数一20年考研试题-多元积分学

1、1 2003 年考研数学(一)真题 1. (本题满分 10 分) 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线不曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. 求 D 的面积 A; (2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V 2. (本题满分 10 分) 已知平面区域 D = (x, y) 0 _ x _二,0 _ y _ -：，L 为 D 的正向边界试证： . sin y _sin x . _sin y sin x (1) Lxe dy - ye dx =xe dy - ye dx； 壬 sin y . _sin x . 小 2 (2) -Lxe dy - ye dx 亠 2

2、 二. 3. (本题满分 12 分) 设函数 f(x)连续且恒大于零， HI f (x2 y2 z2)dv ii f(x2 y2)d- L 小 &t) G D(t) F(t) 2 -2 ，G(t) t- 2 - ， JJf (x +y )db L f (x2)dx D(t) * 其中 0(t) =( x, y, z) X2 + y2 + z2 Wt2， D(t) =( x, y) x2 + y2 Wt2. (1) 讨论 F(t)在区间(0, ：)内的单调性. 2 (2) 证明当 t0 时，F(t) -G(t). 2005 年考研数学(一)真题评注 1. 设门是由锥面Z = X2 y2不

3、半球面z二.R2 - X2 - y2围成的空间区域，三是门的 整个边界的外侧，则 xdydz ydzdx zdxdy = 2二(1 -)R3. 2 2. 解答题(本题共 9 小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .) (15)(本题满分 11 分) 设 D 二( x, y) x2 y2 乞、2, x 亠 0, y 亠 0 , 1 x2 y2表示丌超过 1 x2 y2的最 大整数计算二重积2 分.i .ixy1 * x2 y2dxdy. D 3. (本题满分 12 分) 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 密2：ydy的值恒为

4、同一常数. L 2x2 y3 证明：对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线 C 有：十=。； (II)求函数:(y)的表达式. 2008 年考研数学(一)真题评注 1. 设曲面匕是 z *4 _x2 _ y2 的上侧，则 xydydz xdzdx x2dxdy 二 2. (本题满分 10 分) 计算曲线积分 丄sin 2xdx 2 x2 -1 ydy，其中L是曲线y二si nx上从点0,0到点 二,0的一段. 1994 年考研数学(一)真题评注 z二R, z二-R(R 0)所围成立体表面的外侧。 3. 已知点 A 不 B 的直角坐标分别为(1,0,0 )不(0,1,1)。线段 AB 绕 z

5、轴旋转一周所成的旋 转曲面为 S,求由 S及两平面z=0,z=：1所围成的立体体积。 佃 95 年考研数学(一)真题评注 2 2 2 2 1.计算曲面积分! zds，其中v是由锥面z二.x y在柱体x y - 2x内的部分。 2.设函数 Q(x,y)在 xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 .2xydx Q(x, y)dy不路径 L 无关，幵且对任意 t 恒有 (t,1) (1t) 2xydx Q(x, y)dy 二 2xydx Q(x, y)dy (0,0) (0,0) 求 Q(x,y) 1. 设区域 D 为x2 2 2 -“R2，则b2)dxdy = 2. 计算曲面积分 ff S 2

6、 xdydz z dxdy 2 2 2 其中 S 是由曲面x2y2=R2及两平面 4 佃 96 年考研数学(一)真题评注 1计算曲面积分I i(2x z)dydz zdxdy，其中 S 是有向曲面z = x2 y2(0込1)，其法 S 向量不 z 轴正向的夹角为锐角。5 1997 年考研数学(一)真题评注 面z = 8所围成的区域。 正向往 z 轴负向看 C 的方向是顺时针的。 佃 98 年考研数学(一)真题评注 2 2 x y 2 2 1.设 L 为椭圆 1，其周长记为 a 则？(2xy 3x2 4y2)ds二 。 4 3 L 佃 99 年考研数学(一)真题评注 1. 求 I = (exsi

7、n y -b(x y)dx (ex sin y -ax)dy，其中 a,b 为正的常数，L 为从点 A(2a,0) L 沿曲线y = 2ax-x2到点 O( 0,0)的弧。 2 2 2. 设 S 为椭球面 z1的上半部分，点P(x, y, z S，二为 S 在点 P 处的切平 2 2 2 计算曲线积分I =? xdyyfx，其中L是以点1,0为中心，R 为半径的圆周 R 1取 L 4x y 逆时针方向. 3 设对于半空间x 0内任意的光滑有向封闭曲面 S,都有 2 x xf(x)dydz - xydzdx -e zdxdy 二 0 S 1计算I二 (x2 y2)dv，其中门为平面曲线 2 小

8、y= 2z 绕 z 轴旋转一周形成的曲面不平 2计算曲面积分 (z - y)dx (x - z)dy (x - y)dz，其中 C C 是曲线 x-y z = 2 面, (x,y,z)为点O(0,0,0)到平面二的距离,求 S ?(x,y,z) ds。 6 2000 年考研数学(一)真题评注 1. 设S:x2 y2 za2(0)，S1的 S 在第一卦限中的部分，则有() A iixds=4iixds B iiyds=4iixds S3 C 11 zds 二 4 I xds D 11 xyzds 二 4 1 xyzds s q s q7 其中函数f(x)在(0, ：)内具有连续的一阶导数，且 l

9、imj f (x) =1，求 f(x)。 2001年考研数学(一)真题评注 1.计算 | = ?L (y? - z2 )dx (2z2 -x2)dy (3x2 - y2)dx，其中 L 是平面 x y z = 2不柱 面x + y =1的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向。 2006 年考研数学(一)真题评注 1. 设二是锥面 z .X2 y2(0 Ez)的下侧，则 xdydz 2ydzdx 3(z-1)dxdy 二 y 畢 1 2. 设 f(x,y)连续函数，则 p f (r cos,r sinRrdr 等于 2 1 -x2 1x2 A dx( f(x,y)dy B . dx f(x

10、,y)dy 芽 1 -y2 2 -y2 C dyjy f(x, y)dx D dy f (x, y)dx 2 2 3.设区域D=(x,y)|x y _1,x_ 0，计算二重积分 DY dxdy。 4.设在上半平面 D =( x, y) | y 0内，函数f (x, y)有连续偏导数，且对任意的 t 0都有 f(tx,ty) =t2f (x, y)。 证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有? yf (x, y)dx - xf (x, y)dy = 0 L 2009 年考研数学(一)真题评注 1.如图，正方形 (x,y)|x乞1,y岂1被其对角线划分为四个区域 Dk(k =1,2

11、, 3,4) I k y cos xdxdy 则 max I k 1迄14 A I1 B I2 C I3 D I4 8 C11）己知曲线 （0 .r/2）,则（泌= _ , （12设 Q = - +j,: + rz 1J T 贝ijJU 丿出幼能= _n Q 勺 T C17）本题滴分门分）椭球面5；是椭圆少+苓=1绕才轮旋转而成*圆维面是过点 4 3 - （4,0）且不椭圆y + y = I 相切的直线绕X轴旋转而成。 （1 ）求坊及上的方程 （II）求亦不亠Z间的立体体积。 2010 年考研数学（一）真题评注（19）（步题满分10分）计算IW面积分丿二显 v 曲d二弋 丫卍dx*二dch . . T- i 4 9 11)已知曲线丄的力程为”2l卜|卫卜 hG 起点是卜 1)，终点是(If 则曲线积分 J yyd、+xdy =, _ 厂 21 Q = (x+jr)|,v-y: r/ fffe N的一段弧.则下列小于零的是 (A) f(x,y)dx. (B)f f(x,y)dy. J T J r (C) (D) (