第五节微分及其应用ppt课件

1、第五节 微分及其应用一、微分的定义与几何意义二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、小结一微分的定义与几何意义1、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2200()Axxx 202() .xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如, ,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数

2、的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3300()yxxx 2230033()() .xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x 203.yxx ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?2、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxx

3、xfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy ( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)

4、(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx 3 3、可微的条件、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) (1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf(),yAxox(),yoxAxxxxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) (2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从从而而0(),yfxx 即即,)(0可导可导在

5、点在点函数函数xxf00lim(),xyfxx ),0(0 x0()(),fxxox .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxy3()dyxx 23.xx 2220.020.023xxxxdyxx 0.24. .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量( ).dyfx dx ( ).d

6、yfxdx .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy4、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 二、微分的求法dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.1.基本初

7、等函数的微分公式基本初等函数的微分公式122( )0()(sin )cos(cos )sin(tan )sec(cot)csc(sec )sectan(csc )csccotd Cd xxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdx 2222()ln()11(log)(ln )ln11(arcsin )(arccos )1111(arctan )(cot)11xxxxad aaadxd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxd arcxdxxx 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2()()()( )d uvdudvd C

8、uCduuvduudvd uvvduudvdvv 例例2 2求函数求函数 在点在点x=0 x=0和和x=1x=1处的微分。处的微分。解解 例例3 3 设设 ，求，求 。解解xey /00() |xxxdyedxdxdx /11() |xxxdyedxedxdx cosyx dy1( )(cos)sinsin2dyfx dxxxdxxdxx 例例4 4解解.),ln(2dyexyx求求设设 2212,xxxeyxe 2212.xxxedydxxe 例例5 5解解.,cos31dyxeyx求求设设 1 31 3cos()(cos )xxdyx d eedx1 31 3()3,(cos )sin .

9、xxeexx 1 31 3cos( 3)( sin)xxdyxedxex dx 1 3(3cossin ).xexx dx 3、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论：结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 例例7 7解解.,sindybxey

10、ax求求设设 cos()sin()axaxdyebxd bxbx edax cossin()axaxebx bdxbx ea dx ( cossin).axebbxabx dx 例例6 6解解.),12sin(dyxy求求设设 sin ,21.yu uxcosdyudu cos(21) (21)xdx cos(21) 2xdx 2cos(21).xdx 例例8 8解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数, ,使使等式成立等式成立. .2(1)()cos;(2)(sin)() ().dtdtdxdx (1)(sin)cos,dttdt 1cos(sin)tdt

11、dt 1(sin)cos.dtCtdt1(sin);dt 22(sin)2 cos(2)1()2dxxx dxdxdxx 24cos,xxx 22(sin)(4cos) ().dxxxxdx 三三 微分在近似计算微分在近似计算1 1、函数的近似计算、函数的近似计算(1)(1)若函数若函数y yf(x)f(x)在点在点x0 x0处可导，当自变量改变处可导，当自变量改变xx时，写出函数在点时，写出函数在点x0 x0处的微分处的微分dydy和函数改变量和函数改变量yydyf(x0)x ,yf(x0 x)f(x0)提问 在什么条件下可用dy近似代替y？为什么？ 因为dy和y相差一个比|x|变小的速度更

12、快的量，即 ydyax，0lim0ax 其中a满足 所以当所以当|x|x|很小的时候，可用很小的时候，可用dydy近似代替近似代替yy，即，即 而而|x|x|越小，近似程度越好越小，近似程度越好000()()()f xxf xf xx 将(1)式移项，得 再令x0 xx此时x为变量，则有 xxx0，所以(2)变成如下的形式 000()()()f xxf xf xx000( )()() ()f xf xf xxx (1)(2)(3)0002002)()(),1)arctan.11,1.05,arctan1.05arctan(10.051arctan10.051 10.050.810442 00例

13、9：计算arctan1.05的近似值。解：设f(x)=arctanx,利用式f(x有arctan(x这里于是有）xf xfxxxxxxxx例例10 10 证明如下近似公式：（证明如下近似公式：（1 1） ；（2 2） 。证证 （1 1令令 ， ，当，当 时，时， ，由，由得得 ，即，即（2 2令令 ， ，当，当 时，时， ，由，由 得得 ，即，即 。1 xexln(1)xx( ) xf xe( )xfxe0 x(0)1,(0)1ff( )(0)(0)f xffx( )1 f xx1 xex( )ln(1)f xx1( )1fxx0 x(0)0,(0)1ff (0)0,(0)1ff( )(0)(

14、0)f xffx( )(0)(0)f xffx( )f xx( ) f xxln(1)xxln(1)xx四、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题: :函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法, ,叫做微分法叫做微分法. .研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学, ,叫做微分学叫做微分学. .导数与微分的联系导数与微分的联系: :.可可微微可可导导 1.1.2.2.导数与微分的区别导数与微分的区别: :.,)(),()(. 100000它它是是无无穷穷小小

15、实实际际上上的的定定义义域域是是它它的的线线性性函函数数是是而而微微分分处处的的导导数数是是一一个个定定数数在在点点函函数数Rxxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的的纵纵坐坐标标增增量量线线方方程程在在点点处处的的切切在在点点是是曲曲线线而而微微分分处处切切线线的的斜斜率率点点在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 3.3.所以这种说法不对所以这种说法不对. . 从概念上讲，微分是从求函数增从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念同的概念. . 练练 习习 题题 2.52 2. .求求下下列列函函数数的的微微分分： ( (1 1) )12 xxy； ( (2 2) )2)1ln(xy ； ( (3 3) )21arcsinxy ； ( (4 4) )2211arctanxxy ；