双曲线的渐近线和离心率问题

1、第 30 练 双曲线得渐近线与离心率问题 题型分析 ·高考展望 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也就是高考热点,其性质就是考查得重点 ,尤其就是离心率与渐近线、 考查形式除常考得解答题外 ,也会在填空题中考查 ,一般 为中等难度、熟练掌握两种性质得求法、用法就是此类问题得解题之本、常考题型精析题型一 双曲线得渐近线问题例 1 （1）（2015·重庆）设双曲线 错误! 错误! =1（a>0,b>0）得右焦点就是 ，左,右顶点分别 就是 A,A2，过 F作A1A2得垂线与双曲线交于 B,C两点,若 A1BA2,则该双曲线得渐近线 得斜率为 、（ ）（014·

2、;江西）如图，已知双曲线 :错误!-y2=（a>）得右焦点为 F、点 A,B分别在得 两条渐近线上 ,AFx 轴,ABOB,BFOA（为坐标原点 ）、 求双曲线 得方程 ; 过 C 上一点 P（x0,）（y00）得直线 : f（ xx,a2） yy与直线 F 相交于点 ， 与直线 x f（3 ,2）相交于点 N、证明:当点P在C上移动时， 错误!恒为定值 ,并求此定值、 点评 （1）在求双曲线得渐近线方程时要掌握其简易求法、由y±b? 错误! ±错误 !=0?错误!-错误! ,所以可以把标准方程 错误!-错误!1（>0,b>0）中得“”用“0”替换 即可得

3、出渐近线方程、（ ）已知双曲线渐近线方程： y=错误! ,可设双曲线方程为 错误!错误!=（0）,求出 即得双曲线方程、变式训练 1 （014·山东改编 ）已知 a>>，椭圆 C得方程为 f（x2,a2）+ （y2，2）=, 双曲线 2得方程为 错误!错误!=，1与 C2得离心率之积为 错误! ，则2得渐近线方程 为_ _ _ _ _、题型二 双曲线得离心率问题例 2 （1）（21·湖北改编 ）将离心率为 1 得双曲线 C1得实半轴长 与虚半轴长 b（ab） 同时增加 m（m>0）个单位长度，得到离心率为 2 得双曲线 C2,则下列命题正确得就是 _对任意

4、得 ,b, >e；当 a>b 时， e> 2;当 a<b 时,1<e2; 对任意得 a,， e1<e2; 当 a>b 时,e1<e2；当 a<b 时， 1>e2、（2）已知 O 为坐标原点 ,双曲线 错误 ! -错误 ! 1（ a>， b> ）得右焦点为 F,以 OF 为直径作 圆交双曲线得渐近线于异于原点得两点、B,若（错误 !错误!）·错误! 0,则双曲线得离心率 e 为 、点评 在研究双曲线得性质时 ,实半轴、 虚半轴所构成得直角三角形就是值得关注得一个重要 内容；双曲线得离心率涉及得也比较多、由于e=错误

5、 ! 就是一个比值，故只需根据条件得到关于 a、b、c 得一个关系式，利用 b2c22消去 ,然后变形求 ，并且需注意 e>1、同 时注意双曲线方程中 x,y 得范围问题、变式训练 2 （ 014·湖南）如图,O 为坐标原点 ,椭圆 C1:错误! 错误! =1（a>b>0）得左、右焦点分别为 F、F2,离心率为 e;双曲线 C2:错误! -错误! =1 得左、右焦点分别为 F、，离心率为 e、已知 e1e2=错误 !，且 F4=错误 !-1、（1）求 C1，C2得方程 ;（2）过 F1作1得不垂直于 y轴得弦 AB,M 为 AB 得中点 ,当直线 OM 与 C2交于

6、 P,Q两点时,求四边形 AB面积得最小值、题型三 双曲线得渐近线与离心率得综合问题x例 3 （ 2014·福建 ）已知双曲线 E： 2-f（ 2,b2） 1（ a>0， > 0）得两条渐近线分别为 l a:2x,2:y 2、（1） 求双曲线 得离心率 ;（2）如图 ,O为坐标原点 ,动直线 l 分别交直线 1,l于A，两点（A,B分别在第一、四象限 ），且 OA得面积恒为、试探究 :就是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点得双曲线 E？若存在 ,求出双曲线 E得方程;若不存在 ,请说明理由、点评 解决此类问题 :一就是利用离心率公式 ,渐近线方程 ,斜率关系等列方程组

7、、二就是数形结合，由图形中得位置关系，确定相关参数得范围、变式训练 3 （2014 ·浙江）设直线 x-3y+m0（m0）与双曲线 f（x2,a2）错误 ! =1（ > 0， b>0） 得两条渐近线分别交于点 A,B、若点 P（m,0）满足 PA= ，则该双曲线得离心率就是 _ _高考题型精练1、（015·课标全国改编）已知 M（x0,0）就是双曲线 :错误! y2=1上得一点,F1,F2就是 C得两个焦点，若 错误 !·错误 !<0，则 y0得取值范围就是 _2、（01·镇江模拟 ）已知< <错误! ,则双曲线 1:错误!

8、错误! 与 C2:错误!错误!=1得 相等、 （填序号 ）实轴长；虚轴长 ;离心率 ;焦距、3、已知双曲线 x2错误! =1（ a> ,b>0）得两条渐近线均与圆 C:x26 0相切， a且双曲线得右焦点为圆 得圆心,则该双曲线得方程为 _ _ _、 4、以椭圆错误! 错误! 1得右焦点为圆心， 且与双曲线 错误!-错误!=1 得渐近线相切得圆 得方程就是 _ _ _ _、已知双曲线 错误 !错误 !=（>0,b>0）以及双曲线 错误!-错误!=1 得渐近线将第一象限三等分 ,则双曲线 错误! -错误! 1得离心率为 _ _ 6、 （2015 镇·江模拟 ）已

9、知双曲线 C:x22-（ y2,b2）=1 （a>0,b>0）得左,右焦点分别为F1，F2，过 F2作双曲线 C 得一条渐近线得垂线 ,垂足为 H,若 F2得中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 得离心率为 _ _ _、7、已知抛物线 =8x 得准线过双曲线 f（ x2,2）错误! =1（>,b>0）得一个焦点 ,且双曲线得离心率为 2,则该双曲线得方程为 、已知双曲线 C 得中心在原点 ,且左 ,右焦点分别为 F,F2,以 FF2 为底边作正三角形 ,若双 曲线 C 与该正三角形两腰得交点恰为两腰得中点,则双曲线 C 得离心率为 _ _、x2 y29、已知 F1，2

10、分别就是双曲线 a2-b2=1 （a> 0,b>0）得左，右焦点 ,过点 与双曲线得一 条渐近线平行得直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点 在以线段 F1F为直径得圆外 ,则双曲线离心率得取值范围就是 、0、过双曲线 f（2,）yb2=1 （a>,>0）得左焦点 F 作圆+y错误!a得切线 ,切点为,直线 EF 交双曲线右支于点 P，若错误 !=错误! （错误! 错误 ! ）,则双曲线得离心率就是2、已知双曲线 a2-错误 !=1 （a>,b>0）得一条渐近线方程为 2xy0，且顶点到渐近 a线得距离为 错误! 、（1）求此双曲线得方程 ;（2）设 P 为双

11、曲线上一点 ,B 两点在双曲线得渐近线上 ,且分别位于第一、二象限 ,若错误! =错误! ，求 AOB 得面积、12、 （2 5·盐城模拟 ）已知双曲线 错误 !-错误 ! （a>0,>0）得右焦点为 F（c,0）、（1）若双曲线得一条渐近线方程为yx 且=2,求双曲线得方程 ;（ ）以原点 O为圆心,c为半径作圆 ,该圆与双曲线在第一象限得交点为A,过 A作圆得切线，斜率为 - 3，求双曲线得离心率、答案精析第0 练 双曲线得渐近线与离心率问题常考题型典例剖析例 1 （） ±1解析 双曲线错误!错误!=1 得右焦点 （c,0）,左,右顶点分别为 A1（a,0）

12、，A2（a,0）,易求错误 !,C错误 !,则kC错误!，kA1B=错误!,又1B与 A2C垂直,则有 kA1·k2=-1,即错误 !·错误 !-1,错误 !=1, = b2,即 a=b,渐近线斜率 =±b=±1、a（2）解 设 F（c，0）,因为 b=1,所以 c错误 !,直线B得方程为 y=-错误! x,直线 F 得方程为 f（ 1,a）（x-c）,解得 B（ f（c,2）,-f（，2a）又直线 A 得方程为 错误 !x，则 A（,f（c,），k=错误!错误! 、 又因为 AB OB,所以错误! ·（-错误! ）-1, 解得 a2 3,故双

13、曲线 C 得方程为 f（2,）- 2=1、由 知 r（ ）,则直线 l 得方程为 错误 !-y y（ y0 0），即 y 错误 ! 、 因为直线 AF 得方程为 x 2,所以直线 l 与 AF 得交点为 （2,错误! ）;3直线 l 与直线 x=32得交点为3N(2，f（，）x0-33y）则错误 !=错误!错误 !=错误! ·错误 !、因为 P（x0，y0）就是 C上一点，则 f（x2，3）y错误 !1,MF2代入上式得=f（4,3） ·错误!NF错误 !·错误! =错误 !, 即所求定值为 错误 !=错误!=错误 !、变式训练 1 x± y 0 c2解

14、析 由题意知 e1= ,e c2,1 ae1·e f（c1，） ·错误 ! 错误 !=错误 !、 又a2=b2+错误!,c错误! a2+b2， c错误 ! a2-b，错误 !错误 ! =1-（错误! ）4,即 1（错误! ）4=错误! , 解得错误!±错误 !,错误!=错误!、 令错误 !错误 ! 0，解得 bx±0, x±r（2）y0、例 2 （ 1） （） r（2）解析 （）由题意 e1 r（f（a2b2,2） 错误! ;双曲线 得实半轴长为 a+,虚半 轴长为 b ,2 f（ +m + b m 22离心率 e2=a+m 2） 错误 ! 、

15、 m 因为 - f（m a-b ,a a+ ），且 a> 0, >0,m>0， a b， a m a所以当 >b时,错误! >0,即错误 !>错误!、又错误 ! >0,错误 !>0,所以由不等式得性质依次可得错误!2>错误 !2,错误 ! 2>1+错误! ,所以错误! >错误! ，即 a e2>e1；同理，当 a<b 时 ,< ,可推得 e<1、a a+m综上 ,当 a>b时 ,e1<e2；当 a< 时,e> e2、（2）如图,设OF得中点为 ，由（错误!+错误!）·错误

16、!0可知 ATOF,又 A 在以 OF 为直径得圆上 , A 错误 ! , 又 A 在直线 y=b上,a=,e=r（2） 、变式训练 解 （1）因为 e1e2=错误! ，所以 错误!·错误!错误!,即 ab=错误!a4，因此 a222,从而 F2（b，），F4（ b,0）,于就是错误 !b=FF4错误 !1,所以 b=1,a2=2、 故 C,C2得方程分别为 错误! +y2=1,错误! y=1、（2）因 AB 不垂直于 y 轴,且过点 F1（-1,0）, 故可设直线 A 得方程为 x=my-1、由错误 ! 得（2+2）y22my1=0、 易知此方程得判别式大于 0、 设 A（x1,1

17、） ,B（x2,2）, 则 y ,y就是上述方程得两个实根 , 所以 12=错误 !,y1y2错误 !、因此 x1 x2 m（1y2）-2 f （ -4，m+ ）,-2于就是 AB 得中点为 M（ -22 ，错误 !），2+2故直线 PQ 得斜率为 2 ,PQ 得方程为 y f（ ,2）x、 由错误 ! 得（2m2）x2,所以 2-m0,且 x2=错误!,y2错误! ，从而 P=2r（x+y） 错误 !、设点 A 到直线 PQ 得距离为 ,则点 B 到直线 P得距离也为 d，所以 错误! 、因为点 A， 在直线 mx2y 0 得异侧 ,所以 （mx+2y1）（ mx2+2 y2） ,于就是 |

18、mx12y1 |mx2+2y2|mx1+2y mx2-22|,2 m2 2 |y1-y2 从而 2 =、m24又因为 |y1-2 =错误 ! f（ · 1 m2，m22）,所以 2d=错误 !、故四边形 PBQ 得面积 S 2 ·P·2错误! =2错误! ·错误! 、 而 0<2 m2 ，故当 m0 时,S 取得最小值 2、综上所述 ,四边形 AP 面积得最小值为 2、例3 解 （1）因为双曲线 E得渐近线分别为 yx, y=-2x,所以错误 !=2,所以 错误 !=2,故 c= 错误 ! ,从而双曲线 得离心率 e=错误 !错误 !、（2）方法一

19、 由（）知,双曲线 得方程为 错误! -错误! =1、 设直线 l 与 x 轴相交于点 C 、当x 轴时,若直线 l 与双曲线 E有且只有一个公共点 , 则 OC a， AB=4a、又因为 OAB 得面积为 ,所以 （1，2） O··B ,因此 错误! a· a8,解得 =2,此时双曲线 E 得方程为（ x2,4）错误! =、 若存在满足条件得双曲线 E，则 E 得方程只能为 错误 !-错误 ! 1、以下证明 :当直线 l 不与 x 轴垂直时 , 双曲线 E:错误!错误! 1也满足条件设直线 l 得方程为 y kx,依题意 ,得 k>2 或 k<-2,

20、则（错误 !,0）.记 A（ x,y1）, B（ x2,2）.由错误!得 y1=错误! ,同理,得错误 !、由 S AB= 2|C·|1-y2,得错误 ! |错误! | ·|错误 !错误 !=8，即 m2=4|4-k2|=4（k2-4）由错误 !得（4-k2）x22kmxm2 =0、因为 4-k <,所以 422+4（4- ）（m21）= 16（ k2-m216）.又因为 =4（ k2） ,所以 ，即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点因此，存在总与 有且只有一个公共点得双曲线 E,且 E得方程为 错误! -错误! 、 方法二 由（1）知,双曲线 得方程为 错误 !

21、错误 !1、设直线 l 得方程为 x my+,A（ x1,） ,（x2,y2）依题意得 2 <m<f（ ，2）、由错误 ! 得 y = 错误 ! ，同理 ,得2=f（ 2t，1+2m）、 设直线 l 与轴相交于点 C，则 （t，）. 由 S AB=错误 ! ·OC ·|y1-y2| , 得 错误 !|·错误! 8、所以 t2 4|1-4m2| 4（1 4m2）.由错误 !得（ 4m2-1）2+8ty 4（22）0、因为 4m2 1，直线 l 与双曲线 有且只有一个公共点当且仅当 =64m22-16（4m ）（t 2）0,即 4m2a2+22= ,即 4

22、ma+4（1-4m2）-a20,即（14m2）（a2-4） 0，所以 4，因此，存在总与 有且只有一个公共点得双曲线 E,且 E 得方程为 错误 !错误 !1、变式训练 3 错误 !解析 双曲线 （x,a2）错误! 得渐近线方程为 ±错误 !x、由错误 !得 A（错误! ,错误! ）,由错误 !得 B（错误! ,错误! ）,所以 AB 得中点 C 得坐标为 （错误 !,错误 !）.设直线 l：3m 0（ ），因为 PAP,所以 PC l,所以 kC 3，化简得 a2= 、在双曲线中， c2=a b2 5b2, 所以 e= a =f（r（） ,）、常考题型精练1、错误!解析 由题意知

23、a错误 !,b ,c=错误 ! ， 1（-错误! ,）,F2（错误 !,），错误 ! =（-错误! x0,-y0）,错误! =（错误! x0,-y）.错误 !·错误! < ,（-错误! x0）（错误!-x0）y错误! <,即 x错误 ! 3+y错误! <0、点 M（0,y0）在双曲线上 ,错误 ! y错误! =1,即错误 !=22错误!，2+2y错误! 3 y错误! <0， 错误! < y0<错误! 、2.解析 双曲线 C:e错误 ! =错误! 错误! ,双曲线 ：e错误!=错误!=+an2=错误!, C1,C2得离心率相等、 错误!-错误!=x2

24、解析 双曲线 x 2错误 !=1 得渐近线方程为 y±错误 !x， 2圆 C 得标准方程为 （x） 2 2 ,圆心为 （3,） .又渐近线方程与圆 相切 ,即直线 bx =0与圆 C 相切,错误! ， 5b2 a2、x2 又xa2-错误!=得右焦点 2（错误! ,）为圆心 C（3,0）,a 2b=、 由 得 2 5,b 4、双曲线得标准方程为 ( 2，5) y =1、4 x2y2-1 0解析 由于右焦点 (5，0)到渐近线 4x-3=得距离 d f(20,)4,所以所求得圆就是圆心坐标为(5,0),半径为 4 得圆 .即圆得方程为 x2y2-1x9=、5、错误!或2x2 y解析 由题

25、意 ,可知双曲线 2=1 得渐近线得倾斜角为 30°或 60°,则 (b,) 错误! 或 a 23、则 e=错误! 错误!= 错误! 错误!错误!或 2、 6、错误!解析 取双曲线得渐近线 y=错误! x,则过 与渐近线垂直得直线方程为 y-错误! (x-c),可解得点 H得坐标为 错误!,则2H得中点 M得坐标为 错误! ,代入双曲线方程 错误!-错误!1可2 2 a2+c 2得 2 2 -错误!1,整理得 c2=2,即可得 e=错误! 错误!、 42c27.x=解析 由 y2=8,2p=8,p ,其准线方程为 x即双曲线得左焦点为 (-2,0), c=2,又 e=2,a 1,b2=c2 a 3, 故双曲线得方程为 f(y2,3)=、 r(3 )解析 设以 F 12为底边得正三角形与双曲线 C得右支交于点 M,则在 tM1F2中,可得F2=2c,1 r(3)，F2,由双曲线得定义有 MF1MF22a，即 cc=2,所以双曲线 C 得离心率 e错误!=错误 !错误 !+、9.（2, ）解析 双曲线 （x2,a2）-错误! =1 （a>0,b>0）得渐近线方程为 y±错误! ，设直线