高等数学上定积分在物理学上的应用课件

1、上页下页结束返回首页第三节定积分在物理学上的应用 第六六章 上页下页结束返回首页一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力设物体在连续变力 F(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到,bx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的在其上所作的功元功元素素为为xxFWd)(d因此变力因此变力F(x) 在区间在区间 ,ba上所作的功为上所作的功为baxxFWd)(上页下页结束返回首页例例1.一个单一个单求电场力所作的功求电场力所作的功 . qorabrrdr 11解

2、解: 当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时,由由库仑定律库仑定律电场力为电场力为2rqkF 则则功的元素功的元素为为rrqkWdd2所求功为所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处 (a b) , 在一个带在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下, P288-1上页下页结束返回首页S例例2.体体, 求移动过程中气体压力所求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为把容器中的

3、一个面积为S 的活塞从的活塞从点点 a 处移动到点处移动到点 b 处处 (如图如图), 作的功作的功 .ab建立坐标系建立坐标系如图如图.xxdx 由波义耳由波义耳马略特定律知压强马略特定律知压强 p 与体积与体积 V 成反比成反比 , 即即,SxkVkp 功元素功元素为为WdxFdxxkd故作用在活塞上的故作用在活塞上的SpFxk所求功为所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为力为在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 P288-2上页下页结束返回首页例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解:

4、 建立坐标系建立坐标系如图如图.oxm3xxxdm5在任一小区间在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为为Wdxxdg9故所求功为故所求功为50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )设水的密设水的密度为度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为底圆半径为3m, P289-3上页下页结束返回首页面积为面积为 A 的平板的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 深为深为 h 处的压强处的压强: hpgh当平板与水面平行时当平板与水

5、面平行时, ApP 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为上页下页结束返回首页小窄条上各点的压强小窄条上各点的压强xpg33g2R例例4. 的的液体液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系建立坐标系如图如图. 所论所论半圆半圆的的22xRy)0(Rx 利用对称性利用对称性 , 侧压力元素侧压力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为端面所受侧压力为xd方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆

6、桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 P290-4上页下页结束返回首页0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明:当桶内充满液体时当桶内充满液体时, )(gxR 小窄条上的压强为小窄条上的压强为侧压力元素侧压力元素Pd故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxRRxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd上页下页结束返回首页三、三、 引力问题引力问题质量分别为质量分别为21, mm的质点的质点 , 相距相距 r ,1m2mr二者间的引力二者间的引力 :大小大小:221rmmkF 方向方向:沿两质点的连线沿两

7、质点的连线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力, 则需用积分解决则需用积分解决 .上页下页结束返回首页例例5. 设有一长度为设有一长度为 l, 线密度为线密度为 的均匀细直棒的均匀细直棒,其中垂线上距其中垂线上距 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的质点的质点 M,M该棒对质点的引力该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系建立坐标系如图如图.y2l2l,dxxx细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直故垂直分力元素分力元素为为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在在试计算试计算FdxFdyF

8、dxxdP291-5上页下页结束返回首页利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk由对称性由对称性,棒对质点引力的棒对质点引力的水平分力水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的故棒对质点的引力大小引力大小为为2lFdxFdyFdMy2laox xxxd棒对质点的引力的棒对质点的引力的垂直分力垂直分力为为 上页下页结束返回首页y2l2laoxxxdx说明说明:amk22) 若考虑质点克服引力沿若考虑质点克服引力沿 y 轴从轴从 a 处处1) 当细棒很长时当细棒很长时,可视可视 l 为无穷大为无穷大 ,此时引力大小此时引

9、力大小为为方向与细棒垂直且指向细棒方向与细棒垂直且指向细棒 .移到移到 b (a b) 处时克服引力作的功处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd则有则有22412llmkFaa上页下页结束返回首页loxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时当质点位于棒的左端点垂线上时, 上页下页结束返回首页内容小结内容小结(1) 先用微元分析

10、法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.条条、段段、环环、带带、上页下页结束返回首页(99考研)思考与练习思考与练习提示提示: 作 x 轴如图.ox30 xxd1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s , 问克服重力需作多少焦耳(

11、J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N ,上页下页结束返回首页提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 处所需时间 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重: 上页下页结束返回首页xyoAB2.

12、设星形线设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方度的大小等于该点到原点距离的立方,提示提示: 如图如图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点在点O 处有一单处有一单 位质点位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.上页下页结束返回首页同理同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy

13、故星形线在第一象限的弧段对该质点的故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytaxxyoAB),(yxsd引力大小为引力大小为作业作业: P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12上页下页结束返回首页锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lgloyxy则其方程为问斜边与水面交成的xxxdsin0lP上页

14、下页结束返回首页)cos(cos633lgP,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故此唯一驻点0即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即0sincos3sin2, ),0(2loyxyxxxd上页下页结束返回首页四、转动惯量四、转动惯量 (补充补充)质量为质量为 m 的质点关于轴的质点关于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为l2rmI 的质点系的质点系),2, 1(,nimrlii质量为的距离为与轴21iniirmI若考虑若考虑物体物体的转动惯量的转动惯量 , 则需用积分解决则需用积分解决 .r关于轴关于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为m上页下页结束返回首页例例6. 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; 求圆盘对直径所在轴的转动惯量求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .解解: 建立坐标系建立坐标系如图如图.设圆盘面密度为设圆盘面密度为 .的对应于d,xxx小圆环质量小圆环质量xx d2对应于对应于d,xxx的小圆环对轴的小圆环对轴 l 的转动惯量为的转动惯量为xxId2d3故圆盘对轴故圆盘对轴 l 的转动惯量为的转动惯量为RxxI03d2421R221R