 3）上f （x）是减函数C.在（4, 5）上f （x）是增函数D.当x=4时，f （x）取极大值中共有（）个顶点.A. (n+1) (n+2) B. (n+

2、2) ( n+3) C. n24 .如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，（n = 1、2、3、）则在第n个图形D. n5 .已知函数f （x） = x3+bx2+cx的图象如图所示，则 x12+x22等于（4C.B.32A.一316 D.-3836.函数f (x)的导数为f'(x),且满足关系式f(x) = x2+3xf' (2) +lnx，则 f'(2)的值等于(A. - 2B.C.7.若等差数列an的前n项之和为S,则一定有S2n 1= (2n-1) an成立.若等比数列bn的前n项之积为Tn,类比等差数列的性质，则有(A. T2n 1 = (2n 1)+

3、 bnB . T 2n 1 = (2n 1) bnC. T2n 1= ( 2n T)D. ?-?= ?-?8,已知x=2是函数f (x) =x3-3ax+2的极小值点，那么函数 f (x)的极大值为(A. 15B. 16C. 17D. 189.由曲线y=x2和曲线y= V?围成的一个叶形图如图所示,则图中阴影部分面积为()B.1D.一51A.一31 C.-431010.设函数f(x) =-x2 - 91nx 2在区间a - 1a+1上单调递减,则实数a的取值范围是(A. ( 12B.4, +00)C .( 一 82D. (0, 311 .已知复数 z= x+yi, xCR, yCR,满足 |z

4、+1|+|z- 1| = 4,则点（x, y）的轨迹是（A.线段B.圆C.双曲线D.椭圆12 .已知定义在(0, +8)上的函数 f (x),满足？?？(?？(？?)?/ f (1) =1,则 函数f (x)的最大值为()A. ?B. 0C. V?D. 2e2二、填空题13 .设aCR, a ?+ ?+ ?>!3-a-2+ ( a+1) i为纯虚数(i为虚数单位)，则 a =.14 .已知函数f(x)=x (x1) (x-2)( x3),贝Uf' (0) =.15 .定义在 R上的函数f (x)满足：f (1) = 1,且对于任意的 xCR,都有f' (x) <1,

5、 则不等式f (Igx) > ?产+1 解集为 .16 .分形几何学是数学家伯努瓦.曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图.若记图( 2)中第n行黑圈的个数为 an,则a7三、解答题17 .设a, b, c均为正数，且 a+b+c= 1.证明:，.、1（1） ? ? ?-;318 .已知函数？?(?= ?-?(1)求函数f (x)的极值；(2)设m >0,求函数f (x)在区间m, 2m上的最大值.19 .用数学归纳法证明：(cos卅isin® n

6、 = cosn 9+isinni为虚数单位，0 R, nCN,且n >2.20 .某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形 ABC绕底边BC上的高所在直线 AO旋转180。而成，如图2.已知圆O ?的半径为10cm,设/ BAO= 0, 0<?箕2?圆锥的侧面积为 Scm2.(1)求S关于。的函数关系式;(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰 AB的长度.21 .已知函数 f (x) = ?+?-1 .(1)求曲线y=f (x

7、)在点(0, - 1)处的切线方程;(2)证明：当 a>1 时，f (x) +e>0.22 .已知函数 f (x) = ln (1 + mx) , g (x) = - 2 ?*?+ mx.(1)当m = 1时，求函数F (x) = f (x) - x的最大值；(2)当0vmv1时，判断函数 G (x) = f (x) - g (x)的零点个数.、选择题1.已知？=1+点? i为虚数单位，则32-。+ 1的值为（A. - 1B. 0C. 1D. i【分析】由已知求得后，代入C02- 3+1化简得答案.解：: ?=1+ 3?？ ,2?夕?= (1+ ?=223+ 23?, - 1+ 丫

8、？?42 .22 -则 W2- 3+1= - 1 + ? 1 - 222V3二？ ?= ?2故选：B.2,下列值等于2的是()3A? ?3?B. ? (?+ ?)?力？ j? /C.42?3D. ? ?仍？J?【分析】分别求出各定积分的值，即可解出.解：对于 A,4？?刎?= 2?= 2;33对于 B, J? (?+ ?)? (1?+ ?= 5；22对于 c，琮3?=?3?= 1；琮?= 1 ?= 3.3.如图，是函数 y=f (x)的导函数f' ( x)的图象，则下面判断正确的是()A.在区间(-2, 1)上f (x)是增函数B.在(1, 3)上f (x)是减函数C.在(4, 5)上

9、f (x)是增函数D.当x=4时，f (x)取极大值【分析】由于f' (x)>0?函数f (x)d单调递增；f' (x)W0?单调f (x)单调递减, 观察f' (x)的图象可知，通过观察 f (x)的符号判定函数的单调性即可解：由于f' (x) > 0?函数f (x) d单调递增；f' (x) w 0?单调f (x)单调递减观察f' (x)的图象可知，当x C ( - 2, 1)时，函数先递减，后递增，故 A错误当x C (1, 3)时，函数先增后减，故 B错误当x C (4, 5)时函数递增，故 C正确由函数的图象可知函数在 4处

10、取得函数的极小值，故 D错误故选：C.4.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n = 1、2、3、)则在第n个图形中共有()个顶点.A. (n+1) (n+2) B. (n+2) ( n+3) C. n2【分析】本题考查的知识点是归纳推理，由已知图形中，我们可以列出顶点个数与多边 形边数n,然后分析其中的变化规律，然后用归纳推理可以推断出一个一般性的结论.解：由已知中的图形我们可以得到：当n= 1时，顶点共有12=3X4 （个），n=2时，顶点共有20=4X5 （个），n=3时，顶点共有30=5X6 （个），n=4时，顶点共有42=6X7 （个），由此我们可以推断:第n个图形共有顶

11、点（n+2） （ n+3）个, 故选：B.D.1635.已知函数f （x） = x3+bx2+cx的图象如图所示，则 xi2+x22等于（）8C.一3【分析】先利用函数的零点，计算b、c的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为xi, x2,利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可解：由图可知，f （x） =0的三个根为0, 1, 2，f (1) = 1 + b+c= 0, f (2) = 8+4b+2c= 0解得 b= - 3, c=2又由图可知，x1，x2为函数f （x）的两个极值点 - f ( x) = 3x2 - 6x+2 = 0 的两个根为 xi, x2,c2xi + x2

12、= 2, xix2=-3？?+ ?= (xi + x2)2- 2xix2=4- 4=| 33故选：C.6.函数f (x)的导数为f' (x),且满足关系式f (x) =x2+3xf' (2) +lnx ,则f' (2) 的值等于()A. - 2B. 2C. - 9D. 944【分析】首先对等式两边求导得到关于f' (2)的等式解之.解：由关系式 f (x) =x2+3xf' (2) +lnx ,两边求导得 f' (x) = 2x+3f' (2) +、？令 x =2 得 f' (2) =4+3f' (2) + 1,解得 f&

13、#39; (2) = -*故选：C.7.若等差数列an的前n项之和为S,则一定有S2n i= (2n-1) an成立.若等比数列bn 的前n项之积为Tn,类比等差数列的性质，则有()A.T2n1= (2n1)+bnB. T2n 1= (2n 1) bnC.T2n1= ( 2n 1)bnD. ?-?= ?-?【分析】等差数列an中，S2n 1= (2?-1)(?21+?2?-1)= (2n- 1) an,由类比推理，结合 等比数列的通项，可得结论.解：等差数列an中，S2n 1= (2?-1)(?21+?2?-1) = (2n 1) an.由类比推理可得：在等比数列bn中，设公比为q,则T2n-

14、1=b1b2n-1= (bF-1) q1+2+ +2n 2_ bn2n 1故选：D.8.已知x=2是函数f (x) =x3-3ax+2的极小值点，那么函数 f (x)的极大值为(A. 15B. 16C. 17D. 18【分析】求出导数，由题意得， f (2) =0,解出a,再由单调性，判断极大值点，求 出即可.解：函数 f (x) =x3-3ax+2 的导数 f' (x) =3x2-3a,由题意得，f (2) =0,即 12 - 3a = 0, a=4.f(x) =x3-12x+2, f' (x) = 3x2 - 12=3 (x - 2) ( x+2),f' ( x)

15、> 0,得 x>2 或 xv 2; f' (x) v 0,得一2vxv2,故x = 2取极小值，x= -2取极大值，且为- 8+24+2=18.9,由曲线y=x2和曲线y= v?围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为()1310A.B.C.D.【分析】利用积分求阴影的面积，找到积分上下限，和积分函数.解：有图可知阴影的面积故选：A.2-9 ?2-3?10.设函数f(x) = 2x2- 9lnx在区间a- 1, a+1上单调递减，则实数a的取值范围是()A. (1, 2B. 4, +8)C.(一巴 2D. (0, 3m的范围即可.【分析】首先求出函数的单调递减区间，然

16、后结合数轴分析求出解：: f (x) = 2x2- 9lnx ,二.函数f (x)的定义域是(0, +8)9 f ( x)= x- ?, , x>0, 由 f' ( x) = x-9 一？得 0vxv3.函数f (x) = 1x2- 9lnx在区间a - 1, a+1上单调递减，. ?-?>?解得 iaw2. ?+ ?< ?故选：A.11 .已知复数 z= x+yi, xcr, yCR,满足 |z+i|+|z- i| = 4,则点(x, y)的轨迹是()A.线段B.圆C.双曲线D.椭圆【分析】由复数的模的几何意义可得，复数 z对应点z对应点到(1, 0) , (-1,

17、0) 的距离和等于 4,由此，点(x, y)的轨迹是以(1,0), (-1,0)为焦点的椭圆， 且c=1, 2a=4,即可求得x, y满足的轨迹方程.解：:复数 z= x+yi (x, yCR),且忆+1|+|z 1|=4,，由复数的模的几何意义可得，复数 z对应点到(1,0), (-1,0)的距离和等于4,.点(x, y)的轨迹是以(1,0), (-1,0)为焦点的椭圆，且 c=1, 2a=4,. .a=2, b= V?故x, y满足的轨迹方程是?+ ? = 1.故选：D.12 .已知定义在(0, +8)上的函数 f (x),满足？?？，(?？(?)?具 f (1)=1,则函数f (x)的最

18、大值为(A. ?B. 0C. v?D. 2e2【分析】由已知得x2f (x) r = ?利用积分思想得x2f (x) = Inx + c (c为常数)，又f(1) =1,解得c,得到f (x)解析式，再求导数，分析单调性，进而得出答案.解：由已知得 x2f' (x) +2xf (x) = 1?即x2f (x) ' = 1?+12，所以 x2f (x) = lnx+c (c 为常数)，又 f (1) = 1,所以 c= 1,所以 f (x)=从而 f，(x) = -1-2?令 (x) = 0,得 x=e - 2，所以当0Vxve -2时，f' (x) >0, f (

19、x)单调递增,当 x>e -2时，f' ( x) v 0, f (x)单调递减，1所以当 x= e -1 时，f (x) max= - 2 + 1 = ?12二、填空题13.设a R, a2 - a - 2+ ( a+1) i为纯虚数(i为虚数单位)，则 a= 2【分析】直接由实部为 0且虚部不为0列式求解a值.解：: a2 - a - 2+ (a+1) i 为纯虚数，?/?一?= ?解得 a：?+ ?w ?故答案为：2.14 .已知函数 f(x)=x(x1) (x 2) ( x - 3),贝U f' (0) =- 6 .【分析】求出导函数为f' (x) = (x

20、-1) (x-2) (x-3)+x? (x-1) (x-2)(x-3)',然后即可得出f' (0)的值.解：1 ( x) = ( x 1) (x-2) (x 3) +x? ( ( x 1) ( x 2) (x 3)',，f' ( 0) = - 1X (- 2) X (- 3) = -6.故答案为：-6.115 .定义在 R上的函数f (x)满足：f (1) = 1,且对于任意的 xCR,都有f' (x) <2, 则不等式f (lgx) >竺2?的嘛集为(0, 10).【分析】设g(x)= f(x)-gx,由f' (x) <1，得

21、到g'(x)小于0,得到g(x)为减函数，将所求不等式变形后，利用 g (x)为减函数求出x的范围，即为所求不等式 的解集.解：设 g (x) =f (x) - 2x,由 f' (x) <2,得到 g' (x) =f' (x) - 2 <0,1- g (x)为减函数.又 f (1) = 1, . f (lgx) >?2：2?2?+：12igx+1,11一 1- g(|gx)=f(|gx)- 21gx>2 = g(1)=f(1)- 2 =g(ig10), .lgxvlg10, 0<x<10,故不等式 f (lgx) >”尹

22、 +1 解集为(0, 10),故答案为：(0, 10).16 .分形几何学是数学家伯努瓦.曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图.若记图(2)中第n行黑圈的个数为a%则a7 =36-15(2)【分析】根据分形规律，各行黑圈数乘2,分别是0, 2, 8, 26, 80,，即1-1,3-1, 9- 1, 27-1, 81-1,，即可得到第 n行的黑圈数an,从而求出a7的值.解：根据题图（1）所示的分形规律，可知 1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈 分形为1个白圈2个

23、黑圈，把题图（2）中的树形图的第1行记为（1, 0）,第2行记为（2, 1）,第3行记为（5, 4）,第4行的白圈数为2X5+4=14,黑圈数为5+2X4 =13,所以第4行的坐标为（14, 13）,同理可得第 5行的坐标为（41, 40）,第6行的 坐标为（122, 121）,，各行黑圈数乘 2,分另1J是0, 2, 8, 26, 80,，即1 - 1,3-1,9-1,27-1,81-1,，所以可以归纳出第 n行的黑圈数an= 3?1-1 （n玳*）,2所以？?=?， 2故答案为：36二.2三、解答题17 .设a, b, c均为正数，且 a+b+c= 1.证明： ，.、1（1） ? ? ?-

24、; 3（2） ?+?+? 3【分析】（1）由重要不等式推得 a2+b2+c2>ab+bc+ca,再由三个数的完全平方公式，结 合不等式的性质，即可得证；（2）由三个数的完全平方公式和重要不等式a2+b2>2ab,结合不等式的性质，即可得证.【解答】证明：(1)因为a, b, c均为正数，可得 a2+b2R2ab, b2+c2> 2bc, c2+a2> 2ca,相加可得 a2+b2+ c2> ab+bc+ ca,由 a+b+c= 1,所以 1 = (a+b+c) 2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2canab+bc+ca+2ab+2bc+2ca= 3 (ab+

25、bc+ca),当且仅当a=b=c=1时，上式取得等号. 3故 ab+bc+caw 1 ； 3(2)因为a, b, c均为正数，且 a+b+c=1,所以 1= (a+b+c) 2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca< a2+b2+c2+ (a2+b2) + (b2+c2) + ( c2+a2)=3 (a2+b2+c2),当且仅当a=b=c=1时，上式取得等号. 3故 a2+ b2+c2>3-18 .已知函数?(?=等?？(1)求函数f (x)的极值；(2)设m >0,求函数f (x)在区间m, 2m上的最大值.【分析】(1)求出函数的定义域以及函数的导数？'(?

26、)£?利用导函数的符号判断?函数的单调性，求解函数的极值.(2)当0vmw?函数f (x)在区间m, 2m上单调递增，求出最大值.当mvev 2m,即？?v ?v?寸，判断函数的单调性求解函数的最大值.2当m>e时，求解函数的单调性求出最大值即可.解：(1)因为函数f (x)的定义域为(0,，且？,(笆写？?？由?导 0<x<e； ?> ?？ (?？?曰由' '得 x>e.?> ?所以函数f (x)的单调递增区间为(0e),单调递减区间为(e, +°0)无极小值所以，f (x)有极大值f (e) = ?. ?(2)当0vm

27、w?函数f (x)在区间m, 2m上单调递增,所以？(？?= ?(?= ?2?2?) ?当mvev 2m,即?v?<?寸，函数f (x)在区间(m, e)上单调递增，在(e, 2m) 2上单调递减,所以?(?=?(?= ?= 1- ? ? ?当m > e时,函数f (x)在区间m,2m上单调递减,所以?(?=?一?(?)= -? - ?综上所述，当2? ?<-，？(？?)?=?(2?) ” ?2?当?v ?<?寸,?(?=；?- ? 2,当 m>e 时，？(?= ?19 .用数学归纳法证明：(cos卅isin® n = cosn 9+isinn。，i为虚

28、数单位，0 R, nCN,且n>2.【分析】首先验证 n=2时，等式成立；假设当 n=k (k>2)时，等式成立，证明k+1时，等式也成立，注意运用假设和复数的乘法，结合两角和差的正弦公式和余弦公 式，即可得证.【解答】证明：(1)当 n=2 时，(cos9+isin 9)2=cos2e+2icos9sin 9 sin20= cos2 0+isin2 0,所以，n = 2时，等式成立.(2)假设当 n = k (k>2)时，等式成立，即(cos0+isin 0) k= cosk 卅isink 0.那么，当 n=k+1 时，(cosOisin。)k+1 = (cos什isin

29、0) k (cos卅isin。)=(cosk 什isink 0) ( cos 0+isin 0) = cosk 0cos 0+isin 0cosk 什isink 0cos 什i2sink Osin o=(cosk 0cos0- sink 0sin 0) +i (sin 0cosk 0+sink 0cos 0) = cos (k+1) 0+isin (k+1) 0,所以当n=k+1时，等式也成立.综上可知，要证明的等式(cos0+isin 0) n= cosn Oisinn 0,当n>2时成立.20 .某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面

30、用于艺术装饰，如图 1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆。及其内接等腰三角形 ABC绕底边BC上的高所在直线 AO旋转180。而成，如图2.已知圆O 的半径为10cm,设/ BAO= 0, 0V?箕?圆锥的侧面积为 Scm2.(1)求S关于。的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰 AB的长度.【分析】(1)根据题意，设 AO交BC于点D,过O作OELAB,垂足为E,分析可得AB = 2AE = 20cos。，BD = AB?sin 9=20sin 9cos 0,由圆锥的侧面积公式可得S的表达式，即可得答案；(2)由(1)可得 S 的表达式可得 S

31、= I400 Ttsin 0cos2 0= 400 u (sin。- sin3 0),设 f (x) = x-x3, (0VXV1),求导求出其在区间(0, 1)上的最大值，求出 x的值，即可得当sin 0=q，即cosk 26时，侧面积S取得最大值，计算即可得答案. 33解：(1)根据题意，设 AO交BC于点D,过。作OELAB,垂足为E,在4AOE 中，AE = 10cos0, AB = 2AE = 20cos 0,在4ABD 中，BD=AB? sin 0= 20sin Qcos 0,所以 S= 2 x2 兀x 20sin Ocos OX 20cos 0= 400 Tisin 0cos2

32、0, ( 0v 0< 23 ,(2)由(1)得：S= 2400 in 0cos2 0= 400兀(sin 0- sin3 0)v3设 f (x) = x- x3, (0vxv1),则 f' ( x) = 1 - 3x2,令 f' (x) =1- 3x2= 0,可得(0, ?)上单调递增,当xC(0,)时，f'(x)>0,函数f(x)在区间巨，1)上单调递减,3当xC (区, 1)时，f' (x) v 0,函数f (x)在区间所以f (x)在x=地时取得极大值，也是最大值； 3所以当sinb 亘，即cos忆 至时，侧面积S取得最大值， 33此时等腰三角

33、形的腰长 AB = 20cosk 型上；3答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为 "*6cm.321.已知函数 f (x) = ?；?-1 .(1)求曲线y=f (x)在点(o, - 1)处的切线方程;(2)证明：当 a>1 时，f (x) +e>0.,(2?+1)?(?/+?-1)?-分析(1) ?(?)(；#由f' (0) =2,可得切线斜率 k=2,即可得到切线方程.一 ，(2?+1储(？夕+?-1)?(2)可得？，(?)1) (?)=(?2(?+1)(?-2) 一，口1、? .可信 f(X)在(-00 , - -,(2, +8)递减，在(-1

34、? 2)递增，注意到a>1 时，函数 g (x) = ax2+x- 1 在(2,+8)单调递增，且 g (2) =4a+1>0只需(X)?= -?>- e，即可-(2?+1)?(?夕+?-1)?解：(1) ?'俾?)-?-(?-=(?+1)(?-2)?f' (0) =2,即曲线y=f (x)在点(0,1)处的切线斜率k=2,，曲线y= f (x)在点(0, - 1)处的切线方程方程为 y- (- 1) =2x.即2x- y- 1 = 0为所求.(2)证明：函数f (x)的定义域为：R,?可得? , (?)2?+1)(?彳+?-1)?= - (?+1m?-2) (?2八2, +8)时，f(2) = 4a+1>0令f' (x) =0,可得？?= ? ?=-1?<?当 xe(-8, ?时，(x) <0, xe(- J?, ?时，f' (x)>0, xe( (x) < 0.f (x)在(-8 , ? , (2, +8)递减，在(-? 2)递增，注意到a&