第十章级数ppt课件

1、一、以一、以2L2L为周期的傅氏级数为周期的傅氏级数,2lT .2lT 定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏级数中代入傅氏级数中为为其其中中系系数数nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为为奇奇函函数数如如果果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(2

2、0dxlxnxflbblnn 为为其其中中系系数数), 2 , 1( n,)()2(为为偶偶函函数数如如果果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其其中中系系数数), 2 , 1 , 0( n证明证明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为为周周期期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn )sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxl

3、nxfla其其中中)()(xfzFlxz 二、典型例题二、典型例题k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.解解., 2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx

4、 na), 2 , 1( n例例 2 2 将函数将函数 15510)( xxxf展开成傅展开成傅氏级数氏级数.解解,10 xz作变量代换作变量代换155 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的的定定义义补补充充函函数数 zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作作周周期期延延拓拓然然后后将将,收敛定理的条件收敛定理的条件这拓广的周期函数满足这拓广的周期函数满足).()5, 5(zF内内收收敛敛于于且且展展开开式式在在 x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1(

5、n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n三、小结三、小结利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条

6、件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf以以2l为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;一、一、 设周期为设周期为2的周期函数的周期函数)(xf在一个周期内的表达式在一个周期内的表达式为为 121,1210,101,)(xxxxxf, ,试将其展开成傅里叶级试将其展开成傅里叶级 数数 . .二、二、 试将函数试将函数 lxlxllxxxf2,20,)(展开成正弦级数和余展开成正弦级数和余弦级数弦级数 . .练练 习习 题题三、三、 将函数将函数 232,22,)(xxxxxf展开成展开成傅里叶级数傅里叶级数 . .练习题答案练习题答案一、一、 4)(xf 122sin2cos21cos2sin2)1(1nnxnnnxnnnn ), 2, 1, 0,212,2( kkxkx. .二、二、)0(sin2sin14)