怎样证明两线段相等与两角相等

1、1怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程解决 此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线， 进行几何证明的叙述1.怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有： 三角形两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；2证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折 型；3等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；4线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的

2、距离相等；5角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；6过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边； 证特殊四边形平行四边形的对边相等、对角线互相平分；2矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；3等腰梯形两腰相等，两条对角线相等； 圆同圆或等圆的半径相等；圆的轴对称性(垂径定理及其推论)：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都相等；4从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等； 等量代换：若a=b,b=c,贝U a=c；a _ b等式性质

3、：若a=b，贝U a-c=bc; 若 ，贝U a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比 例的性质等证明线段相等2.怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：同角(或等角)的余角、补角相等； 证明两直线平行，同位角、内错角相等； 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；全等三角形、相似三角形的对应角相等；同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一； 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线

4、的夹角； 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；(11)通过计算证明两角相等；(12)等量代换，等式性质2【典题精析】例1已知：如图，分别延长菱形ABCD勺边AB AD到点E、F,使得BE=DF,连结EC FC求证：EC=FC总结：通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法， 关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等例2已知：AB是OO的直径，C是O0上一点，连接AC,过点C作直线CDL AB于点D, E是AB上一点，直线CE与O0交于点F,连结AF,与直线CD交于点G.求证：

5、/ACD=/F;AC=AGAF.总结：证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联 系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉例3已知：如图，四边形ABCD内接于O0,过点A的切线与CD的延长线交于E,且/ADEN BDC求证：ABC为等腰三角形；若AE=6, BC=12 CD=5求AD的长.3例4已知：如图，正ABC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD连结DE交BC于点P. 求证：DP=PE 若D为AC的中点，求BP的长.总结：添加辅助线是几何证明和

6、计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、 延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键思考：若将条件正ABC改为等腰ABC AB=AC结论DP=PE是否仍成立？若将条件正ABC改为等腰ABC CA=CB结论DP=PE是否仍成立？例5已知：ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE DGL CE, G是垂足,求证：G是CE的中点；/B=2/ BCE.总结：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系

7、有着密切关系例6如图，OO的内接ABC的外角/ACE的平分线交OO于点D, DF丄AC,垂足为F,DE丄BC垂足为E,给出下列4个结论：CE=CF/ACB=/ EDF;DE是OO的切线；A.B.C.D .总结；一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形 全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对 的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题；其中，定成立的是（4B. AB2CD C. ABEB+FCD. EFAF是斜边在ABC中，/A. 2AB=ACB=2/。，则（）B. 2ABAC C. 2ABAC D.不能确定在OO中

8、，如果AB = 2CD，那么弦AB与CD的大小关系是（A. AB=2CDA. EF=EB+FCC. EFEB+FC在RtABC中,与EB+FC的大小不能确定BC上的高线，且BD=DC=FC=1贝U AC的长为（A. .J B.D.56.如图，AB是OO的直径，DC切OO于C, AD丄DC,垂足为D, CELAB,垂足E7.已知：如图，人。是厶ABC外角/EAC的平分线，交 的外接圆于点F.求证：FB=FC若-I - -川_丨寸；，求FB的长.8.梯形ABCD中AB/CD，对角线AC BD垂直相交于H, M是AD上的点，MH所 在直线交BC于N.在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个

9、作为结论 组成一个正确的命题，并证明这个命题.AD=BCMLBCAM=DMBC的延长线于点D.延长DA交厶ABC6怎样证明关于线段的几何等式【重点解读】线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式， 一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形

10、相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明； 如果明显没有等量线段可替换，可找中间比证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幕定理）， 如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式， 再按比例式的证明方法证明证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理例1已知：E为平行四边形ABCC中DC边的延长线上的一点，且CE=DC连结AE分别交BCBD于点F、G,连接AC交BD于

11、0,连结0F求证：AB=20F.总结：线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理例2已知：ABC中，/BAC=90,AB=AC AE是过A的一条直线，BDL AE于D, CE!AE于E,求证：若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE若B C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE CE的关系如何，证明你 的猜想7例3如图，ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E,AB _ AD求证：二例4已知：如图，等腰ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, DF丄AC垂足为F总结；解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之 间的内在

12、联系的运用.例5已知：BC为圆0的直径，ADL BC垂足为D,过点B作弦BF交AD于点E交半圆0于点F,弦AC与BF交于点H,且A为弧BF的中点.求证：AE=BEAH- BC=2ABBE.例6如图，O0的直径AB垂直于弦CD垂足为H,点P是生上一点（点P不与A C两点 重合），连结PC PD PAAD点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F,下列四个结论： /EPC=/APDAD3= DF- DPCHJ= AH BH正确的有_求证：二一二E二一 _D8巩固练习；1._在边长为6的菱形ABCD中,ZDAB=60 ,E为AB的中点，F是AC上的一动点，贝UEF+BF的最小值为.已知：0ABC内的一

13、点，过点0作EF、GH QP分别平行于BC AB CA交AB BC CA于点P、E、H、Q F、G,HQ FG PE贝屁+忑*AB=_ .2.选择：如图，将ADE绕正方形ABCD勺顶点A顺时针旋转90,得厶ABF,连接EF交AB于H,则下列结论错误的是（）A. AE丄AF B. EF:AF=：:1 C.7 一I I D. FB:FC=HBECPA=PB+PCPA- PE=PB- PC其中正确结论的个数有（）BC交O于点E,交O 1于点D,下列结论，正确的有（ ）个AD/ BEAC- BC=DC CEAC- AE=BC- BDA.1B.2C.3D.4求证：AF - AG=DF EG.A.3个B.

14、2个C.1个D.0个如图，已知O与O亠外切于点C,AB是两圆的外公切线,切点为A、B,分别延长ACAD为O丨的直径3.已知：如图，设D E分别是ABC外接圆的弧AB AC的中点，弦DE交AB于点F,交AC于点G,B H Q C第题如图，正ABC内接于O有如下结论：O,第题点，PA与BC交于E,9第3题10.7.如图， ABC 中，/ C=90，/ A=30 作正 ABE 和正厶 ACD DE 与 AB 交于 F, 求证：EF=FD,分别以 AB AC 为边在 ABC 的外侧4.OO的两条割线AB AC分别交OO于D B、E、C,弦DF/ AC交BC圆于G.求证：AC- FG=BC CG;若CF

15、=AE求证：ABC是等腰三角形.5.如图，已知直线AB过圆心0,交OO于A、B,直线AF交OO于F（不与B重合） ， 直线I交O0于C D,交AB于E,且与AF垂直， 垂足为G,连结AC AD求证： /BAD=ZCAGAC-AD= AE- AF.在问题中，直线I向下平行移动，与O0相切，其他条件不变.请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；问题中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.6.已知：AB是OO的直径，弦CDL AB于M,点E是ACB上一动点.如图1,若DE交AB于N,交AC于F,且DE=AC连结AD CE求证：/CEDMADE一一 ；=NF- NE如图

16、2，若DE与AC的延长线交于F,且DE=AC那么_=NF NE的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由118 .如图，以厶 ABC 的边 AB AC 为斜边向外作直角三角形 ABD 和 ACE 且使/ ABD= /ACE M 是 BC 的中点。证明：DM=EMBMC9。如图， ABC 中,ZC 为直角，/ A=30,分别以 AB AC 为边在 ABC 的外 侧作正 ABE 与正厶 ACD DE 与 AB 交于 F。求证：EF=FD10. 如图，正方形 ABCD 中, E、F 分别为 AB BC 的中点，EC 和 DF 相交于 G,连 接12AG 求证：AG=ADB f C11. 已知：

17、 如图 2,AABC 中 AB=AC D 为 BC 上一点， 过 D 作 DF 丄 BC 交 AC 于 E，交BA 的延长线于 F,求证：AE=AF!AZB GDC图图213具体应用方法分类一、利用全等三角形的对应边相等证明例 1、如图 1,已知 C 在 BD 上，CDE 都是等边三角形，BE、AD 分别与AC CE 交于 P、Q求证：CP=CQ二、利用等腰三角形定理及逆定理证明例 2、如图 2,已知：在厶 ABC 中, AB=AC 在 AB AC 上的线段 AD=AE 求证：FB=FCFE=FD三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明例 3、如图 3,已知 ABC 为 Rt , D 为斜边 A

18、B 的中点，DEL AC 于 E, DF 丄 BC 于F。求证：AE=CE BF=CFBC D图1AB图314四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明例 4、如图 4,已知： ABC 中，AB=ACAD 是底边 BC 上的中线，/ B/ C 的平 分线交于 I ,求证：I 到 AB BC CA 的距离相等。阳4五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明例 5、如图 5,已知： ABC 中,/ A=90, DABC 内一点，且 AB=AC=B,/ ABD=30求证：AD=DC六、利用两二角形面积相等，等底必等咼，等咼必等底证明 例 6 求证：等腰三角形两腰上的高相等。七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段例 7、如图 7,锐角 ABC 中,/ B=2/