高等数学第6章(第二次)3学时课件

1、高等数学第6章(第二次)3学时 高等数学高等数学教教 师：刘师：刘 彩彩 平平Email： 高等数学第6章(第二次)3学时第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 第一节第一节 定积分的元素法定积分的元素法 第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用第三节第三节 定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用高等数学第6章(第二次)3学时复习：定积分的元素法复习：定积分的元素法 (1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x x 为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间a,ba,b； (2) 写出部分量的近似表达式部分量的近似表达

2、式，即把区间分成即把区间分成 n n 个小个小区间，取其中任一小区间并记为区间，取其中任一小区间并记为x, x+dx，求出相应于这，求出相应于这小区间的部分量小区间的部分量U U的近似值的近似值: :U Uf(x)dx,f(x)dx,记记xxfUd)(d (3) 以所求量以所求量U U 的元素的元素( (微元微元)f(x)dx)f(x)dx为被积表达式，为被积表达式，在区间在区间 a,ba,b 上作定积分，得上作定积分，得，即为所求量即为所求量U U的积分表达式的积分表达式。badxxfU)(-称为称为U的微分元素的微分元素(简称微元简称微元)这种分析方法称为这种分析方法称为元素法元素法 (

3、(或或微元分析法微元分析法) )高等数学第6章(第二次)3学时 第二节 定积分在几何学上 的应用第六章第六章一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、二、体积体积三、三、平面曲线的弧长平面曲线的弧长高等数学第6章(第二次)3学时二、体积二、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 1.1.旋转体的体积旋转体的体积 xf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转高等数学第6章(第二次)3学时xyoabxyoab)(xfy 连续曲线段2)(xf的立体体积时,则对应于小区间有轴绕xbxaxfy)()(xd

4、baV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy旋转一周围成d,xxx的体积元素为xxAVd)(d高等数学第6章(第二次)3学时ayxb例例8. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x高等数学第6章(第二次)3学时方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234

5、ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a高等数学第6章(第二次)3学时例例9. 求圆4) 3(22yx绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.yxo312-2解： 所求体积为:2222)(dyyxVy2221)(dyyx222122)()(dyyxyx202122)()(2dyyxyx202222)43()43(2dyyy202424dyy2022arcsin244224yyy2242243yx2143yx高等数学第6章(第二次)3学时ox1 2yBC3A例例10. 求曲线132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对

6、称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122高等数学第6章(第二次)3学时 设立体在x轴上的投影区间为a, b, 立体内垂直于x轴的截面面积为A(x). 立体的体积元素为2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)dx. xA(x)dV=A(x)dxx baxxAVd)(.aVb高等数学第6章(第二次)3学时oyRxRR.例例11 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。

7、求其体积。高等数学第6章(第二次)3学时oyRxxy22xR RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(RR. )tan( xR.y tan (x, y),截面积截面积A(x).例例1111 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积.高等数学第6章(第二次)3学时ORx),(yxyR思考思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22高等数学第6章(第二次)3学时 hRxo

8、yR 例例12 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.高等数学第6章(第二次)3学时 hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )(. RRxxRhd hRdcos22022 hR . . .Ry.y 例例12 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.高等数学第6章(第二次)3学时三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可

9、求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称高等数学第6章(第二次)3学时sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs高等数学第6章(第二次)3学时(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs高等数学第6章(第二次)3学时(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryr

10、x令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)高等数学第6章(第二次)3学时例 1计算曲线2332xy上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的 例例1313 长度. 因此, 所求弧长为 解 解21xy 从而弧长元素 dxxdxyds112. babaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323abbabaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323abbabaxdxxs)1 (32123)1 ()1(322323ab. 高等数学第6章(第二次)3学时 例例14 求摆线xa(sin), ya(1cos)的一拱

11、(02 )的长度. 解 于是所求弧长为 弧长元素为daads2222sin)cos1 (da2sin2202sin2das 202cos22 adaads2222sin)cos1 (da2sin2. 202cos22 a8a. 高等数学第6章(第二次)3学时d222aa例例15. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa高等数学第6章(第二次)3学时内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程上下限按顺时针方向确定21d)()(tttttAd)(

12、212A2. 已知平行截面面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :2)(xyA绕 y 轴 :高等数学第6章(第二次)3学时3. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小高等数学第6章(第二次)3学时思考题思考题: 1.过曲线过曲线)0(3xxy上的点A作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积求求:(1) A点的坐标；点的坐标； (2)该平面图形绕该平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。轴旋转所得旋转体的体积。,43S提示：),(3tt设切

13、点的坐标为)(31323txtty.2, 00txxy轴交点的横坐标为得与令过切点的切线方程为利用面积关系的A点坐标为(1,1),利用体积关系得所求体积为.52高等数学第6章(第二次)3学时分析曲线特点2. ) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与 x 轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性 ,21也合于所求. 为何值才能使) 1( xxy.) 1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等故211高等数学第6章(第二次)3学时设平面图形 A 由xy

14、x222与xy 所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx32212yox2113.若选 y 为积分变量, 则 V1022d)11 (2yy102d)2(yyxy高等数学第6章(第二次)3学时作业：作业：nPage 285-12，15(2,3)，18，n 22，25，27，30高等数学第6章(第二次)3学时一、由边际函数求总函数一、由边际函数求总函数二、由变化率求总量二、由变化率求总量三、求收益流的现值和将来值三、求收益流的现值和将来值第三节第三节 定积分的经济应用定积分的经济应用高等数

15、学第6章(第二次)3学时 在经济问题中在经济问题中, ,经常都要涉及到各种经济量的总量经常都要涉及到各种经济量的总量. .这些总量这些总量, ,在一定条件下在一定条件下, ,也可用定积分来进行计算也可用定积分来进行计算. .一、已知边际函数求总函数一、已知边际函数求总函数. .下面介绍两个常用问题:若总量若总量P(t)在某区间在某区间I上可导上可导, , 且且a, xI, 则有则有( )( )( )xaP xP t dtP a 注注1 在上式中在上式中, 当当x为产量为产量Q,且且a = 0时时, 只要将只要将P(x)代之以总成本代之以总成本C(Q)、总收益、总收益R(Q)、总利润、总利润L(

16、Q), 则有则有高等数学第6章(第二次)3学时注注2 2 当当 x 从从 a 变到变到 b 时时, P(x)的改变量即的改变量即为为( )( )( )baPP bP aP t dt QdttLQL0)()()0()()(0CdttCQCQQQdttRRdttRQR00)()0()()(高等数学第6章(第二次)3学时一、由边际函数求总函数一、由边际函数求总函数n例例1. 设某种产品生产设某种产品生产Q个单位时的边际成本和边个单位时的边际成本和边际收益分别为际收益分别为 QQR6)(（1）当固定成本）当固定成本C(0)=2时，求出总成本，总收益，时，求出总成本，总收益，总利润函数；总利润函数；（2

17、）当产量从）当产量从10增加到增加到100时，求总成本的增量；时，求总成本的增量；（3）当产量为多少总利润可以达到最大？最大利润）当产量为多少总利润可以达到最大？最大利润又是多少；又是多少；高等数学第6章(第二次)3学时解解: : 2)23()0()()() 1 (00dttCdttCQCQQ2432QQ26)6()0()()(200QQdttCdttRQRQQ2433)()()(2QQQCQRQ2745)43()23()()2(1001021001010010ttdttdttCC2Q0233)()()()3(得由QQCQRQ因为因为023)( Q且驻点唯一，所以当且驻点唯一，所以当Q=2时，

18、时，利润最大。且利润最大。且1)(maxQ高等数学第6章(第二次)3学时二、由变化率求总量二、由变化率求总量2726100422t解解:例例2 某工厂生产某商品在时刻某工厂生产某商品在时刻t的总产量变化率为的总产量变化率为ttQ12100)(单位单位/小时小时)。求由。求由t=2到到t=4这两小时的总产量。这两小时的总产量。dttdttQQ)12100()(4242高等数学第6章(第二次)3学时已知净投资函数（流量）求资本总量已知净投资函数（流量）求资本总量（百万元）（321261003160280)4()9()(394KKdttI解解例例3 3 设净投资函数设净投资函数且当且当t=0t=0时

19、的总资本量为时的总资本量为100100（百万元），试求：（百万元），试求：)/(10)(21年百万元ttI（1 1）资本函数）资本函数K(t)K(t)的表达式；的表达式；（2 2）第）第9 9年末的资本总量；年末的资本总量；（3 3）从第四年末到第）从第四年末到第9 9年末这段时间间隔内总资本的追加年末这段时间间隔内总资本的追加部分的数量。部分的数量。100320)0(10)() 1 (23021tKdxxtKt（百万元）代入得将2801009320)9(9)2(23Kt高等数学第6章(第二次)3学时 补充：补充：由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程

20、, 而资本总量又是随时间的变化而变化的而资本总量又是随时间的变化而变化的, 所以资本总量是所以资本总量是时间时间 t 的函数的函数, 即即 K = K(t ), 称之为资本函数称之为资本函数. ( )dK tdt当资本函数当资本函数 K = K(t )可导时可导时, 总资本形成率为总资本形成率为 由由经济学知资本总量的新增部分就是净投资经济学知资本总量的新增部分就是净投资. 因而净投因而净投资资 I = I(t)是一个关于是一个关于 t 的连续函数的连续函数, 从而投资者在时刻从而投资者在时刻 t处的净投资处的净投资 I(t) 即为总资本在时刻即为总资本在时刻 t 处的瞬时增量处的瞬时增量.

21、而由第三章导数定义的引入知而由第三章导数定义的引入知: : 一个量在某点的瞬时一个量在某点的瞬时增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的平均改增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内的平均改变量的极限变量的极限( (导数导数) ), 即即高等数学第6章(第二次)3学时0()( )( )limtK ttK tdK ttdt ( )( )dK tI tdt 此式两边从此式两边从 0 到到 t 作定积分作定积分, 有有0( )( )(0)tK tI x dxK 任意时刻任意时刻t的总资本量的总资本量 K(t) 等于区间等于区间 0, t 内的新增内的新增资本资本 与初始时刻与初始时刻 t = 0

22、时的资本（即初始资时的资本（即初始资本本) K(0)之和之和. 0( )tI x dx 此公式的经济意义此公式的经济意义: :高等数学第6章(第二次)3学时三、收益流的现值和将来值三、收益流的现值和将来值收益流收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看收益若是连续地获得，则收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流。作是一种随时间连续变化的收益流。收益流量收益流量 收益流对时间的变化率收益流对时间的变化率。 若以连续复利若以连续复利r计息，一笔计息，一笔P元人民币从现元人民币从现在存入银行，在存入银行，t年后的价值（将来值）年后的价值（将来值）rtPeR 高等数学第6章(第二次)3学时收益流的现值

23、收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项，收益流的现值是这样一笔款项，若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。收益流的将来值收益流的将来值 将收益流存入银行并加上利将收益流存入银行并加上利息之后的存款值。息之后的存款值。 若若t年后要得到年后要得到R元人民币，则现在需要存入元人民币，则现在需要存入银行多少金额（现值）银行多少金额（现值）rtP Re高等数学第6章(第二次)3学时若有一笔收益流的收益流量为若有一笔收益流的收益流量为 （元（元/年），考年），考虑从现在开始虑

24、从现在开始 到到 年后这一时间段的将来年后这一时间段的将来值和现值。（以连续利率值和现值。（以连续利率r计息）计息）T0t)(tR分析分析 在区间在区间 内任取一小区间内任取一小区间 ，在在 内所获得的金额近似为内所获得的金额近似为,dttt,0T, dttt dttR)(从从 开始开始, 这一金额是在这一金额是在 年后的年后的将来获得将来获得,因此在因此在 内内,0tdttR)(t,dttt收益现值收益现值dtetRedttRrtrt)()(总现值总现值TrtdtetR0)(高等数学第6章(第二次)3学时对于将来值对于将来值, 在在 年后获得利息年后获得利息,从而在从而在 内内,收益流的将来

25、值收益流的将来值故故,总的将来值总的将来值dttR )(tT ,dtttdtetRedttRtTrtTr)()()()(dtetRTtTr0)()(高等数学第6章(第二次)3学时例例4 4 某栋别墅现售价某栋别墅现售价500500万元，首付万元，首付20%20%，剩下，剩下部分可分期付款，部分可分期付款，1010年付清，每年付款相同。若年付清，每年付款相同。若连续利率连续利率r r是是6%6%，求每年应付款多少万元？，求每年应付款多少万元？解解 每年付款相同，这是均匀流。设每年付款每年付款相同，这是均匀流。设每年付款A A（单位：万元），因全部付款的总现值是已知（单位：万元），因全部付款的总现

26、值是已知的，即现售价扣除首付的部分的，即现售价扣除首付的部分于是有于是有),5488.01 (24 A)1 (06. 04001006. 010006. 0eAdtAet万元万元400)500%20500(即即A=53.19万元万元故每年应付款故每年应付款53.19万元。万元。高等数学第6章(第二次)3学时例例5 5 设某项投资计划在设某项投资计划在t=0t=0时需要投入时需要投入10001000万元万元购置设备，在购置设备，在1010年中每年收益为年中每年收益为200200万元，若连万元，若连续利率为续利率为5%5%，购置的设备，购置的设备1010年后完全失去价值，年后完全失去价值，求收益资本价值求收益资本价值W W。解解 因为收益资本价值因为收益资本价值 W W = = 收益流的现值收益流的现值- -投入资金的现值投入资金的现值所以所以100020010005. 0dteWt)(88.5731000)1 (40005 . 0万元e高等数学第6章(第二次)3学时例例6 假设以年连续复利率假设以年连续复利率 0.1 计息计息 ,求收益流量求收益流量为为100元元/年的收益流在年的收益流在20年内的现值