完全平方公式变形地应用

1、乘法公式的拓展及常见题型整理.公式拓展:拓展一：2 ab2(ab)2 :2ab2 ab2(ab)22ab21(a丄)2221(a丄)22a2a2aaaa拓展二：(ab)2(ab)24aba b 2a2b2a22b2(ab)2(ab)24ab(a b)2(ab)24ab拓展三：2 ab22 c(a bc)22ab 2ac 2bc拓展四：杨辉三角形(ab)33 a3a2b3ab2b3(ab)44 a4a3b6a2b2 4ab3 b4拓展五：立方和与立方差a3 b3 (a b)(a2 ab b2)a3 b3 (a b)(a2 ab b2)二.常见题型：(一)公式倍比a2 b2例题：已知a b =4，

2、求ab。2如果a b 3, a c1,那么2 2 2a bb cc a 的值是x y 1，则丄x2xy1 2 y=222 22已知x(x 1) (xy)2,则-/ xy =(二)公式组合例题：已知(a+b) 2=7,(a-b) 2=3,求值：a2+b 2(2)ab ab 若(a b)27, (a b)213,则 a2 b2设(5a + 3b ) 2= ( 5a 3b ) 2+ A，贝U A=2 2若(x y) (x y) a，贝U a 为2 2如果(x y) M (x y),那么M等于已知(a+b) 2=m , (a b)2=n，贝U ab 等于2 2若(2a 3b)(2a 3b) N，则n的

3、代数式是2 2 2 2已知(a b)2 7, (a b)2 3,求 a2 b2 ab 的值为。2 2 2 2已知实数 a,b,c,d 满足 ac bd 3, ad bc 5，求(a b )(c d )（三）整体代入24 , x y 6，求代数式5x 3y的值。例2 :已知a=11x+ 20 , b= x + 19 ,20201c=x+ 21，求 a2 + b2+ c2 ab bc ac 的值202 2若 x 3y 7,x 9y 49，则 x 3y =若 a b 2，则 a2 b2 4b = 若 a 5b 6，则 a2 5ab 30b =a b已知a2+ b2=6ab且a>b >0,

4、求的值为a b已知 a 2005x 2004 , b 2005x 2006 , c 2005x 2008 ,则代数式 a2 b2 c2 ab bc ca 的值是.(四) 步步为营例题：3 (2 2 +1)(2 4 +1)(28+1)( 216 +1)246(71)(7 +1)(7 +1)8(7 +1)+1a b a b a2 b2b8(2 1) (22 1) (24 1) (28 1) (216 1) (232 1) 12 2 2 220122 201122010220092221242122 010（五）分类配方2 2例题：已知m n 6m 10n 340,求m n的值。已知：x2+y 2+

5、z 2-2x+4y-6z+14=0，贝U x+y+z 的值为。1 i 已知x2+y 2-6x-2y+10=0，贝U的值为。x y已知x2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式x2003 y2004的值为.若x2 y2 4x 6y 130 , x, y均为有理数，求xy的值为。已知 a2+b 2+6a-4b+13=0，求（a+b） 2 的值为说理:试说明不论x,y取什么有理数多项式x2+y 2-2x+2y+3 的值总是正数.（六）首尾互倒1 1 11 例1:已知x - 2,求：（1扌；（2），尹a a例2 :已知a2 7a + 1 = 0 .求的值;2已知x3x10，求若x2 192x +仁0，

6、求x4如果2，那么a已知若a且 0<a<1,(6)已知a2 3a +1 = 0 .已知x已知 a2 7a + 1 = 0 .1x2的值是求a 1和a丄_ _ x1x 2、已知 x1丄的值是a1$的值为a那么的值;例题：已知a b5, ab 3,求：a2 b2a b2 2a b_ a一bba(七)知二求一2 2 a ab b已知m n 2, mn2，则(1m)(1 n)若 a2+2a=1 则(a+1) 2=2 ,2若 a b 7，a+b=5，贝U ab=2 ,2若a b 7,ab =5，贝U a+b=若 x2+y 2=12,xy=4,则(x-y) 2=2 ,2a b 7, a-b=5

7、，则 ab=若2 2a b 3, ab =-4，则 a-b=已知：a+b=7,ab=-12, 求 a2+b 2=a2-ab+b 2=(a-b) 2=已知 a + b=3 , a3+ b3=9，则 ab=,a2+b 2=,a-b=第五讲乘法公式应用与拓展【基础知识概述】、基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2 b 2完全平方公式：(a+b) 2=a 2 +2ab+b 2(a-b) 22=a -2ab+b变形公式：(1)2 .2a b2a b2ab(2)2 2a b2a b2ab(3)2a b2小22a b2a 2b22(4)a ba b4ab、思想方法:a、b可以是数，可以是某个式子；

8、要有整体观念，即把某一个式子看成注意公式的逆用。a2 >0。用公式的变形形式。、典型问题分析:2a或b，再用公式。1、顺用公式：例1、计算下列各题： a b a b a2b2 a4 b4 a8 b8 3(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1)( 216 +1)+12、逆用公式:+2011 2-2012 2例 2. 1949 2-1950 2+1951 2-1952 2+12222010 1.2345 2+0.7655 2+2.469 X0.7655【变式练习】2 填空题：a2 6a = a 4x21 + _= ()26 . x例6化简:+ax+121是一个完全平方式，则a为（A. 2

9、2B. 22C . ±223、配方法:例 3 .已知：x2+y 2+4x-2y+5=0 ，求 x+y 的值。【变式练习】当x时，代数式x2取得最小值，这个最小值是时,代数式4取得最小值，这个最小值是时,代数式4取得最小值，这个最小值是时,代数式x24x3取得最小值，这个最小值是对于2x24x3呢？1已知 x2+y2-6x-2y+10=0 ，求x1的值。y已知：x2+y 2+z 22x+4y-6z+14=0，求：x+y+z 的值。4、变形用公式:例5若x0 ,试探求x z与y的关系。2abed例7.如果3(a18、x2 3x 10，求(1) x 2 (2) x 4 xx b2 c2)

10、(a b c)2，请你猜想：a、b、c之间的关系，并说明你的猜想。完全平方公式变形的应用练习题1、 已知 m2+n2-6m+10n+34=0，求 m+n 的值2、已知x2 y2 4x 6y 13 0，x、y都是有理数，求xy的值。a2 b23 .已知(a b)216,ab4,求与(a b)2 的值。3- 1 .已知(a b) 5,ab 3 求(a b)2 与3(a2 b2)的值。2 .已知a b 6,a b 4求ab与a2 b2的值。3、已知 a b 4,a2 b24 求 a2b2 与(a b)2 的值。4、已知(a+b) 2=60 , (a-b) 2=80，求 a2+b 2 及 ab 的值5

11、 .已知 a b 6,ab 4，求 a2b 3a2b2 ab2 的值。6 .已知 x2 y2 2x 4y 5 0 ,求-(x 1)2 xy 的值。2117 .已知x - 6，求x2 的值。xx9、试说明不论x,y取何值，代数式x2寸6x 4y 15的值总是正数。10、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式3(a2 b2 c2) (a b c)2，请说明该三角形是什么三角形？B卷：提高题、七彩题1.(多题思路题)计算:(1 ) (2+1 ) (22+1 ) ( 24+1 )(22n + 1 ) +1 (n 是正整数)；4016(2) (3+1 ) (32+1 ) ( 34+

12、1 )( 32008 +1 )2 (一题多变题)利用平方差公式计算:2009 X2007 2008 2(1 )一变：利用平方差公式计算:2007220072008 2006(2 )二变：利用平方差公式计算：220072008 2006 1、知识交叉题3 .(科内交叉题)解方程：x (x+2 ) + ( 2x+1 ) (2x 1 ) =5 (x2+3 ).三、实际应用题4 .广场内有一块边长为 2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长 3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？课标新型题1 .(规律探究题)已知 x工1，计算(1+x ) (1 x) =1 x2, (1

13、x) (1+x+x 2) =1 x3, (1 x) (?1+x+x 2+x3) =1 x4 .(1 )观察以上各式并猜想：(1 x) (1+x+x 2+xn) =. (n为正整数)(2)根据你的猜想计算： ( 1 2) (1+2+2 2+2 3+2 4+2 5) =.2+2 2+2 3+ -+2 n= ( n 为正整数).3( x 1 ) (x99 +x 98+x 97+ +x 2+x+1 ) =.(3 )通过以上规律请你进行下面的探索：®( a b) (a+b ) =. a b) (a2+ab+b 2) =.3( a b) (a3+a 2b+ab 2+b 3) =.m， n和数字4

14、.2 .(结论开放题)请写出一个平方差公式，使其中含有字母3.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，？各剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图17 1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1 72所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下.4、探究拓展与应用(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 2 1)(2 2+1)(2 4+1)=(2 4 1)(2 4+1)=(2 8 1).根据上式的计算方法，请计算364(3+1)(3 2+1)(3 4+1)(332+1) 的值.“整体

15、思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击 破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问 题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：2 21、当代数式x 3x 5的值为7时，求代数式3x 9x 2的值.2、已知a3x 20, b 3x 18, c8 83x 16，求：代数式a2 b282c ab ac be 的值。3、已知 x y 4 , xy1，求代数式(X21)( y21)的值534、已知x 2时，代数式ax bxax5 bx3 ex 8

16、 的值ex 810 ,求当 x2时，代数式5、若 M 123456789 123456786, N123456788 123456787试比较M与N的大小2326、已知a a 10，求a 2a 2007的值.一、填空(每空 3分)22231已知a和b互为相反数，且满足a 3 b 3 =18，则a b 2、已知：52n a, 4n b，则 106n 3. 如果x2 12x m2恰好是另一个整式的平方，那么m的值2 24已知aNab 64b是一个完全平方式，则N等于5. 若 a2b2+a 2+b 2+1=4ab，贝U a=,b=6. 已知 10m=4,10 n=5,求 103m+2n 的值7. (

17、a 2+9) 2 - (a+3)(a - 3)(a 2+9)=1 2 1 18. 若 a =2,则 a 2a4+ 4 =aaa9. 若 &x 2 + y +(3-m) 2=0，则(my) x=8n 4 3n2110. 若 5 25 12525 ，则 n 2n3n 22 2n11. 已知 m3, (3m)4 m 212. 已知x mx nxax 12( m,n是整数)则a的取值有种222313. 若三角形的三边长分别为a、b、c,满足a b a c b c b 0 ,则这个三角形是14. 观察下列各式(x 1 )(x + 1)=x 2 1 ,( x-1 ) (x2 + x + l)=x3 I.(x l) (x3+ x2+ x + l) =x 4-1,根据前面各式的规律可得(x 1 )(xn + xn-1+ + x+ 1 ) =.二、计算(每题6分)(1) (2x y z 5)(2x y z 5)(2) (a 2b 3c)