《数值计算方法》试题集及答案

1、数值计算方法试题集及答案（同名6837）数值计算方法复习试题38、填空题:011、分解为4，则A的LU答案:141511540156152、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)血，则用辛普生（辛卜生）公式计3f(x)dx算求得1，用三点式求得f答案：2.367,0.253、f（1）1,f（2）2,f1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系朗日插值多1L2(x)二(x2)(x3)2(x1)(x答案：-1,213)1(x1)(x2)4、近似值x*0.231关于真值x0.229有（2）位有效数字;5、设f（x）可微,求方程xf（x）的牛顿迭代格式是（);xnf(xn)xn1xn|1f(xn)

2、6、对f(x)x3x1,差商f0,1,2,3(1),f0,1,2,3,4);7、计算方法主要研究（截断）误差和（舍入）误差;10、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);i11、两点式高斯型求积公式0f(x)dx-1f(x)dx-f(X3_2)f(3)(022V32v；3)，代数精度为(5)；12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)O13、y 10一为了使计算x 1 (x6口1)3的乘除法次数尽量地y少，应将该表达式改写为_舍入误差，应将表达式2001110 (3 (4 6t)t)t

3、,t x 1_,为了减少2J1999 改写为J2001。1999。1厂14、计算积分0.5d改,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309一.梯形公式的代数精度为辛卜生公式的代数精度为3。3x15x2115、求解方程组0.2x14x20斯高斯一塞德尔迭代格式为_x(k1)(15x2k)/3x2k1)x1)/20一该迭代格式的迭代矩阵的谱半径(M)=116、设f(0)0，f(1)16,f(2)46,则l1(x)l1(x)x(x2)_,f(x)的二次牛顿插值多项式为N2(x)16x7x(x1)17、bf(x)dx求积公式anAkf(xk)k

4、0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n1)次代数精度。18、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51f(x)dx=(12)o19、设f(1)=123、1o(x),1i(x),l函数，则nlk(x)f(2)=2,f(3)=0,用三点式求(x)是以整数点x0,x1,凡为节点的f(2.5)。Lagrange插值基k0n(x4k02xk3)lk(x)26、(改变函数f(x)1,x1x29、nxklj(xk)k0(xj)x231x(x)o1)的形式，使计算结果较精确若用复化梯形公式计算项公式估计，至少用1axK0,要求误差不超过106,利用余477个求积节点。3

5、0、写生求解方程组x11.6x210.4x1x2的Gauss-Seidel迭代公式k1kx111.6x2k01x2k120.4x1k1,迭代矩阵为1.60.64,此迭代法是否收敛收敛A31、设32ALU,贝UU2o33、若f(x)3x42x1,则差商f2,4,8,16,323421、数值积分公式1f(x)dx9f( 1)8f(0) f(1)的代数精度为35、11线性方程组101121101523乘解为36分解为ALU1、2430110 321 2单项选择题:Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是(A . A的各阶顺序主子式不为零B.(A)C.aii0,i1,2, ,nD. IA2、317

6、 ,则(川为(C )A.B. 5C.D. 34、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是(B)。D.各阶顺序主子式均不为零5、A.C.6、7、A.舍入误差是（只取有限位数观察与测量）产生的误差。3.141580是兀的有（A.6B.模型准确值与用数值方法求得的准确D.数学模型准确值与实际值B）位有效数字的近似值B.5C.4用1+x近似表示所产生的误差是（C模型B.观测C.截断）误差。D.7D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是A.C.控制舍入误差防止计算时溢出B.减小方法误差D.简化计算9、用1+3近似表示所产生的误差是（D）误差。舍入B.观测模型D.截断10、-

7、324.7500是舍入得到的近似值，它有（）位有效数字。A.5B.6C.7D.811、设f(-1)=1,f（0）=3,f（2）=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A.05B.0.5D.-213、(D)的3位有效数字是0.236X102。(A)0.0023549X103(B)2354.82X10-2(C)235.418(D)235.54X10114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点15、用列主

8、元消去法解线性方程组3x1Xi4x1x24x312x29x303x2x31,第1次消元,选择主元为(A)。(A)-4(B)3(C)4(D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是(B，牛顿插值多项式的余项是(A)f(x,x0,x1,x2,(B)Rn(x)f(x)Pn(x),xn)(X(xx2)(x-xn1)(xxn),f(n1)()(n1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xR)(xc0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(D)Rn(x)f(x)Pn(x)(n1)()(n1)!n1(X)17、等距二点求导公式f(x1)(A)。f(X1)f(Xo)(A)XiXof(X1)f(Xo)f(Xo)

9、f(Xi)f(X1)f(Xo)(B)(C)(D)X0XiXoXiXiX018、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A，则它的解数列xnn=0,1,2,定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(X0)f(x)0(B)f(4)f(x)0(C)f(X0)f(x)0(D)f(X0)f(x)019、为求方程x3r2T=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。2x(A)1,，迭代公式:Xk1X11Xk1X(B)3(C)x口，迭代公式:Xk1Xx2,迭代公式：xk121/3(1xk)3X(D)x2,迭代公式：xk121、解方程组Ax

10、b的简单迭代格式x(k1)Bx(k)g收敛的充要条件是()(1)(A)1,(2)(B)1(A)1,(4)(B)1nC(n)Ci22、在牛顿-柯特斯求积公式:f(x)dx(ba)G(n)f(Xi)i0中，当系数X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是(O(1)二次;(2)三次;(4)五次)n10,(4)n6,是负值时，公式的稳定性不能保证，时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)n8,(2)n7,(3)23、有下列数表所以实际应用中，当(3)四次；25、取点1.732计算x陋1)4,下列方法中哪种最好?16()16(A)2816痣；(B)(4

11、2后;(C)(42T3)2；(D)(V31)4。X11.522.533.5“为)-10.52.55.08.011.5(C)(B)4；(D)(A)5；计算73的Newton迭代格式为(27、由下列数表进行次数是(3；2。Newton插值，所确定的插值多项式的最高)29、(A)32、9xk3xk1xk12xk；(B)设li(x)是以xkk(kxk3万双；(C)xk1)xk-2xk；(D)xkxk1一k13kli(k)k0(A)()(B)33、5个节点的牛顿度(A)5；35、已知方程不收敛的是(B)4;2x)0，1，L为节点的Lagrange插值基函数,xko则(C)i；(D)-柯特斯求积公式，至少

12、具有(C)6；(D)3)次代数精。在x2附近有根，下列迭代格式中在x02(A)xk13352x35(B)3(C)xk1xkXk(D)x01234f(x)1243-536、由下列数据)确定的唯一插值多项式的次数为(A)4;(B)2;(C)1;xk1(D)3O四、计算题：4x12x2x311x14x22x3181、用高斯-塞德尔方法解方程组2x1x25x322(0)Tx(0,0,0),迭代四次(要求按五位有效数字计算)答案：迭代格式1(112x2k)x3k)41(18x1(k1)2x3k)4kx1(k)x2k)(k)x3000012.75003.81252.537520.209383.17893.

13、680530.240432.59973.183940.504202.48203.70191(222x1(k1)x2k1)51.1.1f(x)dxAf(1)f(1)Bf(-)f(-)求A、B使求积公式122的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求1 x (保留四位小数)。2答案：f(x)1,x,x是精确成立，即2A2B2122A-B-23求积公式为11f(x)dx19f(1).8.1.1f(1)8ft)%)34当f(x)x时，公式显然精确成立；当f(x)x时，左=5,右=3。所以代数精度为3已知1dx2x 397140dt0.69286'g1 391/2 3 1 2 3分别用拉格朗

14、日插值法和牛顿插值法求xi1345f(xi)2654f(x)式P3(x),并求f的近似值(保留四位小数)(x3)(x4)(x5)(x1)(x4)(x5)L3(x)26答案：(13)(14)(15)(31)(34)(35)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1014P3（X）f(2)P3(2) 5.55、已知Xi-2-1012f (Xi)421351N3(x)22(x1)(x1)(x3)-(x1)(x3)(x4)4正规方程组为15341求f（x）的二次拟合曲线P2（

15、X）,并求f的近似值。:解:iXiyi2Xi3Xi4XiXiyi2Xiyi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415%10a210&a。10,a1P2(x) x71011 2-x14P2（X）3色10311111410f (0)P2(0)-x73106、已知sinx区间0.4,0.8的函数表xi0.40.50.60.710a034a20.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求加0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：

16、应选三个节点，使误差M3|R(X)|三|3(X)|尽量小，即应使3(X)I尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5，0.6，0.7最好，实际计算结果Sin0.638910.596274且sin0.638910.5962741.(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)3!140.55032107、构造求解方程ex10X20的根的迭代格式xn1(Xn)，n0，1,2,讨论其收敛性，并将根求由来,I Xn 1Xn I10 4答案：解：令f(x)ex10x2,f(0)20,f(1)10e0.Mf(x)ex100对x(，)，故f0在(0,1)内有唯一实

17、根将方程f(x)0变形为1X.x(2e)10则当x(0,1)时xeee(x)10(2ex)|(x)|10101故迭代格式xn1：10(2exn)收敛。取X00.5,计算结果列表如下：n01230.0351270.0964240.089877xn0.5872785325n45670.0905950.0905170.0905250.090525xn9933409500086且满足|x7x6|0.0000009510.所以x0.090525008、利用矩阵的LU分解法解方程组xi2xi3xi2x25x2x23x32x35x3141820o答案：解:11 2A LU 21135 13424令 Ly b

18、得 y (14, 10, 72)T Ux y得 x(1,2,3)T3x1 2x2 10x3 1510Xi 4x2 x3 59、对方程组 2x1 10x2 4x3 8(1)试建立一种收敛的 Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值 x(0)(0，0，0)要求 IIx(k 1) x(k) |10T,利用(1)中建立的迭代公式求解,3O解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x1 4x22x1 10x2 3x1 2x2x354x3 810x3 15故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为(k x11)(k x21)(kx31)1101101102x(k3x(k1)1)4x2k)x3k)

19、 5)4x3k) 8)2x2k 1)15)取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得:x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T11、用列主元素消元法求解方程组X1X2X341211o解:14312111r112411154312543121-r150282r30131792555555-r11317912850一05555551r2131213155513795513回代得x31,x26,Xix在区间0,1上的二次插12、取节点x00，x10.5，x21,求函数f(x)e值多项式P2(x),并估计误差。解:P2(x)e0(x0.5)(x1)(00.5)

20、(01)0.5e(x0)(x1)(0.50)(0.51)0)(x0.5)(10)(10.5)一一05一1一2(x0.5)(x1)4e.x(x1)2ex(x0.5)f(x) e x, f又(x)e x,M3max | f (x) | 1x 0,1故截断误差|R2(x)| |e1P2(x)| |x(x 0.5)(x 1)|oy(1.5)y3 1.07334,y(2.0) y4 1.1260414、给定方程f(x) (x 1)ex 1 01)分析该方程存在几个根;2)用迭代法求生这些根，精确到5位有效数字;3)说明所用的迭代格式是收敛的。解：1)将方程(x 1)ex 1 0(1)改写为(2)作函数L

21、(x) x 1x*一_一.f2(x)e的图形(略)知(2)有唯一根x(1,2)o2）将方程（2）改写为构造迭代格式xk 11 e xkx0 1.5(k 0,12 )k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.27846计算结果列表如下:当x1,2时,(x)(2),(1)10,且3)(x)1ex(x)ex(x)|e所以迭代格式Xk 1(xk) (k0,1,2,）对任意x0 1,2均收敛。15、用牛顿（切线）法求。3的近似值。取X0=1.7,计算三次，保留五位小数。解:2<3是f(x) x 3 0

22、的正根,f (x)2x,牛顿迭代公式为x2 3xn 1xnxnx031 (n 0,1,2,)22 xnn123xn1.732351.732051.73205取xo=1.7,列表如下:2 xn16、已知 f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多项式L2（x）及f （1, 5）的近似值，取五位小数。解:(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)L2 (x) 23(1 1)( 1 2)(1 1)(1 2)4 (x 1)(x 1) (2 1)(2 1)234-(x1)(x2)-(x1)(x2)-(x1)(x1)3231f(1.5)L2(1.5)0.041672417、n

23、=3,用复合梯形公式求1 xd0e的近似值(取四位小数)，并求误差估计o解:1 x0edx10 r 01 3T3 e2(e2 31-)e 1.7342f(x) ex,f (x) exx 1时,I f (x)| e|R| |exT3Ie12 32e1080.0250.05x1x2x3解：Gauss-Seidel迭代格式为:(k x11)(k x21)(k x31)3(1 3(4(k) x35)x(k 1)(k x11)(k x21)1)8)至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。31严格对角占优,故 Gau

24、ss-Seidel迭代收敛.系数矩阵1取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下：kxik)x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、据:解:（8分）用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数AT1192解方程组11252 312AT AC1382ATy19.0 32.3 49.0 73.3其中ATA4339133913529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025 所以0.9255577 ,21、(15 分)1用n 8的复化梯形公式（或复化b 0.0501025S

25、impson公式)计-x0e dx 时,Simpson试用余项估计其误差。用 n 8的复化梯形公式（或复 公式）计算由该积分的近似值。解：RTfT(8)b a 2 h2f1272f(xk)k 1f(b)11 2 (0.88249690.535261411210-e8210.001302 7680.77880080.472366550.606530660.41686207) 0.36787947xi19253038*19.032.349.073.32、span1,x0.632943422、（15分）方程x3x 1 0在x 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） x对应迭代格式xn 1

26、 3rQI ； x X 对xn 1应迭代格式迭代格式在x01 k ； (3) x x3 1对应迭彳t格式xn1.5的收敛性，选一种收敛格式计算x31 xn 1 o判断1.5附近的根，精确到小数点后第三位解：(1)(x)1、(x)y1)1。5)0.181,故收敛;(3)(x)选择(1)：2x23x2x01.511x,(1.5)(1.5)31.520.171,故收敛;X11.3572X2,故发散1.3309ox31.3259x41.324923、(8分)x51.32476已知方程组x61.32472AXf,其中341 f14列由Jacobi求由Jacobi(1)(2)243024迭代法和Gauss

27、-Seidel迭代法的分量形式迭代矩阵的谱半径。x1(k1)-(243x2k)4解：Jacobi迭代法:x2k1)-(303x，x3k)4x3k1)I24x2k)4k0,1,2,3,x3k1)Gauss-Seidel 迭代法:0BjD1(L U)34034 0340340(Bj).外似/) 0.790569x1(k1)1(243x2k)4k1)1(303x1(k1)x3k)41(24x2k1)40,1,2,3,27、（10分）已知数值积分公式为:hh2.0f(x)dx5f(0)f(h)hf(0)f(h),试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。解:f（x） 1显

28、然精确成立;f(x)f (x) x 时,h 2 .x dx0hxdx0f(x)hx3dx0f(x)hx4dx0h33h24h55h2h3h4所以，其代数精确度为28、（8分）已知求n（a3。h2-0 h h 1 1.2 ,2h3h20 2h2 h2h20 3h212 ；h20 4h3126 ;0）的迭代公式为:1 , xk 12(xk0 k 0,1,2证明：对一切k1，2,xk 七 ,且序列xk是单调递减的,从而迭代过程收敛。证明:xk11(xk之)2xkxk/akxk0,1,2故对一切k1,2,xkxk1又xk2(1-4)1(11)1xk2所以xk1xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代

29、过程收敛。29、（9分）数值求积公式3f(x)dx 2f(1)f（2）是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少?解：是。因为x 2 一 p(x)f(1)1 2f(x)在基点1、2处的插值多项式为"f(2)2 13p(x)dx 3 ff(2)。其代数精度为130、(6分)写由求方程4x 8sx 1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(6 分)xn1Xn1一 1 cos xn4, n=0,1,2, 1人-sin x41 一 .1 对任意的初值x°0,“迭代公式都收敛。31、(12 分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算寸115的近似值，并利用余

30、项估计误差。用Newton插值方法：差分表:100100.047619012111-0.00009411360.04347831214411510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755535f'''x-x2f'''81151001151211151443135-1002156290.001636832、（10分）用复化Simpson公式计算积分I1 sin x。丁 的近似Si6 f00.94614588S22f0.94608693S2115S2S10.39310-5

31、或利用余项:sin xxI2 x3!S24 x5!0.946086936 x7!8 x9!(4)1 x2f x 5 7 2!4x9 4!f(4) xb a 52880n42880 5n40.5 10 52, IS236、（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:10 xf x dx A0 fA1f 1取 f(x)=1,x,令公式准确成立，得:1A0A172 ,1Aa12A0A13A0f(x)=x 2 时，公式左右 =1/4; f(x)=x3时，公式左= 1/5,公式右=5/24公式的代数精度=2值，要求误差限为0.5105037、1 2 2A 1 1 1b(15分)已知方程组Ax b,其中 2 2 1,（1）写由该方程组的 Jacobi迭代法和 Gauss-Seidel123迭代法的分量形式；（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种 方法收敛更快；解：（1） Jacobi迭代法的分量形式(k i)(k)x11 2x2(k 1)(k)x22 x1x3k 1)3 2x1(k)Gauss-Seidel(k 1)Xi(k 1) x2(k 1)1 2 x2k)2x；k 1)2x3k)x3k) ;k 0,1,2,L2x2k)迭代法的分量形式2x3k)x3k) ;k 0,1,2,L