一元三次方程的求根公式及其推导

1、一元三次方程的求根公式及其推导(2).若 p 0,则方程 FZ(x)0 有一实根， F(x)有唯一零点F(x)0有唯实数根。若 p 0,则方程F(x)0 有两实根，为rprpXix23V-o当 F()?F()81(81q2123、p )0 时，F (x)有唯一零点F(x)0有唯实数根。当 F()?F()812(81q12p )0 时，F (x)有两个零点F(x)0有两个实数根。当 F()?F()81(81q212p )0 时，F (x)有三个零点F(x)0(1).若 p 0,则方程 F(x)0没有实根,有唯一实数根。有三个实数根由于任一个一般的一元次方程 Ax3Bx2Cx D0 均可经过移轴公

2、式化为 A(x )33A即(3Ax B)3(9AC23B2B2B3BC(C )(x) (2D) 03A3A27 A3A323AB )(3Ax B) (2B9ABC 27 A D )0,x3px q 0 的特殊形式，因此，只需研究此类方程即可1 .实数根的判定：设 F(x) x3px q,则 F (x)0 即方程 x3px点的个数即方程x3px q 0 实数根的个数。F (x)有唯一零点F(x) 0为研究方便，不妨设 p.q 不同时为 O(p.q 同时为 0 时方程很容易求解)，则当 p 0 时,定有181(81q212p3) 令81q212p3，则有以下结论:81q212p30 时，方程 x3

3、pxq0 有唯一实数根。81q212p30 时，方程 x3pxq0 有两个实数根。81q212p30 时，方程 x3pxq0 有三个实数根。2求根公式的推导:(1).实根式的推导:元三次方程的求根公 式由演绎推理是很难解 出的，通常由归纳思维 得到。通过对元一次，一元二次以及特殊一元高次方程求根公式的归纳，我得到 了一元三次方程的求根公式应为 x A B 的形式。其中，A，B 为两个待定的代数式。下面的工作就是设法求出 A，B由于 x故 x3A B，(A B)3A3B33AB(AB)A3B33ABx，即有 x33ABx(A3B3)0。对比 x31px q0,可令3AB33p即ABp3A31B3

4、3p27。(A B)qA33A BqA3B3q易知，A3，B3为一元.次方程 aqa3p0 的两根。3I若判别式 q24(P)1(81q212p3)0,27819q 81q212p318_:239q . 81q12p18A3a11 3108q12 81q212p36 ,B3a21 3108q 12 81q212p364x3108q 12 81q212p33108q 12 81q212 p36 6ai则有a2如果不考虑 A，B 顺序，则有若判别式 q234(27)但却又无法直接解出(811(81q2 12p3)0虽然我们清楚方程有二或三个实数根,等于零时只能解出一个，小于零时会出现虚数)。故由以

5、上方法只能导出有一个实数根的方程的求根公式，为:当方程有二或三实数根 时，我们需另辟一条求 根路径。考虑到角函数 三倍角 公式与一元三次方程有 很大的相似性，故我们 可由角函数三倍角公式 作线性 变换，从而得到一元三 次方程的求根公式。研 究之初，我选择的是余 弦三倍 角公式。余弦三倍角公式：cos34cos33cos ,若将 cos3 看作已知量，cos 看作未知量 x，则上述等式可化为方程 4x33x cos30。可令 X Ac，另设有非零实数 B，使得 B 1,9qp 0上式成立的条件为9q ，解得 81q212p3也正是当方程有二或三个实数根时上式成立。 因此，得到方程有二或 三个实数

6、根时的求根公 式:xi3p cos - arccos9q2k , k 0,1,2, i k 1BBB即 A?X3出？x q 。BBB对比 4x33x cos3 0,A34A 2 3pA3-3p可令 B令PA，得3 ，飞一或3B2邛B32 p3pB993则上述方程可化为型 g 1,不妨取第一组解（当然，取第二组也未尝不可），因此，Xarccos3 2kcos 1cos -39qarccos-2p、 3p2kx AX2 - 13p cos arccos339q2p. 3p2k,k 0,1,2由于 cos3 cos(3 2k )，故 x对于方程 x3px q 0,3 2kcos3arccos3 2k

7、cos3，(k 0,1,2)。2p、 3p则 cos30!332p、 3p作进一步研究可知，2 卡丹公式的推导: 由前面的论证可知，若 x33ABx (A3B3) 由韦达定理可知，0时,X2X3。设方程的一根为0 的形式。XiA B，则方程可化为XiX2X3X1X2X2X3X3X1A33AB,将X13X1X2X3A BA B 代回上式,得:X2X2X3易知，X3(A B)。A AB Bx2， x3为方程 t2ABB20 的两个根。判别式为 A B24 A故 t 亠上3A2AB B2即 x2t1X3t2AB 3i A B2AB .3i A B2，为 1 的虚立方根。上3i21, 3i221 3i

8、 BAB。2其中，将 A，B 的值代回，即可得卡丹A B1 36公式:Xi108q12、81q212p31 3108q 12.81q212 p36B 3, 108q1281q26 12p33108q 1281q212p36 B3108q12.81q212p363求根公式的推广:由于对任一个一元三次方程 Ax3Bx2Cx33X33108q12 81q212p363Ax B 9AC 3AB 3Ax B 2B 9ABC 设 t 3Ax B，p 9AC3AB，q 2B33ABC 方程一般式的判别式和 求根公式，结果如下：0 均可化为27A2D 0 的形式，故可27A2D,则可得到一元三次判别式：81A

9、4D254 A3BCD 12A3C312A2B3D 3A2B2C2,实数根求根公式：1 - i -Bx 3108A2D 36ABC 8B312 厂 3108A2D 36ABC 8B312.6A 6A3A0 寸，后记：对于一元三次方程的研究，先人们历经了漫长的探索之路。我对此类方程的研究，是源于角函数的求值问题（如已知3030角的角函数值，利用三倍角公式来反求 1010角的角函数值），大约开始于 20062006 年 1010 月 份。但最终的结果证明了这样一个事实： 对于这样一类整数角， 如果不 可以表示为a=3n=3n（n n为整数）的形式，是不可能用有限个代数式来表示 其角函数值的。这反而激起了我对一元三次方程求根公式的研究。卡丹公式并不是由卡丹本人发现的，而是由他第一次发表在数学著 作大术上的，后人为了纪念他对这一成果的公布，称之为卡丹公式。 上述实根式由本人发现，并第一次在此提出，希望广大数学爱好者给予 点评。20092009 年 1111 月 2525 日Xi232 J127A D 9ABC 2BVB 3AC cos arccos- -3A36AC 2B3一 B23AC2k3A0,1,2, iX1 36A、108A2D3