待定系数法分解因式含答案

1、待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认 真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便 可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定 系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧

2、等。例1分解因式-十思路1因为所以设原式的分解式是.，1 ?'-'然后展开，利用多项式的恒等，求出m,n, 的值。比较系数，得.mn=l5由、解得把'代入式也成立。+ 乂 ：，| ：;, - | -；：-*； 一 - J -':思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出 m,n的值。解法2因为f所以可设因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令1| 得迸町=-：'令.，| -一 得 一 匚逬 一 ：-：一 1 二'解、得 J ' 或 ' - _ “ - - 二把它们分别代入恒等式检验，得;.；'

3、;+ 叮-!' I - '|-) + : I / +-' I说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方 程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程 组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。例 2 分解因式:/ 二'- 一二:思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之 积。解设二-:Fa+ b = -1 (D由恒等式性质有：ab+ 6=4b =由、解得1 -I代入中，式成立。说明若设原式_I由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式-+ I -例3在关于x的二次三项

4、式中，当丁 =：时，其值为0;当? = - 时，其值为0;当丁= I 时，其值为10，求这个二次三项式。思路1先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可 考虑利用恒待式的性质。解法1设关于x的二次三项式为“匸 .把已知条件分别代入，得a-i- b+ c = 0(D?a+3b+ c = 04a + 2b + c- 0故所求的二次三项为丄，:思路2根据已知亠一时，其值0这一条件可设二次三项式为- -:-1然后 再求出a的值。解法2由已知条件知当 -I 时，这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为"-.；把工=二代入上式，得：1解得=:故所求的二次三项式为

5、-人-即广说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。例4已知多项式二一:/ 昭7的系数都是整数。若 门十是奇数，证明这个多项式 不能分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其 他知识推出这种分解是不可能的。证明：设：一 +-+；. -】< -'-:- J-（ m, n,r 都是整数）。比较系数，得因为 :.是奇数，则匚-二与d都为奇数，那么 mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。在式中令丁 =：，得 |一.|由-,一是奇数，得.： .L是奇数。而 m为奇数，故：-翼是偶数，所以是偶数。这样的左边是奇数，右边

6、是偶数。这是不可能的。因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。例5已知- j - ' .-能被t 一整除，求证：/-1思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设.展开，比较系数，得C由、，得，代入、得匸-1例6若a是自然数，且 _；的值是一个质数，求这个质数思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得由于a是自然数，且L/-.- L.;'-是一个质数， 显二.丄 .i| J 一解得'二

7、当八：时，、-）”不是质数。当一、.二:时，- -是质数。_/ d 1亠汀 j. =11.练习A级1、分解因式宀测二.2、若多项式 女丄心-幻'+工+" I能被3-y +4整除，贝U n=.3、 二次三项式当二=1时其值为-3，当工=时其值为2,当 f 时其值为5,这个二次三项式是.4、m,n是什么数时，多项式.Y1'讥.能被寸 二-整除？B级5、 多项式 加+2貯_,斗女-弘从能分解为两个一次因式的积，贝Uk=.6、若多项式 泸-5护T1X *也* 5能被（x-1）3整除，贝U朋+甸=.7、 若多项式当兀1,2时的值均为0,则当x=时，多项式的值也是0。8、 求证：

8、-厂-不能分解为两个一次因式的积。 参考答案或提示：1. . -'： ' /提示：设原式.1 '： . 比较两边系数，得fat = 4,由、解得将丄'代入式成立。原式-. 1 11 -12、-4提示：设原式 I 4 :- 1 ? 1 .比较系数，得由、解得- i代入得：?=-3、二 7 j提示：设二次三项式为： '!'把已知条件代入，得。=3,解得ib-4.e = -2,kI所求二次三项式为-人 二J4. 快 一11/ 4比较系数，得.当m=-11, n=4已知多项式能被 f 整除。5. -2提示：设原式=3 + 2xy-y2 + （必 4 3m）x + （遇一疏）_y + 腴何.比较系数，得6. -7提示：设原式 -f - I： ' -比较系数，得 -11, 解得