数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题试验报告

1、第三章上机习题用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务：（1 ）求解第一章上机习题中的三个线性方程组， 并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣；（2）求一个二次多项式y二at2+bt+c，使得在残向量的 2 范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据；表 3.2ti-i-0.75-0.500.250.50.75yii0.8i250.75ii.3i25i.752.3i25（3 ）在房产估价的线性模型中，ai,a2, ,aii分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目居室数目、房龄、建筑类型、户

2、型及壁炉数目，y代表房屋价格。现根据表3.3 和表 3.4 给出的 28 组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。（表 3.3 和表 3.4 见课本 P99-i00）解分析：（i ）计算一个 Householder 变换 H：由于H I2WWTIvvT，则计算一个 Householder 变换 H 等价于计算相应的、v。其中v x |x|2,2/（vTv）。在实际计算中，为避免出现两个相近的数出现的情形，当x10时，令v1血 鏡；Xi|x|2为便于储存，将v规格化为v v/vi，相应的，变为2v：/（vTv）为防止溢出现象，用x/|x|代替（2） QR 分解：利用 Householder 变换逐

3、步将Am n,m n转化为上三角矩阵HnHniHiA，则有y xoaiXia2X2aiiXiiRA Q0R，其中Q H1H2Hn，R在实际计算中，从j 1:n，若j m，依次计算x A(j:m, j)对应的(Hj)(mk1)(mk1)即对应的Vj,j，将Vj(2:m j 1)储存到A(j 1: m, j),j储存到d(j)，迭代结束Ij 10后再次计算Q，有Hj，Q H,H2Hn(n m时Q H,H2Hn-1)0 Hj(3 )求解线性方程组Ax b或最小二乘问题的步骤为i计算A的 QR 分解；ii计算c1Q1Tb，其中Q1Q(:,1:n)iii利用回代法求解上三角方程组Rx c1(4)对第一章

4、第一个线性方程组，由于 R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计 最后一行，而用运行结果计算x84。运算 matlab 程序为1 计算 Householder 变换v,belta二hOUSe(x)function v,belta=house(x)n=length(x); x=x/norm(x,inf); sigma=x(2:n)*x(2:n);v=zeros(n,1);v(2:n,1)=x(2:n); if sigma=0 belta=0;else alpha=sqrt(x(1)A2+sigma);if x(1)=0v(1)=x(1)-alpha;else v(1)=-sigma/(x(1)

5、+alpha); end belta=2*v(1)A2/(sigma+v(1)A2); v=v/v(1,1);endend2 计算A的 QR 分解Q,R=QRfenjie(A)function Q,R=QRfenjie(A)m,n=size(A);Q=eye(m);for j=1:nif jmv,belta=house(A(j:m,j);H=eye(m-j+1)-belta*v*v;A(j:m,j:n)=H*A(j:m,j:n);d(j)=belta;A(j+1:m,j)=v(2:m-j+1);endendR=triu(A(1:n,:);for j=1:n(1:n,:)。if jmH=eye(

6、m);temp=1;A(j+1:m,j);H(j:m,j:m)=H(j:m,j:m)-d(j)*temp*temp;Q=Q*H;endendend3 解下三角形方程组的前代法x=qiandaifa(L,b)function x=qiandaifa(L,b)n=length(b);for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);x=b;end4求解第一章上机习题中的三个线性方程组 ex3_1clear;clc;%第一题A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1

7、)+diag(ones(1,83),1); b=7;15*ones(82,1);14;n=length(A);%0 分解Q,R=QRfenjie(A);c=Q*b;x1=huidaifa(R(1:n-1,1:n-1),c(1:n-1);x1(n)=c(n)-R(n,1:n-1)*x1;%不选主元 Gauss 消去法L,U=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元 Gauss 消去法L,U,P=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较figure(1);subplot(1,3,1);plot(1:n,x1);title(subp

8、lot(1,3,2);plot(1:84,x1_1);title(subplot(1,3,3);plot(1:84,x1_2);title( %第二题第一问A=10*eye(100)+diag(ones(1,99),-1)+diag(ones(1,99),1);b=round(100*rand(100,1);n=length(A);%0 分解tic;Q,R=QRfenjie(A);c=Q*b;x2=huidaifa(R,c);toc;%不选主元 Gauss 消去法tic;L,U=GaussLA(A); x2_1=Gauss(A,b,L,U);toc;%列主元 Gauss 消去法tic;L,U,

9、P=GaussCol(A);x2_2=Gauss(A,b,L,U,P);toc; %平方根法tic;L=Cholesky(A);x2_3=Gauss(A,b,L,L);toc; %改进的平方根法 tic;L,D=LDLt(A);x2_4=Gauss(A,b,L,D*L);toc; %解的比较figure(2);subplot(1,5,1);plot(1:n,x2);title(subplot(1,5,2);plot(1:n,x2_1);title(subplot(1,5,3);plot(1:n,x2_2);title(subplot(1,5,4);plot(1:n,x2_3);title(su

10、bplot(1,5,5);plot(1:n,x2_4);title( %第二题第二问QR 分解);Gauss );PGauss );QR 分解);Gauss );PGauss ); 平方根法 ); 改进的平方根法 );A=hilb(40);b=sum(A);b=b;n=length(A);Q,R=QRfenjie(A);c=Q*b;x3=huidaifa(R,c);%不选主元 Gauss 消去法L,U=GaussLA(A);x3_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元 Gauss 消去法L,U,P=GaussCol(A);x3_2=Gauss(A,b,L,U,P); %平方根法L=Chol

11、esky(A);x3_3=Gauss(A,b,L,L); %改进的平方根法 L,D=LDLt(A); x3_4=Gauss(A,b,L,D*L);%解的比较figure(3);subplot(1,5,1);plot(1:n,x3);title(subplot(1,5,2);plot(1:n,x3_1);title( subplot(1,5,3);plot(1:n,x3_2);title( subplot(1,5,4);plot(1:n,x3_3);title( subplot(1,5,5);plot(1:n,x3_4);title(5求解二次多项式 ex3_2clear;clc;t=-1 -0

12、.75 -0.5 0 0.25 0.5 0.75; y=1 0.8125 0.75 1 1.3125 1.75 2.3125;A=ones(7,3);A(:,1)=t2;A(:,2)=t;Q,R=QRfenjie(A);Q1=Q(:,1:3);c=Q1*y;x=huidaifa(R,c)6求解房产估价的线性模型clear;clc;ex3_3A=xlsread(y=xlsread(专业课 数值代数 cha3_3_4.xls , A2:L29 ); 专业课 数值代数 cha3_3_4.xls, M2:M29 );Q,R=QRfenjie(A);QR 分解);Gauss );PGauss ); 平方

13、根法 ); 改进的平方根法 );Q1= Q(：,1：12); c=Q1*y; x=huidaifa(R,c); x=X计算结果为(1)第一章上机习题中的三个线性方程组结果对比图依次为以第二个线性方程组为例，比较各方法的运行速度。依次为QR 分解，不选主元的 Gauss 消去法，列主元 Gauss 消去法，平方根法，改进的平方根法。Elapsed time is 0.034588 sec on ds.Elapsed time is 0.006237 sec on ds.Elapsed time is 0.009689 sec on ds.Elapsed time is 0.030862 sec

14、on ds.Elapsed time is 0.007622 sec on ds.（2）二次多项式的系数为x =1.00001.00001.0000（3）房产估价的线性模型的系数为x =Colu mns 1 through 62.0775 0.7189 9.6802 0.1535 13.6796 1.9868Columns 7 through 12-0.9582 -0.4840 -0.0736 1.0187 1.4435 2.9028结果分析对第一章上机习题中的第二个线性方程组利用五种求解方法求解所需时间可知，不 选 主元 的Gauss 消去法，列主元 Gauss 消去法，改进的平方根法较快，所需时间大致 在一个数量级，QR 分解，平方根法，所需时间较慢，所需时间在一个数量级上。25002000-J1500（-1000