数学奥林匹克初中训练题13(含答案)

1、数学奥林匹克初中训练题13这是我辛苦搜集来奉献给大家的第一试一、选择题(每小题7分，共42分1.正整数1，2，2 008中，能表示为形如 (m、nN+的数的个数是( .(A2 008 (B2 006 (C2 007 (D2 0042.已知a、b、c满足|2a-4|+|b+2|+ +a2+c2=2+2ac.则a-b+c的值为( .(A4 (B6 (C8 (D4或83.如图，在RtABC中，BAC=90°，AB=4，BC=12，ADBC于点D，ABC的平分线分别交C、AD于点E、F.过F作GBC交AC于点G.则FG的长为( . (A10 (B6 (C8 (D94.设m为整数.若关于x的方

2、程mx2+(2-2mx+m-4=0有整数解，则m的可能值有( 个.(A1 (B2 (C3 (D45.如图，五边形ABCDE中，A=120°，B=E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2.在BC、DE上分别找一点M、N，使得AMN的周长最小.则AMN的最小周长为( .(A2 (B2 (C4 (D56.已知2n(nN+能整除2 0072 048-1.则n的最大值是( . (A12 (B13 (C14 (D15二、填空题(每小题7分，共28分1.已知x为实数， - =54.则28 +27 =. 2.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，BAD=BCD=60°，CBD

3、= 55°，ADB=50°.则AOB的度数为 . 3.已知n为自然数，9n2-10n+2 009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为 .4.如图是一个挂在墙壁上时钟的示意图.O是其秒针的转动中心，M是秒针的另一端，OM=10 cm，l是过点O的铅直直线.现有一只蚂蚁P在秒针OM上爬行，蚂蚁P到点O的距离与M到l的距离始终相等.1分钟的时间内，蚂蚁P被秒针OM携带的过程中移动的路程(非蚂蚁在秒针上爬行的路程是 cm.第二试一、(20分设k为常数，关于x的方程x2-2x+=3-2k有四个不同的实数根.求k的取值范围.二、(25分已知O是ABC的外心，BAC=45°

4、;，延长BC至D，使CD= BC，ADOC.求ABC的度数. 三、(25分过年时，祖母给三个孙子压岁钱，总额400元.共有50元、20元、10元三种面额的纸币各若干张，供三个孙子选择，但每人只能拿同一种面额的钱，其中一人所拿钱的张数恰好等于另两人所拿钱的张数之积.问有多少种选择面额及张数的方式?数学奥林匹克初中训练题13参考答案第一试一、1.C.若=1，整理得(m+1(n-1=0.解得m=-1或n=1.故当n=1，m>1时， =1.若=2，整理得(m+2(n-2=-3=3×(-1.解得m=1，n=1.但mn，于是， 2.所以，2不能表示为形如的数.若=a(aZ，a>2，即

5、mn-am+an-1=0.故(m+a(n-a=1-a2=(a2-1×(-1.因此，m+a=a2-1，n-a=-1，即m=a2-a-1，n=a-1.显然，mn.当m=a2-a-1，n=a-1时， =a.2.D.当b=0时，原等式化为|2a-4|+(a-c2=0.解得a=c=2.所以，a-b+c=4.当b0时，b2>0，a3. 故2a-42.原等式化为2a-4+|b+2|+ +(a-c2=2，即 |b+2|+ +(a-c2=6-2a.故6-2a0，即a3.所以，a=3.则|b+2|+(3-c2=0.解得b=-2，c=3.所以，a-b+c=3-(-2+3=8.3.C.在RtABC中，

6、由射影定理得AB2=BD·BC.所以，BD= 4/3.故DC=BC-BD=32/3.由BF是ABC的平分线得AF/FD=AB/BD=3.则AF/AD= =34.因为FGCD，所以，FG/DC=AF/AD.故FG=8.4.B.原方程化为m(x-12=4-2x.显然，x1.则m(x-1= =-2+.已知m、x均为整数，则为整数.故x-1=±1，±2，即x=2，0，3，-1.相应地，m的值分别为0，4，-12，32.所以，m的值为0或4.5.B.如图，延长AB至P，使PB=AB;延长AE至Q，使EQ=AE.联结PQ分别交BC、DE于点M、N.则AMN的周长最小，最小周长

7、就是线段PQ的长.过P作PFAE于F.易知PAF=60°，PF=AP= ，AF= AP=1.又AQ=2AE=4，则在RtPQF中，由勾股定理得PQ=2 .在APQ中，由余弦定理得cosAPQ=2 /7.故BM 所以，点M在线段BC上.同理，点N在线段DE上.6.C.令2 007=a.则2 0072 048-1=a2 048-12=(+1( +1(+1· (a+1(a-1.而对于正整数k，有+1+12(mod 4，即a2k+1是2的倍数，不是4的倍数.而a+1是8的倍数，不是16的倍数，a-1是2的倍数，不是4的倍数，所以，n的最大值为10×1+3+1=14.二、1

8、.2 007.设x3+2 020=a，2 030-x3=b.则a+b=4 050.由题意得=542=1 134(2=5 184=72.由式、解得=63，=9.2.80°.如图，过点C分别作AB、BD、AD的垂线，垂足依次为E、F、G.易得ABD=70°，CBD=CBE=55°，BDC=CDG=65°. 因此，BC是DBE的平分线，CD是BDG的平分线.于是，CE=CF=CG.从而，AC是EAG的平分线.故AOB=CAD+ADB=80°.3.2 007.设9n2-10n+2 009=m(m+1，其中，m为自然数.则9n2-10n+(2 009-m

9、2-m=0.将式看作关于自然数n的一元二方程，其判别式应为一个自然数的平方.不设为=t2(tN，则(-102-4×9(2 009-m2-m=t2.化简整理得(6m+32-t2=72 233，即 (6m+3+t(6m+3-t=72 233.设6m+3+t=a，6m+3-t=b.则t= (a-b.当a=72 233，b=1时，t有最大值.此时，t的最大值为36 116.又n=，当t取最大值36 116时，n取值最大，其值2 007.4.20.如图，以点O为圆心、10 cm为半径作O.过M作MNl于点N，过O作l的垂线交O于点Q1、Q2.联结PQ1.则MNOQ1，M=MOQ1. 又因OM=

10、OQ1，MN=OP，所以，OMNQ1OP.故OPQ1=ONM=90°. 因此，点P在以OQ1为直径的圆上.同理，点P在以OQ2为直径的圆上.从而，蚂蚁P在1分钟的时间内被秒针OM携带的过程中移动的轨迹就是分别以OQ1、OQ2为直径的两个圆.移动的路程为2×10×=20.第二试一、令y=x2-2x-2k.则原方程化为(y+3k(y+k-3=0y=-3k或y=-k+3x2-2x+k=0或x2-2x-k-3=0.已知原方程有四个不同的实数根，因此，1=(-22-4×1×k>0，2=(-22-4×1×(-k-3>0.解得

11、-4 由y0，知k0或3.又因方程与方程的根不同，所以，-kk+3，即k-3/2.故k的取值范围是-4 且 k 0 和 -3/2. 二、如图，联结OA、OB，延长BO交AD于点E. 由BAC=45° BOC=90° OBC=OCB=45°.由ADOC OEAD，BO/OE=BC/CD=2 ABE= AOE=30° ABC=30°+45°=75°.记AD与O的另一交点为A1，联结A1B、A1C.则有BA1C=BAC=45°.所以，A1BC可为已知ABC的另一种情形.又ACB=180°-BAC-ABC=180

12、°-45°-75°=60°，D=OCB=45°，故 A1BC=CAD=ACB-D=15°.因此，ABC的度数为75°或15°.三、设三人所拿钱的张数分别为xy、x、y，面额分别为a元、b元、c元，x1，y1.则axy+bx+cy=400.(1当a=b=c，即三人所选面额相同时，则xy+x+y=400/a，即 (x+1(y+1=400/a+1.(i若a=50，则(x+1(y+1=9=3×3.解得x=2，y=2.所以，三人中，每人选50元面额的张数分别为2，2，4.此时，有一种选择方式.(ii若a=20，则(

13、x+1(y+1=21=3×7.解得x=2，y=6.所以，三人选择20元有一种选择方式.(iii若a=10，则(x+1(y+1=41.此时，x、y无正整数解.(2当a、b、c中有两个值相等时，根据选择无顺序性，可分为a=bc，b=ca两种情形.当a=bc时，axy+ax+cy=400，即 (ax+c(y+1=400+c(y+12.(i若a=50，c=20，则(50x+20(y+1=420，即 (5x+2(y+1=42=7×6. 解得x=1，y=5.此时，有一种选择方式.(ii若a=50，c=10，则(50x+10(y+1=410，即 (5x+1(y+1=41(质数.上式无正整数解.(iii若a=20，c=50，则(20x+50(y+1=450，即 (2x+5(y+1=45=9×5=15×3.解得x=2，y=4或x=5，y=2.所以，有两种选择面额