勾三股四弦五I

1、第七讲.勾三股四弦五I【教学目标】1. 复习直角三角形及勾股定理；2. 掌握勾股定理的直接应用；3. 掌握构造勾股定理法；4. 掌握勾股定理的综合应用。【知识、方法梳理】 1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：，那么这个三角形是直角三角形.2. 勾股数：满足的三个正整数叫做勾股数（注意：若为勾股数，那么同样也是勾股数组.） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断

2、直角三角形：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形. 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为）；（2）若，则是以为直角的三角形；若，则此三角形为钝角三角形（其中为最大边）；若，则此三角形为锐角三角形（其中为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半. （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于。5.

3、勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边. （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系.（3）用于证明线段平方关系的问题.（4）利用勾股定理，作出长为的线段【典例精讲】类型一：勾股定理的直接用法例1在中， (1)已知， ，求， (2)已知，求； (3)已知，求.【思路点拨】: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用.【解析】： (1) 在中， ， (2) 在中，, (3) 在中，, 类型二：勾股定理的构造应用例2如图，已知：在中，。求：的长。 【思路点拨】：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于，则有，再由勾股定理计算出的长，进而求出的长。 【解析

4、】：作于，则因， （的两个锐角互余） （在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， . . 类型三：勾股定理的实际应用： （一）用勾股定理求两点之间的距离问题例3如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点. （1）求、两点之间的距离. （2）确定目的地在营地的什么方向.【解析】：（1）过点作/ 即为直角三角形 由已知可得：， 由勾股定理可得： 所以 （2）在中， ， 即点在点的北偏东的方向 （二）用勾股定理求最短问题：例4国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现

5、状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄、，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 【思路点拨】：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 【解析】：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为 图（3）中，在中 同理 图（3）中的路线长为 图（4）中，延长交于，则， 由 及勾股定理得： 此图中总线路的长为 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线。类型四：利用勾股定理作长为的线段：例5作长为、的线段.

6、【思路点拨】：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作. 【作法】：如图所示 （1） 作直角边为1（单位长）的等腰直角，使为斜边； （2）以为一条直角边，作另一直角边为1的直角.斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、. 类型五：逆命题与勾股定理逆定理：例6写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确） 2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 【思路点拨】：掌握原命题

7、与逆命题的关系. 【解析】：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确） 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确） 【总结升华】：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。例7如果的三边分别为、，且满足，判断的形状. 【思路点拨】：要判断的形状，需要找到、的关系，而题目中只有条件，故只有从该条件入手，解决问题. 【解析】：由，得 ： , . , , . . , . 由勾股定理的逆定理，得是直角三角形. 【总结升华】：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,

8、在证明中也常要用到。 【双基训练】1.如图，, 则的长是多少? 2.如图，已知：，于. 求证：。 3.已知：如图，.求：四边形的面积. 4. 四边形中，求四边形的面积。 5. 已知:的三边分别为(为正整数,且),判断是否为直角三角形.6.如图正方形，为中点，为上一点，且。请问与是否垂直？请说明。 【纵向应用】7. 一辆装满货物的卡车，其外形高米，宽米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 8. 在数轴上表示的点。 【横向拓展】 9.如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，试求出爬行的最短路程 练习题目答案【双基训练】1.

9、【答案】 又且 由勾股定理可得 的长是4.2. 【解析】：连结，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . 又 （已知）， . 在中，根据勾股定理有 ， . 3.【分析】：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结，或延长、交于，或延长、交于点，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单. 【解析】：延长、交于. ，. . . .4. 【答案】：连结 ， （勾股定理） （勾股定理逆定理） 5. 【分析】:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:即可 【证明】： 所以是直角三角形。6.【答案】答：. 证明：设，则, ，, ； . 连接（如图） . , .7. 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于如图所示，点在离厂门中线米处，且， 与地面交于 【解析】：1米 (大门宽度一半)， 米 （卡车宽度一半） 在中，由勾股定理得： 米， （米）（米） 因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门。8. 【解析】：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完